Вычитание целых чисел: правила, примеры

Для полноценного разбора темы статьи введем термины и определения, обозначим смысл действия вычитания и выведем правило, согласно которому действие вычитания возможно привести к выполнению действия сложения. Разберем практические примеры. А также рассмотрим действие вычитания в геометрическом толковании – на координатной прямой.

В общем, основные термины, используемые для описания действия вычитания, едины для любого типа чисел.

Для обозначения самого действия используется знак минус, размещённый между уменьшаемым и вычитаемым. Все составные части действия, указанные выше, записываются в виде равенства. Т.е., если заданы целые числа $a$ и $b$, и при вычитании из первого второго получается число $c$, действие вычитания запишется следующим образом: $a – b = c$.

Выражение вида $a – b$ также будем обозначать как разность, как и само конечное значение этого выражения.

Смысл вычитания целых чисел

В теме вычитания натуральных чисел была установлена взаимосвязь между действиями сложения и вычитания, которая дала возможность определить вычитание как поиск одного из слагаемых по известной сумме и второму слагаемому. Примем, что вычитание целых чисел имеет такой же смысл: по заданной сумме и одному из слагаемых определяется второе слагаемое.

Указанный смысл действия вычитания целых чисел дает возможность утверждать, что $c-b = a$ и $c-a = b$, если $a+b = c$, где $a, b, c$ – целые числа.

Рассмотрим простые примеры для закрепления теории:

- пусть мы знаем, что $-5+11 = 6$, тогда разность $6-11 = -5$;

- допустим, известно, что $-13 + (-5) = -18$, тогда $-18 – (-5) = -13$, а $-18 – (-13) = -5$.

Правило вычитания целых чисел

Указанный выше смысл действия вычитания не обозначает для нас конкретного способа вычислить разность. Т.е. мы можем утверждать, что одно из известных слагаемых – результат вычитания из суммы другого известного слагаемого. Но, если одно из слагаемых окажется неизвестным, то мы не можем знать, какова будет разность между суммой и известным слагаемым. Следовательно, для выполнения действия вычитания нам потребуется правило вычитания целых чисел:

Докажем указанное правило вычитания, т.е. докажем справедливость указанного в правиле равенства. Для этого, согласно смыслу вычитания целых чисел, прибавим к $a+(-b)$ вычитаемое $b$ и убедимся, что получим в результате уменьшаемое a, т.е. проверим действительность равенства $(a+(-b\left)\right)+b = a$. На основании свойств сложения целых чисел мы можем записать цепочку равенств: $(a+(-b\left)\right)+b = a+\left(\right(-b)+b) = a+0 = a$, она и будет являться доказательством правила вычитания целых чисел.

Рассмотрим применение правила вычитания целых чисел на конкретных примерах.

Вычитание целого положительного числа, примеры

Вычитание нуля, примеры

Правило вычитания целых чисел дает возможность вывести принцип вычитания нуля из целого числа – вычитание нуля из любого целого числа не изменяет это число, т.е. $a-0$ = a, где $a$ – произвольное целое число.

Поясним. Согласно правилу вычитания, вычитание нуля – это прибавление к уменьшаемому числа, противоположного нулю. Нуль – число, противоположное самому себе, т.е. вычесть нуль это то же самое, что прибавить нуль. На основе соответствующего свойства сложения прибавление нуля к любому целому числу не изменяет это число. Таким образом,

$a-0 = a+(-0) = a+0 = a$.

Рассмотрим простые примеры вычитания нуля из различных целых чисел. Например, разность $61-0$ равна $61$. Если же из целого отрицательного числа $-874$ вычесть нуль, то получится $-874$. Если от нуля отнять нуль, получим нуль.

Вычитание целого отрицательного числа, примеры

Вычитание равных целых чисел

Если заданные уменьшаемое и вычитаемое равны, то их разность будет равна нулю, т.е.$a-a = 0$, где $a$ – любое целое число.

Поясним. Согласно правилу вычитания целых чисел $a-a = a+ (-a) = 0$, что означает: чтобы из целого числа вычесть равное ему, нужно прибавить к этому числу число, ему противоположное, что даст в результате нуль.

Например, разность равных целых чисел $-54$ и $-54$ равна нулю; совершая действие вычитания из числа $513$ числа $513$, получаем нуль; отнимая от нуля нуль, получаем также нуль.

Проверка результата вычитания целых чисел

Необходимая проверка производится с помощью действия сложения. Для этого к полученной разности прибавляем вычитаемое: в итоге должно получится число, равное уменьшаемому.

Вычитание целых чисел на координатной прямой

В заключение рассмотрим геометрическое толкование действия вычитания целых чисел. Начертим горизонтальную координатную прямую, направленную вправо:

Выше мы вывели правило совершения действия вычитания, согласно ему: $a-b = a+(-b)$, тогда геометрическое толкование вычитания чисел $a$ и $b$ будет совпадать с геометрическим смыслом сложения целых чисел $a$ и $–b$. Из этого следует, что для вычитания из целого числа a целого числа $b$, необходимо:

- сдвинуться из точки с координатой $a$ на $b$ единичных отрезков влево, если $b$ – положительное число;

- сдвинуться из точки с координатой $a$ на $\left|b\right|$ (модуль числа $b$) единичных отрезков вправо, если $b$ – отрицательное число;

- остаться в точке с координатой $a$, если $b = 0$.

Рассмотрим на примере с применением графического изображения:

Пусть необходимо вычесть из целого числа $-2$ целое положительное число $2$. Для этого, согласно вышеуказанной схеме, переместимся влево на $2$ единичных отрезка, попадая, таким образом, в точку с координатой $-4$, т.е. $-2-2 = -4$.

Еще один пример: вычитаем из целого числа $2$ целое отрицательное число $-3$. Тогда, согласно схеме, переместимся вправо на $|-3| = 3$ единичных отрезка, попадая, таким образом, в точку с координатой $5$. Получаем равенство: $2-(-3) = 5$ и иллюстрацию к нему: