Признак делимости на 5: примеры, доказательство

5 декабря 2023
8 минут
3 311

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Продолжаем цикл статей на тему признака делимости и здесь остановимся на признаке делимости на $5$ : сформулируем признак, приведем его доказательство, а также разберем характерные примеры, которые встречаются в различных заданиях на вступительных испытаниях.

Признак делимости на $5$ , примеры

Формулируется признак делимости на пять очень просто: число делится на пять в том случае, если запись этого числа справа содержит ноль или пять. Если запись целого числа справа содержит любую другую цифру, то число на пять без остатка не делится.

Благодаря этому признаку мы можем определить возможность деления на $5$ до начала вычислений, визуально.

Пример 1

По свойству делимости на $5$ делится $0$ , так как $0$ делится на любое целое число и дает в результате $0$ . Если говорить об однозначных натуральных числах, то из них на $5$ без остатка делится только $5$ . Остальные числа от $1$ до $9$ на $5$ без остатка не делятся.

Пример 2

Какие из чисел $74, - 900, 10 000, - 799 431, 355, - 5$ делятся на $5$ ?

Решение

Из всех приведенных выше чисел $0$ или $5$ в записи справа содержат только числа $- 900, 10000, 355$ и $- 5$ . Эти числа делятся на $5$ . Остальные числа на $5$ без остатка не делятся.

Ответ: $- 900, 10 000, 355$ и $- 5$ делятся на $5$ .

Доказательство признака делимости на $5$

Приведем теорему и проведем ее доказательства.

Теорема 1

Необходимым и достаточным основанием для того, чтобы утверждать, что целое число $a$ делится на $5$ , является наличие в записи числа $a$ справа цифр $0$ или $5$ .

Доказательство 1

Для начала обратимся к доказательству вспомогательного утверждения, согласно которому произведение $a_{1} \cdot 10$ , где $a_{1}$ – целое число, делится на $5$ .

Основываясь на свойстве делимости, мы можем утверждать следующее:
если целое число $a$ делится на целое число $b$ , то произведение $m \cdot a$ , где $m$ – любое целое число, делится на $b$ . Применив это свойство к описанной ситуации, получаем: так как число $10$ делится на $5$ , то и произведение $a_{1} \cdot 10$ тоже делится на $5$ .

Теперь мы готовы перейти к доказательству теоремы.

Согласно правилу умножения на $10$ мы можем представить любое целое число $a$ , в записи которого справа находится $0$ , представить как произведение $a_{1} \cdot 10$ . Если в записи числа а справа содержится любая другая цифра $a_{0}$ , то $a$ можно записать равенством вида $a = a_{1} \cdot 10 + a_{0}$ .

Примером записи может быть: $54 327 = 5 432 \cdot 10 + 7$ .

Теперь вспомним свойства делимости. В частности, вот это: если в равенстве $a = s + t$ все члены, кроме какого-то одного, делятся на некоторое целое число $b$ , то и этот один член делится на $b$ . Это свойство понадобится нам для доказательства теоремы далее.

Мы уже установили, что произведение $a_{1} \cdot 10$ из равенства $a = a_{1} \cdot 10 + a_{0}$ делится на $5$ . Согласно свойству делимости, число $a$ делится на пять при условии, что $a_{0}$ делится на $5$ . Это возможно при двух значениях $a_{0} = 0$ и $a_{0} = 5$ . В то же время, если $a_{0}$ делится на $5$ , то и $a$ делится на $5$ . Так мы доказали достаточность и необходимость.

Другие случаи делимости на 5

Рассмотрим для начала примеры, решение которых проще всего получить с помощью признака делимости на $5$ .

Пример 3

Делится ли на $5$ значение выражения $10^{2 \cdot n} - 5$ при некотором натуральном $n$ ?

Решение

Для того, чтобы дать ответ на поставленный вопрос, подставим разные значения $n$ в исходное выражение. Получаем: $n = 1$ имеем $10^{2 \cdot 1} - 5 = 95$ , при $n = 2$ – $10^{2 \cdot 2} - 5 = 9 995$ , при $n = 3$ – $102 \cdot 3 - 5 = 999 995, \dots$ . Получается, что независимо от значения $n$ мы получаем запись, которая справа содержит цифру $5$ . Согласно признаку делимости на пять можно утверждать, что выражение $10^{2 \cdot n} - 5$ делится на $5$ при любом натуральном $n$ .

Ответ: Да.

Для того, чтобы доказать делимость на $5$ , мы можем также использовать метод математической индукции. Сейчас мы продемонстрируем применение этого метода для того, чтобы доказать, что при любом натуральном $n$ значение выражения $6^{n} + 10 n + 14$ делится на $5$ .

Пример 4

Докажите, что $6^{n} + 10 n + 14$ делится на $5$ при любом натуральном $n$ .

Решение

Воспользуемся алгоритмом применения метода математической индукции. Начнем с проверки того, делится ли значение выражения $6^{n} + 10 n + 14$ на $5$ при $n = 1$ . Получаем: $6^{1} + 10 \cdot 1 + 14 = 30$ . Число $30$ содержит на конце записи цифру $0$ , а это значит, что оно делится на $5$ без остатка.

Теперь предположим, что значение выражения $6^{n} + 10 n + 14$ будет делиться на $5$ при значении $n = k$ .

Фактически, нам нужно установить, что значение выражения $6^{k} + 10 k + 14$ делится на $5$ .

Докажем, что $6^{n} + 10 n + 14$ при $n = k + 1$ делится на $5$ .

Получаем:

$6^{k + 1} + 10 \cdot (k + 1) + 14 = = 6 \cdot 6^{k} + 10 k + 24 = = 6 \cdot (6^{k} + 10 k + 14) - 50 k - 60 = = 6 \cdot (6^{k} + 10 k + 14) - 5 \cdot (10 k + 12)$

Согласно свойству делимости, вся разность делится на $5$ , так как выражение $6 \cdot (6^{k} + 10 k + 14)$ делится на $5$ и выражение, содержащее $5$ в качестве множителя, $5 \cdot (10 k + 12)$ также делится на $5$ .

Ответ: $6^{n} + 10 n + 14$ будет делиться на $5$ при любом натуральном $n$ методом математической индукции.

Здесь также применимо решение, основанное на использовании формулы бинома Ньютона. Благодаря биному Ньютона мы можем представить подобные выражения как произведение. А дальше, основываясь на свойстве делимости, мы можем утверждать, что если хотя бы один из множителей делится на $5$ , то и все произведение делится на $5$ .

Пример 5

Делится ли $6^{n} + 10 n + 14$ на $5$ при натуральных $n$ ?

Решение

Мы можем представить $6$ как сумму $5 + 1$ . Далее мы применяем формулу бинома Ньютона и получаем:

$6^{n} + 10 n + 14 = (5 + 1)^{n} + 10 n + 14 = = (C_{n}^{0} \cdot 5^{n} + C_{n}^{1} \cdot 5^{n - 1} \cdot 1 + \dots + C_{n}^{n - 2} \cdot 5^{2} \cdot 1^{n - 2} + C_{n}^{n - 1} \cdot 5 \cdot 1^{n - 1} + C_{n}^{n} \cdot 1^{n}) + + 10 n + 14 = = (5^{n} + C_{n}^{1} \cdot 5^{n - 1} \cdot 1 + \dots + C_{n}^{n - 2} \cdot 5^{2} + n \cdot 5 + 1) + + 10 n + 14 = = 5^{n} + C_{n}^{1} \cdot 5^{n - 1} \cdot 1 + \dots + C_{n}^{n - 2} \cdot 5^{2} + 15 n + 15 = = 5 \cdot (5^{n - 1} + C_{n}^{1} \cdot 5^{n - 2} + \dots + C_{n}^{n - 2} \cdot 5^{1} + 3 n + 3)$

Это дает нам право утверждать, что произведение, которое мы получили в ходе вычислений, делится на $5$ при любом натуральном $n$ , так как выражение в скобках является целым числом, а само произведение содержит множитель $5$ .

Ответ: Да, делится.

Существует еще один подход к доказательству делимости значения выражения на $5$ при некотором $n$ : мы можем доказать, что данное выражение делится на $5$ при при $n = 5 \cdot m, n = 5 \cdot m + 1, n = 5 \cdot m + 2, n = 5 \cdot m + 3$ и $n = 5 \cdot m + 4$ , где $m$ – целое число. Так мы можем обосновать вывод о том, что значение выражения делится на $5$ при любом целом $n$ .

Пример 6

Докажите, что $n^{5} - n$ делится на $5$ при любом целом $n$ .

Решение

Раскладываем данное выражение на множители: $n^{5} - n = n \cdot (n^{4} - 1) = n \cdot (n^{2} - 1) \cdot (n^{2} + 1) = n \cdot (n - 1) \cdot (n + 1) \cdot (n^{2} + 1)$ .

Очевидно, что первый множитель $n$ при $n = 5 \cdot m$ делится на $5$ . Это значит, что все полученное произведение тоже делится на $5$ .

Множитель $n - 1 = 5 \cdot m$ при $n = 5 \cdot m + 1$ делится на $5$ . Следовательно, все произведение $n \cdot (n - 1) \cdot (n + 1) \cdot (n^{2} + 1)$ делится на $5$ согласно свойству делимости.

Множитель $n^{2} + 1$ при $n = 5 \cdot m + 2$ будет равен $25 \cdot m^{2} + 20 \cdot m + 5 = 5 \cdot (5 \cdot m^{2} + 4 \cdot m + 1)$ . Это значит, что произведение $n \cdot (n - 1) \cdot (n + 1) \cdot (n^{2} + 1)$ делится на $5$ .

Множитель $n + 1$ при $n = 5 \cdot m + 4$ будет равен $5 \cdot m + 5$ .

Это значит, что произведение $n \cdot (n - 1) \cdot (n + 1) \cdot (n^{2} + 1)$ делится на $5$ .

Ответ: $n^{5} - n = n \cdot (n - 1) \cdot (n + 1) \cdot (n^{2} + 1)$ делится на $5$ при любом целом $n$ .

Признак делимости на 5, примеры

Доказательство признака делимости на 5

Другие случаи делимости на 5

Признак делимости на $5$ , примеры

Доказательство признака делимости на $5$