Вычитание смешанных чисел: правила, примеры, решения

29 мая 2023
8 минут
2 721

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

В данной статье рассмотрим правила, согласно которым выполняется действие вычитания смешанных чисел. Разберем конкретные примеры и некоторые нюансы при их решении. Изучим вычитание обыкновенной дроби и натурального числа из смешанного числа, а также - вычитание смешанного числа из дроби и натурального числа. Рассматривать вычитание мы будем при условии вычитания из большего числа меньшее.

Вычитание смешанных чисел

Пусть в качестве исходных данных даны два смешанных числа: $a \frac{b}{c}$ и $d \frac{e}{f}$ , необходимо выполнить вычитание данных смешанных чисел.

Нам известно, что любое смешанное число возможно представить, как сумму его целой и дробной части, тогда получим:

$a \frac{b}{c} - d \frac{e}{f} = (a + \frac{b}{c}) - (d + \frac{e}{f})$

Свойства действий сложения и вычитания дают возможность выполнить вычисление полученного выражения различными способами. Опираясь на значения дробных частей смешанных чисел

$a \frac{b}{c}$ и $d \frac{e}{f}$ , необходимо придерживаться следующих схем вычисления:

если дробная часть уменьшаемого больше, чем дробная часть вычитаемого:

$\frac{b}{c} > \frac{e}{f}$ , то вычитание оптимально будет произвести так:

$a \frac{b}{c} - d \frac{e}{f} = (a - d) + (\frac{b}{c} - \frac{e}{f})$

Пример 1

Произвести вычитание смешанных чисел: $3 \frac{5}{6} - 2 \frac{4}{9}$ .

Решение

Сравним дробные части смешанных чисел, т.е. $\frac{5}{6}$ и $\frac{4}{9}$ . Чтобы определить, какая из дробей больше, приведем их к общему наименьшем знаменателю или наименьшему общему кратному: НОК $(6, 9) = 18$ . При этом дополнительным множителем для дроби $\frac{5}{6}$ станет $18 : 6 = 3$ ; а для дроби $\frac{4}{9}$ – $18 : 9 = 2$ , поэтому : $\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 3} = \frac{15}{18}$ и $\frac{4}{9} = \frac{4 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{8}{18}$ .

Оценим полученный результат: $\frac{15}{18} > \frac{8}{18}$ , что означает $\frac{5}{6} > \frac{4}{9}$ . Т.е. дробная часть уменьшаемого больше дробной части вычитаемого, и тогда действие вычитания производится путем раздельного вычитания целых и дробных частей заданных смешанных чисел:

$3 - 2 = 1 \frac{5}{6} - \frac{4}{9} = \frac{15}{18} - \frac{8}{18} = \frac{15 - 8}{18} = \frac{7}{18}$

Т.е.: $(3 - 2) + (\frac{5}{6} - \frac{4}{9}) = 1 + \frac{7}{18} = 1 \frac{7}{18}$

Ответ: $3 \frac{5}{6} - 2 \frac{4}{9} = 1 \frac{7}{18}$

если дробные части заданных смешанных чисел равны: $\frac{b}{c} = \frac{e}{f}$ , а, соответственно разность их равна нулю, то результатом вычитания таких смешанных чисел будет разность их целых частей:

$a \frac{b}{c} - d \frac{e}{f} = (a - d) + (\frac{b}{c} - \frac{e}{f}) = (a - d) + 0 = a - d$

Пример 2

Произвести вычитание смешанных чисел $15 \frac{7}{10}$ и $2 \frac{7}{10}$ .

Решение

Мы видим, что дробные части заданных чисел равны, т.е. их разность есть нуль. Таким образом, действие вычитания заданных чисел сводится к нахождению разности их целых частей: $15 \frac{7}{10} - 2 \frac{7}{10} = (15 + \frac{7}{10}) - (2 + \frac{7}{10}) = (15 - 2) + (\frac{7}{10} - \frac{7}{10}) = (15 - 2) + 0 = 13$

Ответ: $15 \frac{7}{10} - 2 \frac{7}{10} = 13$

если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого: $\frac{b}{c} < \frac{e}{f}$ , то действие вычитания оптимально произвести так:

$a \frac{b}{c} - d \frac{e}{f} = ((a - d) - \frac{e}{f}) + \frac{b}{c}$

Пример 3

Произвести вычитание смешанных чисел: $26 \frac{2}{5} - 8 \frac{14}{15}$ .

Решение

Проведем сравнение дробных частей заданных чисел, определив для начала наименьший общий знаменатель: НОК $(5, 15) = 15$ , тогда $\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{6}{15}$ .

Следовательно: $\frac{6}{15} < \frac{14}{15}$ , т.е. дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого. Таким образом, находить разность заданных смешанных чисел будем так: $26 \frac{2}{5} - 8 \frac{14}{15} = 26 \frac{6}{15} - 8 \frac{14}{15} = (26 + \frac{6}{15}) - (8 + \frac{14}{15}) = = ((26 - 8) - \frac{14}{15}) + \frac{6}{15} = (18 - \frac{14}{15}) + \frac{6}{15}$

Для начала вычтем дробь из натурального числа (в скобках): $18 - \frac{14}{15} = (17 + 1) - \frac{14}{15} = 17 + (1 + \frac{14}{15}) = 17 + (\frac{1}{1} + \frac{14}{15}) = = 17 + (\frac{15}{15} - \frac{14}{15}) = 17 + \frac{1}{15}$

Тогда $(18 - \frac{14}{15}) + \frac{6}{15} = (17 + \frac{1}{15}) + \frac{6}{15} = 17 + (\frac{1}{15} + \frac{6}{15}) = = 17 + \frac{7}{15} = 17 \frac{7}{15}$

Ответ: $26 \frac{2}{5} - 8 \frac{14}{15} = 17 \frac{7}{15}$ .

Вычитание обыкновенной дроби из смешанного числа

Схема вычитания правильной дроби из смешанного числа такая же, как при действии вычитания смешанных чисел.

Пример 4

Найти разницу: $3 \frac{5}{6} - \frac{4}{15}$

Решение:

Приведем дробные части заданных чисел к единому наименьшему общему кратному: НОК $(6, 15) = 30$ , тогда $\frac{6}{5} = \frac{5 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \frac{25}{30}$ и $\frac{4}{15} = \frac{4 \cdot 2}{15 \cdot 2} = \frac{8}{30}$ .

Таким образом, $\frac{5}{6} > \frac{4}{15}$ .

В итоге вычитание возможно произвести так: $3 \frac{5}{6} - \frac{4}{15} = (3 + \frac{5}{6}) - \frac{4}{15} = 3 + (\frac{5}{6} - \frac{4}{15}) = 3 + (\frac{25}{30} - \frac{8}{30}) = 3 + \frac{17}{30} = 3 \frac{17}{30}$

Ответ: $3 \frac{5}{6} - \frac{4}{15} = 3 \frac{17}{30}$

Пример 5

Произвести действие вычитания: $1 \frac{2}{7} - \frac{3}{7}$

Решение

Дробные части исходных чисел имеют одинаковый знаменатель, что дает возможность их легко сравнить. Понятно, что $\frac{2}{7}$ меньше, чем $\frac{3}{7}$ .

Тогда находить разницу будем так:

$1 \frac{2}{7} - \frac{3}{7} = (1 + \frac{2}{7}) - \frac{3}{7} = (1 - \frac{3}{7}) + \frac{2}{7} = (\frac{1}{1} - \frac{3}{7}) + \frac{2}{7} = = (\frac{7}{7} - \frac{3}{7}) + \frac{2}{7} = \frac{4}{7} + \frac{2}{7} = \frac{6}{7}$

Ответ: $1 \frac{2}{7} - \frac{3}{7} = \frac{6}{7}$ .

Добавим еще одну, в общем очевидную деталь вычислений: если дробная часть смешанного числа равна вычитаемой дроби, то итогом вычисления будет число, равное целой части уменьшаемого смешанного числа. К примеру:

$16 \frac{3}{11} - \frac{3}{11} = (16 + \frac{3}{11}) - \frac{3}{11} = 16 + (\frac{3}{11} - \frac{3}{11}) = 16 + 0 = 16$

Чтобы вычесть неправильную дробь из смешанного числа, необходимо выделить целую часть из неправильной дроби, а затем производить вычисление.

Пример 6

Вычислить значение разности: $7 \frac{5}{12} - \frac{19}{9}$ .

Решение: вычитаемая дробь является неправильной, выделим из нее целую часть и получим: $\frac{19}{9} = 2 \frac{1}{9}$

Приведем к общему знаменателю дробные части заданных чисел и согласно указанным выше схемам произведем вычитание смешанных чисел:

$7 \frac{5}{12} - 2 \frac{1}{9} = (7 + \frac{5}{12}) - (2 + \frac{1}{9}) = (7 - 2) + (\frac{5}{12} - \frac{1}{9}) = = 5 + (\frac{15}{36} - \frac{4}{36}) = 5 + \frac{11}{36} = 5 \frac{11}{36}$

Ответ: $7 \frac{5}{12} - \frac{19}{9} = 5 \frac{11}{36}$ .

Вычитание натурального числа из смешанного

Определение 1

Для совершения действия вычитания натурального числа из смешанного, необходимо вычесть заданное натуральное число из целой части смешанного числа, а дробную часть оставить без изменений: $a \frac{b}{c} - n = (a - n) + \frac{b}{c}$

Пример 7

Необходимо вычесть из смешанного числа $151 \frac{15}{28}$ натуральное число $44$ .

Решение: $151 \frac{15}{28} - 44 = (151 + \frac{15}{28}) - 44 = (151 - 44) + \frac{15}{28} = 107 + \frac{15}{28} = 107 \frac{15}{28}$

Ответ: $151 \frac{15}{28} - 44 = 107 \frac{15}{28}$

Вычитание смешанного числа из обыкновенной дроби

Очевидно, что любое заданное смешанное число будет больше единицы. Уменьшаемая дробь должна быть больше вычитаемого, тогда эта дробь – неправильная. Необходимо выделить целую часть из неправильной дроби, и далее выполнение действия вычитания смешанного числа из обыкновенной дроби сведется к вычитанию смешанных чисел.

Пример 8

Необходимо выполнить вычитание: $\frac{74}{9} - 6 \frac{1}{2}$

Решение

В первую очередь выделим целую часть неправильной уменьшаемой дроби: $\frac{74}{9} = 8 \frac{2}{9}$ , тогда заданный пример примет вид: $\frac{74}{9} - 6 \frac{1}{2} = 8 \frac{2}{9} - 6 \frac{1}{2}$

Найдем наименьший общий знаменатель: НОК $(9, 2) = 18$ .

Получим: $\frac{2}{9} = \frac{2 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{4}{18}$ и $\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 9}{2 \cdot 9} = \frac{9}{18}$ .

Тогда:

$8 \frac{2}{9} - 6 \frac{1}{2} = 8 \frac{4}{18} - 6 \frac{9}{18} = (8 + \frac{4}{18}) - (6 + \frac{9}{18}) = ((8 - 6) - \frac{9}{18}) + \frac{4}{18} = = (2 - \frac{9}{18}) + \frac{4}{18} = ((1 + 1) - \frac{9}{18}) + \frac{4}{18} = (1 + (1 - \frac{9}{18})) + \frac{4}{18} = = (1 + (1 - \frac{9}{18})) + \frac{4}{18} = (1 + \frac{9}{18}) + \frac{4}{18} = 1 + (\frac{9}{18} + \frac{4}{18}) = = 1 + \frac{9 + 4}{18} = 1 + \frac{13}{18} = 1 \frac{13}{18}$

Ответ: $\frac{74}{9} - 6 \frac{1}{2} = 1 \frac{13}{18}$

Вычитание смешанного числа из натурального

Чтобы произвести действие вычитания смешанного числа из натурального, сначала от натурального числа отнимаем целую часть смешанного, после чего из полученного результата вычитаем дробную часть:

$n - a \frac{b}{c} = n - (a + \frac{b}{c}) = (n - a) - \frac{b}{c}$

Пример 9

Необходимо вычесть из натурального числа $18$ смешанное число.

Решение

$18 - 5 \frac{3}{5} = 18 - (5 + \frac{3}{5}) = (18 - 5) - \frac{3}{5} = 13 - \frac{3}{5} = (12 + 1) - \frac{3}{5} = = 12 + (1 - \frac{3}{5}) = 12 + (\frac{1}{1} - \frac{3}{5}) = 12 + (\frac{5}{5} - \frac{3}{5}) = 12 + \frac{5 - 3}{5} = = 12 + \frac{2}{5} = 12 \frac{2}{5}$

Ответ: $18 - 5 \frac{3}{5} = 12 \frac{2}{5}$