Вычитание целых чисел: правила, примеры

Для полноценного разбора темы статьи введем термины и определения, обозначим смысл действия вычитания и выведем правило, согласно которому действие вычитания возможно привести к выполнению действия сложения. Разберем практические примеры. А также рассмотрим действие вычитания в геометрическом толковании – на координатной прямой.

В общем, основные термины, используемые для описания действия вычитания, едины для любого типа чисел.

Уменьшаемое – целое число, из которого будет производиться вычитание.

Вычитаемое – целое число, которое будем вычитать.

Разность – результат выполненного действия вычитания.

Для обозначения самого действия используется знак минус, размещённый между уменьшаемым и вычитаемым. Все составные части действия, указанные выше, записываются в виде равенства. Т.е., если заданы целые числа $a$ и $b$, и при вычитании из первого второго получается число $c$, действие вычитания запишется следующим образом: $a – b = c$.

Выражение вида $a – b$ также будем обозначать как разность, как и само конечное значение этого выражения.

Смысл вычитания целых чисел

В теме вычитания натуральных чисел была установлена взаимосвязь между действиями сложения и вычитания, которая дала возможность определить вычитание как поиск одного из слагаемых по известной сумме и второму слагаемому. Примем, что вычитание целых чисел имеет такой же смысл: по заданной сумме и одному из слагаемых определяется второе слагаемое.

Указанный смысл действия вычитания целых чисел дает возможность утверждать, что $c-b = a$ и $c-a = b$, если $a+b = c$, где $a, b, c$ – целые числа.

Рассмотрим простые примеры для закрепления теории:

- пусть мы знаем, что $-5+11 = 6$, тогда разность $6-11 = -5$;

- допустим, известно, что $-13 + (-5) = -18$, тогда $-18 – (-5) = -13$, а $-18 – (-13) = -5$.

Правило вычитания целых чисел

Указанный выше смысл действия вычитания не обозначает для нас конкретного способа вычислить разность. Т.е. мы можем утверждать, что одно из известных слагаемых – результат вычитания из суммы другого известного слагаемого. Но, если одно из слагаемых окажется неизвестным, то мы не можем знать, какова будет разность между суммой и известным слагаемым. Следовательно, для выполнения действия вычитания нам потребуется правило вычитания целых чисел:

Для того, чтобы определить разность двух чисел, необходимо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому, т.е. $a – b = a+ (-b)$, где $a$ и$b$ – целые числа; $b$ и $–b$ – противоположные числа.

Докажем указанное правило вычитания, т.е. докажем справедливость указанного в правиле равенства. Для этого, согласно смыслу вычитания целых чисел, прибавим к $a+(-b)$ вычитаемое $b$ и убедимся, что получим в результате уменьшаемое a, т.е. проверим действительность равенства $(a+(-b\left)\right)+b = a$. На основании свойств сложения целых чисел мы можем записать цепочку равенств: $(a+(-b\left)\right)+b = a+\left(\right(-b)+b) = a+0 = a$, она и будет являться доказательством правила вычитания целых чисел.

Рассмотрим применение правила вычитания целых чисел на конкретных примерах.

Вычитание целого положительного числа, примеры

Необходимо выполнить вычитание из целого числа $15$ целого положительного числа $45$.

Решение 

Согласно правилу, чтобы из заданного числа $15$ вычесть целое положительное число $45$, нужно к уменьшаемому $15$ прибавить число $-45$, т.е. противоположное заданному $45$. Таким образом, искомая разность будет равна сумме целых чисел $15$ и $-45$. Вычислив нужную сумму чисел с противоположными знаками, получим число $-30$. Т.е. итогом вычитания числа $45$ из числа $15$ будет число $-30$. Запишем все решение в одну строку: $15-45 = 15+(-45) = -30$.

Ответ: $15-45 = -30$.

Необходимо вычесть из целого отрицательного числа $-150$ целое положительное число $25$.

Решение 

Согласно правилу, прибавим к уменьшаемому числу $-150$ число $-25$ (т.е. противоположное заданному вычитаемому $25$). Найдем сумму целых отрицательных чисел: $-150+(-25) = -175$. Таким образом, искомая разность равна . Все решение запишем так: $-150-25 = -150+(-25) = -175$.

Ответ: $-150-25 = -175$.

Вычитание нуля, примеры

Правило вычитания целых чисел дает возможность вывести принцип вычитания нуля из целого числа – вычитание нуля из любого целого числа не изменяет это число, т.е. $a-0$ = a, где $a$ – произвольное целое число.

Поясним. Согласно правилу вычитания, вычитание нуля – это прибавление к уменьшаемому числа, противоположного нулю. Нуль – число, противоположное самому себе, т.е. вычесть нуль это то же самое, что прибавить нуль. На основе соответствующего свойства сложения прибавление нуля к любому целому числу не изменяет это число. Таким образом,

$a-0 = a+(-0) = a+0 = a$.

Рассмотрим простые примеры вычитания нуля из различных целых чисел. Например, разность $61-0$ равна $61$. Если же из целого отрицательного числа $-874$ вычесть нуль, то получится $-874$. Если от нуля отнять нуль, получим нуль.

Вычитание целого отрицательного числа, примеры

Необходимо вычесть из целого числа $0$ целое отрицательное число $-324$.

Решение

Согласно правилу вычитания определение разности $0-(-324)$ необходимо произвести прибавлением к уменьшаемому числу $0$ числа, противоположного вычитаемому $-324$. Тогда: $0-(-324) = 0+324 = 324$

Ответ: $0-(-324) = 324$

Определить разность $-6-(-13)$.

Решение 

Произведем вычитание из целого отрицательного числа $-6$ целого отрицательного числа $-13$. Для этого вычислим сумму двух чисел: уменьшаемого $-6$ и числа $13$ (т.е. противоположного заданному вычитаемому $-13$). Получим: $-6-(-13) = -6+13 = 7$.

Ответ: $-6-(-13) = 7$.

Вычитание равных целых чисел

Если заданные уменьшаемое и вычитаемое равны, то их разность будет равна нулю, т.е.$a-a = 0$, где $a$ – любое целое число.

Поясним. Согласно правилу вычитания целых чисел $a-a = a+ (-a) = 0$, что означает: чтобы из целого числа вычесть равное ему, нужно прибавить к этому числу число, ему противоположное, что даст в результате нуль.

Например, разность равных целых чисел $-54$ и $-54$ равна нулю; совершая действие вычитания из числа $513$ числа $513$, получаем нуль; отнимая от нуля нуль, получаем также нуль.

Проверка результата вычитания целых чисел

Необходимая проверка производится с помощью действия сложения. Для этого к полученной разности прибавляем вычитаемое: в итоге должно получится число, равное уменьшаемому.

Было произведено вычитание целого числа $-112$ из целого числа $-300$, при этом получена разность $-186$. Верно ли было произведено вычитание?

Решение

Выполним проверку согласно указанному выше принципу. Прибавим к заданной разности вычитаемое: $-186+(-112) = -298$. Мы получили число, отличное от заданного уменьшаемого, следовательно, была допущена ошибка при вычислении разности.

Ответ: нет, вычитание было произведено неверно.

Вычитание целых чисел на координатной прямой

В заключение рассмотрим геометрическое толкование действия вычитания целых чисел. Начертим горизонтальную координатную прямую, направленную вправо:

Выше мы вывели правило совершения действия вычитания, согласно ему: $a-b = a+(-b)$, тогда геометрическое толкование вычитания чисел $a$ и $b$ будет совпадать с геометрическим смыслом сложения целых чисел $a$ и $–b$. Из этого следует, что для вычитания из целого числа a целого числа $b$, необходимо:

- сдвинуться из точки с координатой $a$ на $b$ единичных отрезков влево, если $b$ – положительное число;

- сдвинуться из точки с координатой $a$ на $\left|b\right|$ (модуль числа $b$) единичных отрезков вправо, если $b$ – отрицательное число;

- остаться в точке с координатой $a$, если $b = 0$.

Рассмотрим на примере с применением графического изображения:

Пусть необходимо вычесть из целого числа $-2$ целое положительное число $2$. Для этого, согласно вышеуказанной схеме, переместимся влево на $2$ единичных отрезка, попадая, таким образом, в точку с координатой $-4$, т.е. $-2-2 = -4$.

Еще один пример: вычитаем из целого числа $2$ целое отрицательное число $-3$. Тогда, согласно схеме, переместимся вправо на $|-3| = 3$ единичных отрезка, попадая, таким образом, в точку с координатой $5$. Получаем равенство: $2-(-3) = 5$ и иллюстрацию к нему: