Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта
Данная статья рассматривает способы решения линейных дифференциальных однородных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами вида с и являющимися действительными числами. Будет рассмотрена теория с приведением примеров с подробным решением.
Перейдем к формулировке теоремы, которая показывает, какого вида должно быть уравнение, чтобы можно было искать общее решение ЛОДУ.
Теорема общего решения линейного однородного дифференциального уравнения
Отсюда получаем, что общее решение такого уравнения может быть записано как , где и выражаются линейно независимыми решениями, а и – произвольными постоянными. Необходимо поработать с нахождением частных решений и .
Если взять за частное решение ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами , тогда, используя подстановку, получим тождество вида:
Данное тождество называют характеристическим уравнением с постоянными коэффициентами и , которые и являются его решениями и определяют частые решения вида и заданного ЛОДУ.
Первый случай показывает, что решениями такого уравнения могут быть и , а общее решение принимает вид с постоянными коэффициентами. Функции и рассматриваются, как линейно независимыми по причине отличного от нуля определителя Вронского с действительными .
Второй случай объясняет, что первым частным решением функции – это выражение . Вторым частным решением можно брать . Определим, что может являться частным решением ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и докажем линейную независимость и .
Имеем, что и являются совпадающими корнями характеристического уравнения. Тогда оно примет вид . Отсюда следует, что является линейным однородным дифференциальным уравнением. Необходимо подставить выражение для того, чтобы убедиться в тождественности:
Отсюда следует, что - это частное решение данного уравнения. Необходимо рассмотреть линейную независимость и . Чтобы убедиться в этом, следует прибегнуть к вычислению определителя Вронского. Он не должен быть равен нулю.
Получаем, что
Можно сделать вывод, что линейно независимые частные решения ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами считаются и . Это подразумевает то, что решением будет являться выражение при .
Третий случай говорит о том, что имеем дело с парой комплексных частных решений ЛОДУ вида и .
Запись общего решения примет вид .
Функции и могут быть записаны вместо частных решений уравнения, причем с соответствующими действительной и мнимой частями. Это понятно при преобразовании общего решения . Для этого необходимо воспользоваться формулами из теории функции комплексного переменного вида. Тогда получим, что
Отчетливо видно, что и используются в качестве произвольных постоянных.
Алгоритм нахождения общего решения линейного однородного дифференциального уравнения