Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik
Вычитание обыкновенных дробей: правила, примеры, решения
- 29 марта 2023
- 8 минут
- 5 438
Следующее действие, которое можно выполнять с обыкновенными дробями, - вычитание. В рамках этого материала мы рассмотрим, как правильно вычислить разность дробей с одинаковыми и разными знаменателями, как вычесть дробь из натурального числа и наоборот. Все примеры будут проиллюстрированы задачами. Заранее уточним, что мы будем разбирать лишь случаи, когда разность дробей дает в итоге положительное число.
Как найти разность дробей с одинаковыми знаменателями
Начнем сразу с наглядного примера: допустим, у нас есть яблоко, которое разделили на восемь частей. Оставим пять частей на тарелке и заберем две из них. Это действие можно записать так:
В итоге у нас осталось восьмых доли, поскольку . Получается, что .
Благодаря этому простому примеру мы увидели, как именно работает правило вычитания для дробей, знаменатели которых одинаковы. Сформулируем его.
Чтобы найти разность дробей с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя одной вычесть числитель другой, а знаменатель оставить прежним. Это правило можно записать в виде .
Такую формулу мы будем использовать и в дальнейшем.
Возьмем конкретные примеры.
Вычтите из дроби обыкновенную дробь .
Решение
Мы видим, что эти дроби имеют одинаковые знаменатели. Поэтому все, что нам нужно сделать, – это вычесть из . Мы получаем и дописываем к ней знаменатель, получаем .
Наши подсчеты можно записать так:
Если необходимо, можно сократить сложную дробь или выделить целую часть из неправильной, чтобы считать было удобнее.
Найдите разность .
Решение
Воспользуемся описанной выше формулой и подсчитаем:
Легко заметить, что числитель и знаменатель можно разделить на (об этом мы уже говорили ранее, когда разбирали признаки делимости). Сократив ответ, получим . Это неправильная дробь, из которой мы выделим целую часть: .
Как найти разность дробей с разными знаменателями
Такое математическое действие можно свести к тому, что мы уже описывали выше. Для этого просто приведем нужные дроби к одному знаменателю. Сформулируем определение:
Чтобы найти разность дробей, у которых разные знаменатели, необходимо привести их к одному знаменателю и найти разность числителей.
Рассмотрим на примере, как это делается.
Вычтите из дробь .
Решение
Знаменатели разные, и нужно привести их к наименьшему общему значению. В данном случае НОК равно . Для первой дроби необходим дополнительный множитель , а для второй – .
Подсчитаем:
У нас получились две дроби с одинаковым знаменателем, и теперь мы легко можем найти их разность по описанному ранее алгоритму:
Краткая запись решения выглядит так: .
Не стоит пренебрегать сокращением результата или выделением из него целой части, если это необходимо. В данном примере нам этого не нужно делать.
Найдите разность .
Решение
Приведем указанные в условии дроби к наименьшему общему знаменателю и получим соответственно и .
Считаем ответ:
Результат можно сократить на и получить . Числитель больше знаменателя, а значит, мы можем выделить целую часть. Итоговый ответ - .
Краткая запись всего решения - .
Как вычесть из обыкновенной дроби натуральное число
Такое действие также легко свести к простому вычитанию обыкновенных дробей. Это можно сделать, представив натуральное число в виде дроби. Покажем на примере.
Найдите разность .
Решение
– то же самое, что и . Тогда можно подсчитать так: .
Если в условии необходимо вычесть целое число из неправильной дроби, удобнее сначала выделить из нее целое, записав ее в виде смешанного числа. Тогда предыдущий пример можно решить иначе.
Из дроби при выделении целой части получится .
Теперь просто вычтем из него: .
Как вычесть обыкновенную дробь из натурального числа
Это действие делается аналогично предыдущему: мы переписываем натуральное число в виде дроби, приводим обе к единому знаменателю и находим разность. Проиллюстрируем это примером.
Найдите разность: .
Решение
Сделаем дробью . Делаем вычитание и преобразуем конечный результат, выделяя из него целую часть: .
Есть и другой способ произвести расчеты. Он обладает некоторыми преимуществами, которыми можно воспользоваться в тех случаях, если числители и знаменатели дробей в задаче – большие числа.
Если та дробь, которую нужно вычесть, является правильной, то натуральное число, из которого мы вычитаем, нужно представить в виде суммы двух чисел, одно из которых равно . После этого нужно вычесть нужную дробь из единицы и получить ответ.
Вычислите разность .
Решение
Дробь, которую нужно вычесть – правильная, ведь ее числитель меньше знаменателя. Поэтому нам нужно отнять единицу от и вычесть из нее нужную дробь:
Теперь нам нужно найти ответ. Используя свойства вычитания, полученное выражение можно записать как . Подсчитаем разность в скобках. Для этого единицу представим как дробь .
Получается, что .
Теперь вспомним про и сформулируем ответ: .
Используем старый способ, чтобы доказать, что он менее удобен. Вот такие вычисления вышли бы у нас:
Ответ тот же, но подсчеты, очевидно, более громоздкие.
Мы рассмотрели случай, когда нужно вычесть правильную дробь. Если она неправильная, мы заменяем ее смешанным числом и производим вычитание по знакомым правилам.
Вычислите разность .
Решение
Вторая дробь – неправильная, и от нее надо отделить целую часть.
Теперь вычисляем аналогично предыдущему примеру:
Свойства вычитания при работе с дробями
Те свойства, которыми обладает вычитание натуральных чисел, распространяются и на случаи вычитания обыкновенных дробей. Рассмотрим, как использовать их при решении примеров.
Найдите разность .
Решение
Схожие примеры мы уже решали, когда разбирали вычитание суммы из числа, поэтому действуем по уже известному алгоритму. Сначала подсчитаем разность , а потом отнимем от нее последнюю дробь:
Преобразуем ответ, выделив из него целую часть. Итог - .
Краткая запись всего решения:
Если в выражении присутствуют и дроби, и натуральные числа, то рекомендуется при подсчетах сгруппировать их по типам.
Н айдите разность .
Решение
Зная основные свойства вычитания и сложения, мы можем сгруппировать числа следующим образом:
Завершим расчеты:
