Признак делимости на 3: примеры, доказательство

Приступим к рассмотрению темы «Признак делимости на $3$ ». Начнем с формулировки признака, приведем доказательство теоремы. Затем рассмотрим основные подходы к установлению делимости на $3$ чисел, значение которых задано некоторым выражением. В разделе приведен разбор решения основных типов задач, основанных на применении признака делимости на $3$ .

Признак делимости на $3$ , примеры

Формулируется признак делимости на $3$ просто: целое число будет делиться на $3$ без остатка, если сумма входящих в его состав цифр делится на $3$ . Если суммарное значение всех цифр, которые входят в состав целого числа, на $3$ не делится, то и само исходное число на $3$ не делится. Получить сумму всех входящих в целое число цифр можно с помощью сложения натуральных чисел.

Теперь рассмотрим примеры применения признака делимости на $3$ .

Пример 1

Делится ли на $3$ число $- 42$ ?

Решение

Для того, чтобы ответить на этот вопрос, сложим все цифры, входящие в состав числа $- 42 : 4 + 2 = 6$ .

Ответ: согласно признаку делимости, раз сумма цифр, входящих с восстав исходного числа, делится на три, то и само исходное число делится на $3$ .

Для того, чтобы ответить на вопрос о том, делится ли на $3$ число $0$ , нам понадобится свойство делимости, согласно которому нуль делится на любое целое число. Получается, что нуль делится на три.

Существуют задачи, для решения которых прибегать в признаку делимости на $3$ необходимо несколько раз.

Пример 2

Покажите, что число $907444812$ делится на $3$ .

Решение

Найдем сумму всех цифр, которые образуют запись исходного числа: $9 + 0 + 7 + 4 + 4 + 4 + 8 + 1 + 2 = 39$ . Теперь нам нужно определить, делится ли на $3$ число $39$ . Еще раз складываем цифры, входящие в состав этого числа: $3 + 9 = 12$ . Нам осталось провести сложение цифр еще раз для того, чтобы получить окончательный ответ: $1 + 2 = 3$ . Число $3$ делится на $3$

Ответ: исходное число $907444812$ также делится на $3$ .

Пример 3

Делится ли на $3$ число $- 543205$ ?

Решение

Посчитаем сумму цифр, входящих в состав исходного числа: $5 + 4 + 3 + 2 + 0 + 5 = 19$ . Теперь посчитаем сумму цифр полученного числа: $1 + 9 = 10$ . Для того, чтобы получить окончательный ответ, найдем результат еще одного сложения: $1 + 0 = 1$ .
Ответ: единица на $3$ не делится, значит и исходное число на $3$ не делится.

Для того, чтобы определить, делится ли данное число на $3$ без остатка, мы можем провести деление данного числа на $3$ . Если разделить число $- 543205$ из рассмотренного выше примера столбиком на три, то в ответе мы не получим целого числа. Это точно также значит, что $- 543205$ на $3$ без остатка не делится.

Доказательство признака делимости на $3$

Здесь нам понадобятся следующие навыки: разложение числа по разрядам и правило умножения на $10, 100$ и т.д. Для того, чтобы провести доказательство, нам необходимо получить представление числа $a$ вида $a = a_{n} \cdot 10^{n} + a_{n - 1} \cdot 10^{n - 1} + \dots + a_{2} \cdot 10^{2} + a_{1} \cdot 10 + a_{0}$ , где $a_{n}, a_{n - 1}, \dots, a_{0}$ – это цифры, которые располагаются слева направо в записи числа.

Приведем пример с использованием конкретного числа: $528 = 500 + 20 + 8 = 5 \cdot 100 + 2 \cdot 10 + 8$ .

Запишем ряд равенств: $10 = 9 + 1 = 3 \cdot 3 + 1, 100 = 99 + 1 = 33 \cdot 3 + 1, 1000 = 999 + 1 = 333 \cdot 3 + 1$ и проч.

А теперь подставим эти равенства вместо $10, 100$ и $1000$ в равенства, приведенные ранее $a = a_{n} \cdot 10^{n} + a_{n - 1} \cdot 10^{n - 1} + \dots + a_{2} \cdot 10^{2} + a_{1} \cdot 10 + a_{0}$ .

Так мы пришли к равенству:

$a = a_{n} \cdot 10^{n} + \dots + a_{2} \cdot 100 + a_{1} \cdot 10 + a_{0} == a_{n} \cdot (33. .3 \cdot 3 + 1) + \dots + a_{2} \cdot (33 \cdot 3 + 1) + a_{1} \cdot (3 \cdot 3 + 1) + a_{0}$

А теперь применим свойства сложения и свойства умножения натуральных чисел для того, чтобы переписать полученное равенство следующим образом:

$a = a_{n} \cdot (33. .3 \cdot 3 + 1) + . . + + a_{2} \cdot (33 \cdot 3 + 1) + a_{1} \cdot (3 \cdot 3 + 1) + a_{0} == 3 \cdot 33. .3 \cdot a_{n} + a_{n} + . . + + 3 \cdot 33 \cdot a_{2} + a_{2} + 3 \cdot 3 \cdot a_{1} + a_{1} + a_{0} == 3 \cdot 33. .3 \cdot a_{n} + . . + + 3 \cdot 33 \cdot a_{2} + 3 \cdot 3 \cdot a_{1} + + (a_{n} + . . + a_{2} + a_{1} + a_{0}) == 3 \cdot (33. .3 \cdot a_{n} + \dots + 33 \cdot a_{2} + 3 \cdot a_{1}) + + (a_{n} + . . + a_{2} + a_{1} + a_{0})$

Выражение $a_{n} + . . + a_{2} + a_{1} + a_{0}$ - это сумма цифр исходного числа $a$ . Введем для нее новое краткое обозначение $А$ . Получаем: $A = a_{n} + . . + a_{2} + a_{1} + a_{0}$ .

В этом случае представление числа $a = 3 \cdot (33. .3 \cdot a_{n} + . . + 33 \cdot a_{2} + 3 \cdot a_{1}) + A$ принимает такой вид, который нам будет удобно использовать для доказательства признака делимости на $3$ .

Определение 1

Теперь вспомним следующие свойства делимости:

необходимым и достаточным условием для того, чтобы целое число $a$ делилось на целое число
$b$ , является условие, по которому модуль числа $a$ делится на модуль числа $b$ ;
если в равенстве $a = s + t$ все члены, кроме какого-то одного, делятся на некоторое целое число $b$ , то и этот один член делится на $b$ .

Мы заложили основу для того, чтобы провести доказательство признака делимости на $3$ . Теперь же сформулируем этот признак в виде теоремы и докажем ее.

Теорема 1

Для того, чтобы утверждать, что целое число $a$ делится на $3$ , нам необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр, которая образует запись числа $a$ , делилась на $3$ .

Доказательство 1

Если взять значение $a = 0$ , то теорема очевидна.

Если ы возьмем число $a$ , отличное от нуля, то модуль числа $a$ будет натуральным числом. Это позволяет нам записать следующее равенство:

$| a | = 3 \cdot (33. .3 \cdot a_{n} + . . + 33 \cdot a_{2} + 3 \cdot a_{1}) + A$ , где $A = a_{n} + . . + a_{2} + a_{1} + a_{0}$ - сумма цифр числа $a$ .

Так как сумма и произведение целых чисел есть целое число, то
$33. .3 \cdot a_{n} + . . + 33 \cdot a_{2} + 3 \cdot a_{1}$ - целое число, тогда по определению делимости произведение $3 \cdot (33. .3 \cdot a_{n} + . . + 33 \cdot a_{2} + 3 \cdot a_{1})$ делится на $3$ при любых $a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n}$ .

Если сумма цифр числа a делится на $3$ , то есть, $A$ делится на $3$ , то в силу свойства делимости, указанного перед теоремой, $| a |$ делится на $3$ , следовательно, $a$ делится на $3$ . Так доказана достаточность.

Если $a$ делится на $3$ , то и $| a |$ делится на $3$ , тогда в силу того же свойства делимости число
$A$ делится на $3$ , то есть, сумма цифр числа $a$ делится на $3$ . Так доказана необходимость.

Другие случаи делимости на $3$

Целые числа могут быть заданы как значение некоторого выражения, которое содержит переменную, при определенном значении этой переменной. Так, при некотором натуральном n значение выражения $4^{n} + 3 n - 1$ является натуральным числом. В этом случае непосредственное деление на $3$ не может дать нам ответ на вопрос, делится ли число на $3$ . Применение признака делимости на $3$ также может быть затруднено. Рассмотрим примеры таких задач и разберем методы их решения.

Для решения таких задач может быть применено несколько подходов. Суть одного из них заключается в следующем:

представляем исходное выражение как произведение нескольких множителей;
выясняем, может ли хотя бы один из множителей делиться на $3$ ;
на основе свойства делимости делаем вывод о том, что все произведение делится на $3$ .

В ходе решения часто приходится прибегать к использованию формулы бинома Ньютона.

Пример 4

Делится ли значение выражения $4^{n} + 3 n - 1$ на $3$ при любом натуральном $n$ ?

Решение

Запишем равенство $4^{n} + 3 n - 4 = (3 + 1)^{n} + 3 n - 4$ . Применим формулу бинома Ньютона бинома Ньютона:

$4^{n} + 3 n - 4 = (3 + 1)^{n} + 3 n - 4 == (C_{n}^{0} \cdot 3^{n} + C_{n}^{1} \cdot 3^{n - 1} \cdot 1 + . . + + C_{n}^{n - 2} \cdot 3^{2} \cdot 1^{n - 2} + C_{n}^{n - 1} \cdot 3 \cdot 1^{n - 1} + C_{n}^{n} \cdot 1^{n}) + + 3 n - 4 == (3^{n} + C_{n}^{1} \cdot 3^{n - 1} \cdot 1 + . . + C_{n}^{n - 2} \cdot 3^{2} + n \cdot 3 + 1) + + 3 n - 4 == 3^{n} + C_{n}^{1} \cdot 3^{n - 1} \cdot 1 + . . + C_{n}^{n - 2} \cdot 3^{2} + 6 n - 3$

Теперь вынесем $3$ за скобки: $3 \cdot (3^{n - 1} + C_{n}^{1} \cdot 3^{n - 2} + . . + C_{n}^{n - 2} \cdot 3 + 2 n - 1)$ . Полученное произведение содержит множитель $3$ , а значение выражения в скобках при натуральных $n$ представляет собой натуральное число. Это позволяет нам утверждать, что полученное произведение и исходное выражение $4^{n} + 3 n - 1$ делится на $3$ .

Ответ: Да.

Также мы можем применить метод математической индукции.

Пример 5

Докажите с использованием метода математической индукции, что при любом натуральном
$n$ значение выражения $n \cdot (n^{2} + 5)$ делится на $3$ .

Решение

Найдем значение выражения $n \cdot (n^{2} + 5)$ при $n = 1$ : $1 \cdot (1^{2} + 5) = 6$ . $6$ делится на $3$ .

Теперь предположим, что значение выражения $n \cdot (n^{2} + 5)$ при $n = k$ делится на $3$ . Фактически, нам придется работать с выражением $k \cdot (k^{2} + 5)$ , которое, как мы ожидаем, будет делиться на $3$ .

Учитывая, что $k \cdot (k^{2} + 5)$ делится на $3$ , покажем, что значение выражения $n \cdot (n^{2} + 5)$ при $n = k + 1$ делится на $3$ , то есть, покажем, что $(k + 1) \cdot ({(k + 1)}^{2} + 5)$ делится на $3$ .

Выполним преобразования:

$(k + 1) \cdot ({(k + 1)}^{2} + 5) == (k + 1) \cdot (k^{2} + 2 k + 6) == k \cdot (k^{2} + 2 k + 6) + k^{2} + 2 k + 6 == k \cdot (k^{2} + 5 + 2 k + 1) + k^{2} + 2 k + 6 == k \cdot (k^{2} + 5) + k \cdot (2 k + 1) + k^{2} + 2 k + 6 == k \cdot (k^{2} + 5) + 3 k^{2} + 3 k + 6 == k \cdot (k^{2} + 5) + 3 \cdot (k^{2} + k + 2)$

Выражение $k \cdot (k^{2} + 5)$ делится на $3$ и выражение $3 \cdot (k^{2} + k + 2)$ делится на $3$ , поэтому их сумма делится на $3$ .

Ответ: Так мы доказали, что значение выражения $n \cdot (n^{2} + 5)$ делится на $3$ при любом натуральном $n$ .

Теперь разберем подход к доказательству делимости на $3$ , которых основан на следующем алгоритме действий:

показываем, что значение данного выражения с переменной $n$ при $n = 3 \cdot m, n = 3 \cdot m + 1$ и $n = 3 \cdot m + 2$ , где $m$ – произвольное целое число, делится на $3$ ;
делаем вывод о том, что выражение будет делиться на $3$ при любом целом $n$ .

Для того, чтобы не отвлекать внимание от второстепенных деталей, применим данный алгоритм к решению предыдущего примера.

Пример 6

Покажите, что $n \cdot (n^{2} + 5)$ делится на $3$ при любом натуральном $n$ .

Решение

Предположим, что $n = 3 \cdot m$ . Тогда: $n \cdot (n^{2} + 5) = 3 m \cdot (3 m^{2} + 5) = 3 m \cdot (9 m^{2} + 5)$ . Произведение, которое мы получили, содержит множитель $3$ , следовательно само произведение делится на $3$ .

Предположим, что $n = 3 \cdot m + 1$ . Тогда:

$n \cdot (n^{2} + 5) = 3 m \cdot (3 m^{2} + 5) = (3 m + 1) \cdot (9 m^{2} + 6 m + 6) == (3 m + 1) \cdot 3 \cdot (2 m^{2} + 2 m + 2)$

Произведение, которое мы получили, делится на $3$ .

Предположим, что $n = 3 \cdot m + 2$ . Тогда:

$n \cdot (n^{2} + 5) = (3 m + 1) \cdot ({(3 m + 2)}^{2} + 5) = (3 m + 2) \cdot (9 m^{2} + 12 m + 9) == (3 m + 2) \cdot 3 \cdot (3 m^{2} + 4 m + 3)$

Это произведение также делится на $3$ .

Ответ: Так мы доказали, что выражение $n \cdot (n^{2} + 5)$ делится на $3$ при любом натуральном $n$ .

Пример 7

Делится ли на $3$ значение выражения $10^{3 n} + 10^{2 n} + 1$ при некотором натуральном $n$ .

Решение

Предположим что $n = 1$ . Получаем:

$10^{3 n} + 10^{2 n} + 1 = 10^{3} + 10^{2} + 1 = 1000 + 100 + 1 = 1104$

Если посчитать сумму цифр полученного числа, то получим $3$ . Это позволяет нам утверждать, что полученное число делится на $3$ .

Предположим, что $n = 2$ . Получаем:

$10^{3 n} + 10^{2 n} + 1 = 10^{6} + 10^{4} + 1 = 1000000 + 10000 + 1 = 1010001$

Если посчитать сумму цифр этого числа, то мы снова получаем три. Это позволяет нам утверждать, что полученное число делится на $3$ .

Так мы можем сделать вывод, что при любом натуральном n мы будем получать числа, которые делятся на $3$ . Это значит, что $10^{3 n} + 10^{2 n} + 1$ при любом натуральном $n$ делится на $3$ .

Ответ: Да