Дифференциальное уравнение Бернулли

Найти общее решение для уравнения вида $y\text{'}+xy=(1+x)·e^{-x}·y^2$.

Решение

По условию имеем, что $n=2, P\left(x\right)=x, Q\left(x\right)=(1+x)·e^{-x}$. Необходимо ввести новую переменную $z=y^{1-n}=y^{1-2}=\frac{1}{y}$, отсюда получим, что $y=\frac{1}{z}\Rightarrow y\text{'}=-\frac{z\text{'}}{z^2}$.  Провести замену переменных и получить ЛНДУ первого порядка. Запишем, как

$$\begin{gathered} y\text{'}+xy=(1+x)·e^{-x}·y^2 \\ -\frac{z\text{'}}{z^2}+\frac{x}{z}=(1+x)·e^{-x}·\frac{1}{z^2} \\ z\text{'}-xz=-(1+x)·e^{-x} \end{gathered}$$

Следует проводить решение при помощи метода вариации произвольной постоянной.

Проводим нахождение общего решения дифференциального уравнения вида:

$$\begin{gathered} \frac{dz}{dx}-xz=0\iff \frac{dz}{z}=xdx, z\ne 0 \\ \int \frac{dz}{z}=\int xdx \\ \ln \left|z\right|+C_1=\frac{x^2}{2}+C_2 \\ {e}^{\ln \left|z\right|+C_1}=e^{\frac{x^2}{2}+C_2} \\ z=C·e^{\frac{x^2}{2}}, C=e^{C_2-C_1} \end{gathered}$$

Где $z=0$, тогда решение дифференциального уравнения считается $z\text{'}-xz=0$, потому как тождество становится равным нулю при нулевой функции $z$. Данный случай записывается как $z=C\left(x\right)·e^{\frac{x^2}{2}}$, где $С=0$.  Отсюда имеем, что общим решением дифференциального уравнения $z\text{'}-xz=0$ считается выражение $z=C·e^{\frac{x^2}{2}}$ при $С$ являющейся произвольной постоянной.

Необходимо варьировать переменную для того, чтобы  можно было принять
$z=C\left(x\right)·e^{\frac{x^2}{2}}$ как общее решение дифференциального уравнения вида $z\text{'}-xz=-(1+x)·e^{-x}$.

Отсюда следует, что производится подстановка вида

$$\begin{gathered} {\left(C\left(x\right)·e^{\frac{x^2}{2}}\right)}^{\text{'}}-x·C\left(x\right)·e^{\frac{x^2}{2}}=-(1+x)·e^{-x} \\ C\text{'}\left(x\right)·e^{\frac{x^2}{2}}+C\left(x\right)·{\left(e^{\frac{x^2}{2}}\right)}^{\text{'}}-x·C\left(x\right)·e^{\frac{x^2}{2}}=-\left(1+x\right)·e^{-x} \\ C\text{'}\left(x\right)·e^{\frac{x^2}{2}}+C\left(x\right)·x·e^{\frac{x^2}{2}}-x·C\left(x\right)·e^{\frac{x^2}{2}}=-(1+x)·e^{-x} \\ C\text{'}\left(x\right)·e^{\frac{x^2}{2}}=-(1+x)·e^{-\frac{x^2}{2}-x} \\ C\left(x\right)=\int \left(-(1+x)·e^{-\frac{x^2}{2}-x}\right)dx=\int e^{-\frac{x^2}{2}-x}d\left(-\frac{x^2}{2}-x\right)=e^{-\frac{x^2}{x}-x}+C_3 \end{gathered}$$

${С}_3$ принимает значение произвольной постоянной. Следовательно:

$z=C\left(x\right)·e^{\frac{x^2}{2}}=\left(e^{-\frac{x^2}{2}-x}+C_3\right)·e^{\frac{x^2}{2}}=e^{-x}+C_3·e^{\frac{x^2}{2}}$

Дальше производится обратная замена. Следует, что $z=\frac{1}{y}$ считается за $y=\frac{1}{z}=\frac{1}{e^{-x}+C_3·e^{{\displaystyle \frac{x^2}{2}}}}$.

Ответ: это решение считается решением исходного дифференциального уравнения Бернулли.

Решить задачу Коши $\left(1+x^2\right)·y\text{'}+y=y^2·arctg x, y\left(0\right) = 1$.

Решение

Переходим к нахождению дифференциального уравнения вида $\left(1+x^2\right)·y\text{'}=y·arctg x$, которое удовлетворяет условию $y\left(0\right)=1$.

Обе части неравенства необходимо поделить на $x^2 + 1$, после чего получим дифференциальное уравнение Бернулли $y\text{'}+\frac{y}{x^2+1}=y^2·\frac{arctg x}{x^2+1}$.

Перейдем к поиску общего решения.

Принимаем $y=u·v$, отсюда получаем, что $y\text{'}=\left(u·v\right)\text{'}=u\text{'}·v+u·v\text{'}$ и уравнение запишем  в виде

$$\begin{gathered} y\text{'}+\frac{y}{x^2+1}=y^2·\frac{arctg x}{x^2+1} \\ u\text{'}·v+u·v\text{'}+\frac{u·v}{x^2+1}={\left(u·v\right)}^2·\frac{arctg x}{x^2+1} \\ u\text{'}·v+u·\left(v\text{'}+\frac{v}{x^2+1}\right)=u^2·v^2·\frac{arctg x}{x^2+1} \end{gathered}$$

Проведем поиск частного решения с наличием разделяющих переменных $v\text{'}+\frac{v}{x^2+1}=0$, отличных от нуля. Получим, что

$$\begin{gathered} \frac{dv}{v}=-\frac{dx}{x^2+1}, v\ne 0 \\ \int \frac{dv}{v}=-\int \frac{dx}{x^2+1} \\ \ln \left|v\right|+C_1=-arctg x+C_2 \\ v=C·e^{-arctg x}, C=e^{C_2-C_1} \end{gathered}$$

В качестве частного решения необходимо брать выражение вида $v=e^{-arcrg x}$. Преобразуем и получим, что

$$\begin{gathered} u\text{'}·v+u·\left(v\text{'}+\frac{v}{x^2+1}\right)=u^2·v^2·\frac{arcrg x}{x^2+1} \\ u\text{'}·v+u·0=u^2·v^2·\frac{arctg x}{x^2+1} \\ u\text{'}=u^2·v·\frac{arctg x}{x^2+1} \\ u\text{'}=u^2·e^{-arctg x}·\frac{arctg x}{x^2+1}\iff \\ \frac{du}{u^2}=e^{-arctg x}·\frac{arctg x}{x^2+1}dx, u\ne 0 \\ \int \frac{du}{u^2}=\int e^{-arctg x}·\frac{arctg x}{x^2+1}dx \\ \int \frac{du}{u^2}=\int e^{-arctg x}·arctg x d(arctg x) \end{gathered}$$

Имеем, что $u=0$ рассматривается как решение дифференциального уравнения. Далее необходимо решить каждый из полученных интегралов по отдельности.

Интеграл с левой стороны, имеющего вид $\int \frac{du}{u^2}$, необходимо найти по таблице первообразных. Получаем, что

$\int \frac{du}{u^2}=-\frac{1}{u}+C_3$.

Чтобы найти интеграл вида $\int e^{-arctg x}·arctg x d(arctg x)$, принимаем значение $arctg x=z$ и применяем метод интегрирования по частям. Тогда имеем, что

$$\begin{gathered} \int e^{-arctg x}·arctg x d(arctg x)=\left\{arctg x=z\right\}= \\ =\int e^{-z}·z dz=\left\{\begin{array}{l}{u}_1=z, d{v}_1=e^{-z}dz\\ d{u}_1=dz, v_1=-e^{-z}\end{array}\left.\begin{array}{r}\\ \end{array}\right\}\right.= \\ =-z·e^{-z}+\int e^{-z}dz=-z·e^{-z}-e^{-z}+C_4= \\ =-e^{-z}·(z+1)+C_4=-e^{-arctg x}·(arctg x+1)+C_4 \end{gathered}$$

Следовательно

$$\begin{gathered} -\frac{1}{u}+C_3=-e^{-arctg x}·\left(arctg x+1\right)+C_4 \\ \frac{1}{u}=e^{-arcrg x}·\left(arctg x+1\right)+C_3-C_4 \\ u=\frac{1}{e^{-arcrg x}·(arctg x+1)+C} \end{gathered}$$

Отсюда находим, что

$y=u·v=\frac{e^{-arctg x}}{e^{-arcrg x}·(arctg x+1)+C}$ и $y=0·v=0·e^{-arcrg x}=0$ являются решениями дифференциального уравнения Бернулли вида $y\text{'}+\frac{y}{x^2+1}=y^2·\frac{arctg x}{x^2+1}$.

На данном этапе следует переходить к поиску частного решения, которое удовлетворяет начальному условию. Получим, что

$y=\frac{e^{-arctg x}}{e^{-arctg x}·\left(arctg x+1\right)+C}$, тогда запись примет вид $y\left(0\right)=\frac{e^{-arctg 0}}{e^{-arctg 0}·\left(arctg 0+1\right)+C}=\frac{1}{1+C}$.

Очевидно, что $\frac{1}{1+C}=1\iff C=0$. Тогда искомой задачей Коши будет являться полученное уравнение вида $y=\frac{e^{-arctg x}}{e^{-arctg x}·\left(arctg x+1\right)+0}=\frac{1}{arctg x+1}$.