Вычитание обыкновенных дробей: правила, примеры, решения, решение дробей

Следующее действие, которое можно выполнять с обыкновенными дробями, - вычитание. В рамках этого материала мы рассмотрим, как правильно вычислить разность дробей с одинаковыми и разными знаменателями, как вычесть дробь из натурального числа и наоборот. Все примеры будут проиллюстрированы задачами. Заранее уточним, что мы будем разбирать лишь случаи, когда разность дробей дает в итоге положительное число.

Как найти разность дробей с одинаковыми знаменателями

Начнем сразу с наглядного примера: допустим, у нас есть яблоко, которое разделили на восемь частей. Оставим пять частей на тарелке и заберем две из них. Это действие можно записать так:

$\frac{5}{8} - \frac{2}{8}$

В итоге у нас осталось $3$ восьмых доли, поскольку $5 - 2 = 3$ . Получается, что $\frac{5}{8} - \frac{2}{8} = \frac{3}{8}$ .

Благодаря этому простому примеру мы увидели, как именно работает правило вычитания для дробей, знаменатели которых одинаковы. Сформулируем его.

Определение 1

Чтобы найти разность дробей с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя одной вычесть числитель другой, а знаменатель оставить прежним. Это правило можно записать в виде $\frac{a}{b} - \frac{c}{b} = \frac{a - c}{b}$ .

Такую формулу мы будем использовать и в дальнейшем.

Возьмем конкретные примеры.

Пример 1

Вычтите из дроби $\frac{24}{15}$ обыкновенную дробь $\frac{17}{15}$ .

Решение

Мы видим, что эти дроби имеют одинаковые знаменатели. Поэтому все, что нам нужно сделать, – это вычесть $17$ из $24$ . Мы получаем $7$ и дописываем к ней знаменатель, получаем $\frac{7}{15}$ .

Наши подсчеты можно записать так: $\frac{24}{15} - \frac{17}{15} = \frac{24 - 17}{15} = \frac{7}{15}$

Ответ: $\frac{7}{15}$

Если необходимо, можно сократить сложную дробь или выделить целую часть из неправильной, чтобы считать было удобнее.

Пример 2

Найдите разность $\frac{37}{12} - \frac{15}{12}$ .

Решение

Воспользуемся описанной выше формулой и подсчитаем: $\frac{37}{12} - \frac{15}{12} = \frac{37 - 15}{12} = \frac{22}{12}$

Легко заметить, что числитель и знаменатель можно разделить на $2$ (об этом мы уже говорили ранее, когда разбирали признаки делимости). Сократив ответ, получим $\frac{11}{6}$ . Это неправильная дробь, из которой мы выделим целую часть: $\frac{11}{6} = 1 \frac{5}{6}$ .

Ответ: $1 \frac{5}{6}$

Как найти разность дробей с разными знаменателями

Такое математическое действие можно свести к тому, что мы уже описывали выше. Для этого просто приведем нужные дроби к одному знаменателю. Сформулируем определение:

Определение 2

Чтобы найти разность дробей, у которых разные знаменатели, необходимо привести их к одному знаменателю и найти разность числителей.

Рассмотрим на примере, как это делается.

Пример 3

Вычтите из $\frac{2}{9}$ дробь $\frac{1}{15}$ .

Решение

Знаменатели разные, и нужно привести их к наименьшему общему значению. В данном случае НОК равно $45$ . Для первой дроби необходим дополнительный множитель $5$ , а для второй – $3$ .

Подсчитаем: $\frac{2}{9} = \frac{2 \cdot 5}{9 \cdot 5} = \frac{10}{45} \frac{1}{15} = \frac{1 \cdot 3}{15 \cdot 3} = \frac{3}{45}$

У нас получились две дроби с одинаковым знаменателем, и теперь мы легко можем найти их разность по описанному ранее алгоритму: $\frac{10}{45} - \frac{3}{45} = \frac{10 - 3}{45} = \frac{7}{45}$

Краткая запись решения выглядит так: $\frac{2}{9} - \frac{1}{15} = \frac{10}{45} - \frac{3}{45} = \frac{10 - 3}{45} = \frac{7}{45}$ .

Ответ: $\frac{7}{45}$

Не стоит пренебрегать сокращением результата или выделением из него целой части, если это необходимо. В данном примере нам этого не нужно делать.

Пример 4

Найдите разность $\frac{19}{9} - \frac{7}{36}$ .

Решение

Приведем указанные в условии дроби к наименьшему общему знаменателю $36$ и получим соответственно $\frac{76}{9}$ и $\frac{7}{36}$ .

Считаем ответ: $\frac{76}{36} - \frac{7}{36} = \frac{76 - 7}{36} = \frac{69}{36}$

Результат можно сократить на $3$ и получить $\frac{23}{12}$ . Числитель больше знаменателя, а значит, мы можем выделить целую часть. Итоговый ответ - $1 \frac{11}{12}$ .

Краткая запись всего решения - $\frac{19}{9} - \frac{7}{36} = 1 \frac{11}{12}$ .

Ответ: $1 \frac{11}{12}$

Как вычесть из обыкновенной дроби натуральное число

Такое действие также легко свести к простому вычитанию обыкновенных дробей. Это можно сделать, представив натуральное число в виде дроби. Покажем на примере.

Пример 5

Найдите разность $\frac{83}{21} - 3$ .

Решение

$3$ – то же самое, что и $\frac{3}{1}$ . Тогда можно подсчитать так: $\frac{83}{21} - 3 = \frac{20}{21}$ .

Ответ: $\frac{20}{21}$

Если в условии необходимо вычесть целое число из неправильной дроби, удобнее сначала выделить из нее целое, записав ее в виде смешанного числа. Тогда предыдущий пример можно решить иначе.

Из дроби $\frac{83}{21}$ при выделении целой части получится $\frac{83}{21} = 3 \frac{20}{21}$ .

Теперь просто вычтем $3$ из него: $3 \frac{20}{21} - 3 = \frac{20}{21}$ .

Как вычесть обыкновенную дробь из натурального числа

Это действие делается аналогично предыдущему: мы переписываем натуральное число в виде дроби, приводим обе к единому знаменателю и находим разность. Проиллюстрируем это примером.

Пример 6

Найдите разность: $7 - \frac{5}{3}$ .

Решение

Сделаем $7$ дробью $\frac{7}{1}$ . Делаем вычитание и преобразуем конечный результат, выделяя из него целую часть: $7 - \frac{5}{3} = 5 \frac{1}{3}$ .

Ответ: $5 \frac{1}{3}$

Есть и другой способ произвести расчеты. Он обладает некоторыми преимуществами, которыми можно воспользоваться в тех случаях, если числители и знаменатели дробей в задаче – большие числа.

Определение 3

Если та дробь, которую нужно вычесть, является правильной, то натуральное число, из которого мы вычитаем, нужно представить в виде суммы двух чисел, одно из которых равно $1$ . После этого нужно вычесть нужную дробь из единицы и получить ответ.

Пример 7

Вычислите разность $1065 - \frac{13}{62}$ .

Решение

Дробь, которую нужно вычесть – правильная, ведь ее числитель меньше знаменателя. Поэтому нам нужно отнять единицу от $1065$ и вычесть из нее нужную дробь: $1065 - \frac{13}{62} = (1064 + 1) - \frac{13}{62}$

Теперь нам нужно найти ответ. Используя свойства вычитания, полученное выражение можно записать как $1064 + (1 - \frac{13}{62})$ . Подсчитаем разность в скобках. Для этого единицу представим как дробь $\frac{1}{1}$ .

Получается, что $1 - \frac{13}{62} = \frac{1}{1} - \frac{13}{62} = \frac{62}{62} - \frac{13}{62} = \frac{49}{62}$ .

Теперь вспомним про $1064$ и сформулируем ответ: $1064 \frac{49}{62}$ .

Ответ: $1064 \frac{49}{62}$

Используем старый способ, чтобы доказать, что он менее удобен. Вот такие вычисления вышли бы у нас:

$1065 - \frac{13}{62} = \frac{1065}{1} - \frac{13}{62} = \frac{1065 \cdot 62}{1 \cdot 62} - \frac{13}{62} = \frac{66030}{62} - \frac{13}{62} = = \frac{66030 - 13}{62} = \frac{66017}{62} = 1064 \frac{4}{6}$

Ответ тот же, но подсчеты, очевидно, более громоздкие.

Мы рассмотрели случай, когда нужно вычесть правильную дробь. Если она неправильная, мы заменяем ее смешанным числом и производим вычитание по знакомым правилам.

Пример 8

Вычислите разность $644 - \frac{73}{5}$ .

Решение

Вторая дробь – неправильная, и от нее надо отделить целую часть.

$\frac{73}{5} = 14 \frac{3}{5}$

Теперь вычисляем аналогично предыдущему примеру: $630 - \frac{3}{5} = (629 + 1) - \frac{3}{5} = 629 + (1 - \frac{3}{5}) = 629 + \frac{2}{5} = 629 \frac{2}{5}$

Ответ: $629 \frac{2}{5}$

Свойства вычитания при работе с дробями

Те свойства, которыми обладает вычитание натуральных чисел, распространяются и на случаи вычитания обыкновенных дробей. Рассмотрим, как использовать их при решении примеров.

Пример 9

Найдите разность $\frac{24}{4} - \frac{3}{2} - \frac{5}{6}$ .

Решение

Схожие примеры мы уже решали, когда разбирали вычитание суммы из числа, поэтому действуем по уже известному алгоритму. Сначала подсчитаем разность $\frac{25}{4} - \frac{3}{2}$ , а потом отнимем от нее последнюю дробь:

$\frac{25}{4} - \frac{3}{2} = \frac{24}{4} - \frac{6}{4} = \frac{19}{4} \frac{19}{4} - \frac{5}{6} = \frac{57}{12} - \frac{10}{12} = \frac{47}{12}$

Преобразуем ответ, выделив из него целую часть. Итог - $3 \frac{11}{12}$ .

Краткая запись всего решения:

$\frac{25}{4} - \frac{3}{2} - \frac{5}{6} = (\frac{25}{4} - \frac{3}{2}) - \frac{5}{6} = (\frac{25}{4} - \frac{6}{4}) - \frac{5}{6} = = \frac{19}{4} - \frac{5}{6} = \frac{57}{12} - \frac{10}{12} = \frac{47}{12} = 3 \frac{11}{12}$

Ответ: $3 \frac{11}{12}$

Если в выражении присутствуют и дроби, и натуральные числа, то рекомендуется при подсчетах сгруппировать их по типам.

Пример 10

Н айдите разность $(98 + \frac{17}{20}) - (5 + \frac{3}{5})$ .

Решение

Зная основные свойства вычитания и сложения, мы можем сгруппировать числа следующим образом: $(98 + \frac{17}{20}) - (5 + \frac{3}{5}) = 98 + \frac{17}{20} - 5 - \frac{3}{5} = (98 - 5) + (\frac{17}{20} - \frac{3}{5})$

Завершим расчеты: $(98 - 5) + (\frac{17}{20} - \frac{3}{5}) = 93 + (\frac{17}{20} - \frac{12}{20}) = 93 + \frac{5}{20} = 93 + \frac{1}{4} = 93 \frac{1}{4}$

Ответ: $93 \frac{1}{4}$