Как найти область определения функции?

Содержание:

20 апреля 2023
21 минута
5502

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Для того, чтобы понять, что такое область определения функции, необходимо знать области определения основных элементарных функций. Для этого нужно разбираться в определенных понятиях и находить весомые аргументы и методы решения, что и предложено данной статьей. Будут рассмотрены различные сложнейшие комбинации функций вида $y = \sqrt{x} + x^{- 2}$ или $y = 5 \cdot (x^{2} + 1) \cdot \sqrt[3]{x}, y = \frac{\sqrt{x}}{x - 5}$ или $y = {(\sqrt{{(x - 1)}^{5}})}^{- 3}$ . Рассмотрим теорию и решим несколько примеров с подобными заданиями, чтобы вам больше не нужно было определять все это онлайн.

Что значит найти область определения

После того как функция задается, указывается ее область определения. Иначе говоря, без области определения функция не рассматривается. При задании функции вида $y = f (x)$ область определения не указывается, так как ее ОДЗ для переменной $x$ будет любым. Таким образом, функция определена на всей области определения.

Область определения и область значения можно найти и для кубического корня (куб. √), к примеру, для x+2.

Ограничение области определения

Область определения функции или ООФ рассматривается еще в школьном курсе алгебры. У действительных чисел она может быть $(0, + \infty)$ или такой $[- 3, 1) \cup [5, 7)$ . Еще по виду функции можно визуально узнавать ее ОДЗ. Рассмотрим, на что может указывать наличие области определения:

Определение 1

при имеющемся знаменателе необходимо производить деление такого типа функции как $y = x + \frac{2 \cdot x}{x^{4} - 1}$ ;
при наличии переменной под знаком корня необходимо обращать внимание на сложение корня четной степени типа $y = \sqrt{x + 1}$ или $y = \sqrt[x]{2^{3 \cdot x + 3}}$ ;
при наличии переменной в основании степени с отрицательным или нецелым показателем такого типа, как $y = 5 \cdot (x + 1)^{- 3}, y = - 1 + x^{1 \frac{1}{3}}, y = (x^{3} - x + 1)^{\sqrt{2}}$ , которые определены не для всех чисел;
при наличии переменной под знаком логарифма или в основании вида $y = \ln \frac{x^{2} + x}{4}$ или $y = 1 + \log_{x - 1} (x + 1)$ причем основание является числом положительным, как и число под знаком логарифма;
при наличии переменной, находящейся под знаком тангенса и котангенса вида $y = x^{3} + t g (2 \cdot x + 5)$ или $y = c t g (3 \cdot x^{3} - 1)$ , так как они существуют не для любого числа;
при наличии переменной, расположенной под знаком арксинуса или арккосинуса вида $y = a r c \sin (x + 2) + 2 \cdot x^{2}, y = a r c \cos (|x - 1| + x)$ , область определения которых определяется ни интервале от $- 1$ до $1$ .

При отсутствии хотя бы одного признака, область определения приходится искать другим образом (и это не с калькулятором). Рассмотрим пример функции вида $y = \frac{x^{4} + 2 \cdot x^{2} - x + 1}{2} + 2 \frac{2}{3} \cdot x$ . Видно, что никаких ограничений она не имеет, так как в знаменателе нет переменной.

Правила нахождения области определения

Для примера рассмотрим функцию типа $y = 2 \cdot x + 1$ . Для вычисления ее значения можем определить $x$ . Из выражения $2 \cdot x + 1$ видно, что функция определена на множестве всех действительных чисел. Рассмотрим еще один пример для подробного определения.

Если задана функция типа $y = \frac{3}{x - 1}$ , а необходимо найти область определения, тогда понятно, что следует обратить внимание на знаменатель. Известно, что на ноль делить нельзя. Отсюда получаем, что $\frac{3}{x - 1}$ знаменатель равняется нулю при $х = 1$ , поэтому искомая область определения данной функции примет вид $(- \infty, 1) \cup (1, + \infty)$ и считается числовым множеством.

На рассмотрении примера $y = \sqrt{x^{2} - 5 \cdot x + 6}$ видно, что имеется подкоренное выражение, которое всегда больше или равно нулю. Значит запись примет вид $x^{2} - 5 \cdot x + 6 \geq 0$ . После решения неравенства получим, что имеются две точки, которые делят область определения на отрезки, которые записываются как $(- \infty, 2] \cup [3, + \infty)$ .

При подготовке ЕГЭ и ОГЭ можно встретить множество комбинированных заданий для функций, где необходимо в первую очередь обращать внимание на ОДЗ. Только после его определения можно приступать к дальнейшему решению.

Область определения суммы, разности и произведения функций

Перед началом решения необходимо научиться правильно определять область определения суммы функций. Для этого нужно иметь следующее утверждение:

Когда функция $f$ f считается суммой $n$ функций $f_{1}, f_{2}, \dots, f_{n}$ _, иначе говоря, эта функция задается при помощи формулы $y = f_{1} (x) + f_{2} (x) + \dots + f_{n} (x)$ , тогда ее область определения считается пересечением областей определения функций $f_{1}, f_{2}, \dots, f_{n}$ _.Данное утверждение можно записать как:

$D (f) = \{\begin{cases} \begin{array}{l} D (f_{1}) \\ D (f_{2}) \end{array} \\ \begin{array}{l} . . . \\ D (f_{n}) \end{array} \end{cases}$

Поэтому при решении рекомендуется использование фигурной скобки при записи условий, так как это является удобным способом, чтобы понимать понимания перечисления числовых множеств.

Пример 1

Найти область определения функции вида $y = x^{7} + x + 5 + t g x$ .

Решение

Заданная функция представляется как сумма четырех: степенной с показателем $7$ ,степенной с показателем $1$ , постоянной, функции тангенса.

По таблице определения видим, что $D (f_{1}) = (- \infty, + \infty), D (f_{2}) = (- \infty, + \infty), D (f_{3}) = (- \infty, + \infty)$ , причем область определения тангенса включает в себя все действительные числа, кроме $\frac{π}{2} + π \cdot k, k \in Z$ .

Областью определения заданной функции $f$ является пересечение областей определения $f_{1}, f_{2}, f_{3}$ и $f_{4}$ _.То есть для функции существует такое количество действительных чисел, куда не входит $\frac{π}{2} + π \cdot k, k \in Z$ .

Ответ: все действительные числа кроме $\frac{π}{2} + π \cdot k, k \in Z$ .

Чтобы найти область определения произведения функций необходимо применять правило:

Определение 2

Когда функция $f$ считается произведением n функций $f_{1}, f_{2}, f_{3}$ и $f_{n}$ _,тогда существует такая функция $f$ , которую можно задать при помощи формулы $y = f_{1} (x) \cdot f_{2} (x) \cdot \dots \cdot f_{n} (x)$ , тогда ее область определения считается областью определения для всех функций.

Запишется $D (f) = \{\begin{cases} \begin{array}{l} D (f_{1}) \\ D (f_{2}) \end{array} \\ \begin{array}{l} . . . \\ D (f_{n}) \end{array} \end{cases}$

Пример 2

Найти область определения функции $y = 3 \cdot a r c t g x \cdot \ln x$ .

Решение

Правая часть формулы рассматривается как $f_{1} (x) \cdot f_{2} (x) \cdot f_{3} (x)$ , где за $f_{1}$ является постоянной функцией, $f_{2}$ является арктангенсом, $f_{3}$ – логарифмической функцией с основанием $e$ . По условию имеем, что $D (f_{1}) = (- \infty, + \infty), D (f_{2}) = (- \infty, + \infty)$ и $D (f_{3}) = (0, + \infty)$ . Мы получаем, что

$D (f) = \{\begin{cases} D (f_{1}) D (f_{2}) \\ D (f_{n}) \end{cases} = \{\begin{cases} (- \infty, + \infty) (- \infty, + \infty) \\ D (0, + \infty) \end{cases} = (0, + \infty)$

Ответ: область определения $y = 3 \cdot a r c t g x \cdot \ln x$ – множество всех действительных чисел.

Необходимо остановиться на нахождении области определения $y = C \cdot f (x)$ , где $С$ является действительным числом. Отсюда видно, что ее областью определения и областью определения $f$ совпадающими.

Функция $y = C \cdot f (x)$ – произведение постоянной функции и $f$ . Область определения – это все действительные числа области определения $D (f)$ . Отсюда видим, что область определения функции $y = C \cdot f (x)$ является $\{\begin{array}{l} (- \infty, + \infty) \\ D (f) \end{array} = D (f)$ .

Естестввенным образом получили, что область определения $y = f (x)$ и $y = C \cdot f (x)$ , где $C$ является некоторое действительное число, совпадают. Это видно на примере определения корня $y = \sqrt{x}$ считается $[0, + \infty)$ , потому как область определения функции $y = - 5 \cdot \sqrt{x}$ - $[0, + \infty)$ .

Области определения $y = f (x)$ и $y = - f (x)$ совпадают , что говорит о том, что его область определения разности функции такая же, как и область определения их суммы.

Пример 3

Найти область определения функции $y = \log_{3} x - 3 \cdot 2^{x}$ .

Решение

Необходимо рассмотреть как разность двух функций $f_{1}$ и $f_{2}$ _.

$f_{1} (x) = \log_{3} x$ и $f_{2} (x) = 3 \cdot 2^{x}$ . Тогда получим, что $D (f) = \{\begin{cases} D (f_{1}) \\ D (f_{2}) \end{cases}$ .

Область определения записывается как $D (f_{1}) = (0, + \infty)$ . Приступим к области определения $f_{2}$ . В данном случае она совпадает с областью определения показательной, тогда получаем, что $D (f_{2}) = (- \infty, + \infty)$ .

Для нахождения области определения функции $y = \log_{3} x - 3 \cdot 2^{x}$ получим, что

$D (f) = \{\begin{array}{l} D (f_{1}) \\ D (f_{2}) \end{array} = \{\begin{cases} (0, + \infty) \\ (- \infty, + \infty) \end{cases}$

Ответ: $(0, + \infty)$ .

Необходимо озвучить утверждение о том, что областью определения $y = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + . . . + a_{1} x + a_{0}$ является множество действительных чисел.

Рассмотрим $y = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + . . . + a_{1} x + a_{0}$ , где в правой части имеется многочлен с одной переменной стандартного вида в виде степени $n$ с действительными коэффициентами. Допускается рассматривать ее в качестве суммы $(n + 1)$ -ой функции. Область определения для каждой из таких функций включается множество действительных чисел, которое называется $R$ .

Пример 4

Найти область определения $f_{1} (x) = x^{5} + 7 x^{3} - 2 x^{2} + \frac{1}{2}$ .

Решение

Примем обозначение $f$ за разность двух функций, тогда получим, что $f_{1} (x) = x^{5} + 7 x^{3} - 2 x^{2} + \frac{1}{2}$ и $f_{2} (x) = 3 \cdot x^{- \ln 5}$ . Выше было показано, что $D (f_{1}) = R$ . Область определения для $f_{2}$ является совпадающей со степенной при показателе $- \ln 5$ , иначе говоря, что $D (f_{2}) = (0, + \infty)$ .

Получаем, что $D (f) = \{\begin{array}{l} D (f_{1}) \\ D (f_{2}) \end{array} = \{\begin{cases} (- \infty, + \infty) \\ (0, + \infty) \end{cases} = (0, + \infty)$ .

Ответ: $(0, + \infty)$ .

Область определения сложной функции

Для решения данного вопроса необходимо рассмотреть сложную функцию вида $y = f_{1} (f_{2} (x))$ . Известно, что $D (f)$ является множеством всех $x$ из определения функции $f_{2}$ , где область определения $f_{2} (x)$ принадлежит области определения $f_{1}$ .

Видно, что область определения сложной функции вида $y = f_{1} (f_{2} (x))$ находится на пересечении двух множеств таких, где $x \in D (f_{2})$ и $f_{2} (x) \in D (f_{1})$ . В стандартном обозначении это примет вид

$\{\begin{cases} x \in D (f_{2}) \\ f_{2} (x) \in D (f_{1}) \end{cases}$

Рассмотрим решение нескольких примеров.

Пример 5

Найти область определения $y = \ln x^{2}$ .

Решение

Алгоритм решения этого уравнения или функции следующий.

Данную функцию представляем в виде $y = f_{1} (f_{2} (x))$ , где имеем, что $f_{1}$ является логарифмом с основанием $e$ , а $f_{2}$ – степенная функция с показателем $2$ .

Для решения необходимо использовать известные области определения $D (f_{1}) = (0, + \infty)$ и $D (f_{2}) = (- \infty, + \infty)$ .

Тогда получим систему неравенств вида

$\{\begin{cases} x \in D (f_{2}) \\ f_{2} (x) \in D (f_{1}) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{array}{l} x \in (- \infty, + \infty) \\ x^{2} \in (0, + \infty) \end{array} \Leftrightarrow \Leftrightarrow \{\begin{array}{l} x \in (- \infty, + \infty) \\ x^{2} > 0 \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \in (- \infty, + \infty) \\ x \in (- \infty, 0) \cup (0, + \infty) \end{cases} \Leftrightarrow \Leftrightarrow x \in (- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$

Искомая область определения найдена. Вся ось действительных чисел кроме нуля является областью определения.

Ответ: $(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ .

Пример 6

Найти область определения функции $y = (a r c \sin x)^{- \frac{1}{2}}$ .

Решение

График решения следующий.

Так как дана сложная функция, необходимо рассматривать ее как $y = f_{1} (f_{2} (x))$ , где $f_{1}$ является степенной функцией с показателем $- \frac{1}{2}$ , а $f_{2}$ функция арксинуса, теперь необходимо искать ее область определения. Необходимо рассмотреть $D (f_{1}) = (0, + \infty)$ и $D (f_{2}) = [- 1, 1]$ . Теперь найдем все множества значений $x$ , где $x \in D (f_{2})$ и $f_{2} (x) \in D (f_{1})$ . Получаем систему неравенств вида

$\{\begin{array}{l} x \in D (f_{2}) \\ f_{2} (x) \in D (f_{1}) \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \in [- 1, 1] \\ a r c \sin x \in (0, + \infty) \end{cases} \Leftrightarrow \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \in [- 1, 1] \\ a r c \sin x > 0 \end{cases}$

Для решения $a r c \sin x > 0$ необходимо прибегнуть к свойствам функции арксинуса. Его возрастание происходит на области определения $[- 1, 1]$ , причем обращается в ноль при $х = 0$ , значит, что $a r c \sin x > 0$ из определения $x$ принадлежит промежутку $(0, 1]$ .

Преобразуем систему вида

$\{\begin{array}{l} x \in [- 1, 1] \\ a r c \sin x > 0 \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \in [- 1, 1] \\ x \in (0, 1] \end{cases} \Leftrightarrow x \in (0, 1]$

Область определения искомой функции имеет интервал равный $(0, 1]$ .

Ответ: $(0, 1]$ .

Постепенно подошли к тому, что будем работать со сложными функциями общего вида $y = f_{1} (f_{2} (\dots f_{n} (x))))$ . Область определения такой функции ищется из $\{\begin{cases} x \in D (f_{n}) f_{n} (x) \in D (f_{n - 1}) f_{n - 1} (f_{n} (x)) \in D (f_{n - 2}) \\ . . . f_{2} (f_{3} (. . . (f_{n} (x))) \in D (f_{1}) \end{cases}$ .

Пример 7

Найти область определения $y = \sin (\sqrt[4]{l g x})$ .

Решение

Заданная функция может быть расписана, как $y = f_{1} (f_{2} (f_{3} (x)))$ , где имеем $f_{1}$ – функция синуса, $f_{2}$ – функция с корнем $4$ степени, $f_{3}$ – логарифмическая функция.

Имеем, что по условию $D (f_{1}) = (- \infty, + \infty), D (f_{2}) = [0, + \infty), D (f_{3}) = (0, + \infty)$ . Тогда областью определения функции – это пересечение множеств таких значений, где $x \in D (f_{3}), f_{3} (x) \in D (f_{2}), f_{2} (f_{3} (x)) \in D (f_{1})$ . Получаем, что

$\{\begin{array}{l} x \in D (f_{3}) f_{3} (x) \in D (f_{2}) \\ f_{2} (f_{3} (x)) \in D (f_{1}) \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \in (0, + \infty) \lg x \in [0, + \infty) \\ \sqrt[4]{\lg x} \in (- \infty, + \infty) \end{cases}$

Условие $\sqrt[4]{\lg x} \in (- \infty, + \infty)$ аналогично условию $l g x \in [0, + \infty)$ , значит

$\{\begin{cases} x \in (0, + \infty) \lg x \in [0, + \infty) \\ \sqrt[4]{\lg x} \in (- \infty, + \infty) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \in (0, + \infty) \lg x \in [0, + \infty) \\ \lg x \in [0, + \infty) \end{cases} \Leftrightarrow \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \in (0, + \infty) \\ \lg x \in [0, + \infty) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{array}{l} x \in (0, + \infty) \\ \lg x \geq 0 \end{array} \Leftrightarrow \Leftrightarrow \{\begin{array}{l} x \in (0, + \infty) \\ \lg x \geq \lg 1 \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \in (0, + \infty) \\ x \geq 1 \end{cases} \Leftrightarrow \Leftrightarrow x \in [1, + \infty)$

Ответ: $[1, + \infty)$ .

При решении примеров были взяты функции, которые были составлены при помощи элементарных функций, чтобы детально рассмотреть область определения.

Область определения дроби

Рассмотрим функцию вида $\frac{f_{1} (x)}{f_{2} (x)}$ . Стоит обратить внимание на то, что данная дробь определяется из множества обеих функций, причем $f_{2} (х)$ не должна обращаться в ноль. Тогда получаем, что область определения $f$ для всех $x$ записывается в виде $\{\begin{cases} x \in D (f_{1}) \\ x \in D (f_{2}) f_{2} (x) \neq 0 \end{cases}$ .

Запишем функцию $y = \frac{f_{1} (x)}{f_{2} (x)}$ в виде $y = f_{1} (x) \cdot (f_{2} (x))^{- 1}$ . Тогда получим произведение функций вида $y = f_{1} (x)$ с $y = (f_{2} (x))^{- 1}$ . Областью определения функции $y = f_{1} (x)$ является множество $D (f_{1})$ , а для сложной $y = (f_{2} (x))^{- 1}$ определим из системы вида $\{\begin{cases} x \in D (f_{2}) \\ f_{2} (x) \in (- \infty, 0) \cup (0, + \infty) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \in D (f_{2}) \\ f_{2} (x) \neq 0 \end{cases}$ .

Значит, $\{\begin{array}{l} \begin{array}{l} x \in D (f_{1}) \\ x \in D (f_{2}) \end{array} \\ f_{2} (x) \in (- \infty, 0) \cup (0, + \infty) \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \in D (f_{1}) x \in D (f_{2}) \\ f_{2} (x) \neq 0 \end{cases}$ .

Пример 8

Найти область определения $y = \frac{t g (2 \cdot x + 1)}{x^{2} - x - 6}$ .

Решение

Заданная функция дробная, поэтому $f_{1}$ – сложная функция, где $y = t g (2 \cdot x + 1)$ и $f_{2}$ – целая рациональная функция, где $y = x^{2} - x - 6$ , а область определения считается множеством всех чисел. Можно записать это в виде

$\{\begin{cases} x \in D (f_{1}) x \in D (f_{2}) \\ f_{2} (x) \neq 0 \end{cases}$

Представление сложной функции $y = f_{3} (f_{4} (x))$ , где $f_{3}$ –это функция тангенс, где в область определения включены все числа, кроме $\frac{π}{2} + π \cdot k, k \in Z$ , а $f_{4}$ – это целая рациональная функция $y = 2 \cdot x + 1$ с областью определения $D (f_{4}) = (- \infty, + \infty)$ . После чего приступаем к нахождению области определения $f_{1}$ :

$\{\begin{cases} x \in D (f_{4}) \\ 2 \cdot x + 1 \in D (f_{3}) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \in (- \infty, + \infty) \\ 2 x + 1 \neq \frac{π}{2} + π \cdot k, k \in Z \end{cases} \Leftrightarrow x \neq \frac{π}{4} - \frac{1}{2} + \frac{π}{2} \cdot k, k \in Z$

Еще необходимо рассмотреть нижнюю область определения $y = \frac{t g (2 \cdot x + 1)}{x^{2} - x - 6}$ . Тогда получаем, что

$\{\begin{array}{l} x \in D (f_{1}) x \in D (f_{2}) \\ f_{2} (x) \neq 0 \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{array}{l} x \neq \frac{π}{4} - \frac{1}{2} + \frac{π}{2} \cdot k, k \in Z x \in (- \infty, + \infty) \\ x^{2} - x - 6 \neq 0 \end{array} \Leftrightarrow \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq \frac{π}{4} - \frac{1}{2} + \frac{π}{2} \cdot k, k \in Z x \neq - 2 \\ x \neq 3 \end{cases}$

Ответ: множество действительных чисел, кроме $- 2, 3$ и $\frac{π}{4} - \frac{1}{2} + \frac{π}{2} \cdot k, k \in Z$ .

Действия с корнями

Корни в математике, в частности, функцию с корнем можно определить следующим образом:

y=n√x. N здесь — натуральное число, большее за единицу.

Область определения корня зависит от того, каков показатель: четный или нечетный.

Если n является четным числом (n=2m). Это значит, что область определения представляет собой множество всех неотрицательных действительных чисел.

Если показатель корня — нечетное число, большее за единицу (n=2m+1 и m принадлежит к n), то областью определения корня будет множество всех действительных чисел.

Также важным является вопрос, как складывать корни.

Сложение и вычитание корней возможно при условии наличия одинакового подкоренного выражения. К примеру, сложение и вычитание корней возможно 2√3 и 4√3. Можно ли складывать корни или вычитать в случае 2√3 и 2√5? Ответ — нет.

Как решать корни во втором случае? Вы можете упростить подкоренное выражение и привести их корни к одинаковому подкоренному выражению. После этого вы сможете как считать корни, так и вычитать корни.

К основным действиям с корнями относят:

умножение корней;
деление корней;
корень минус корень или плюс.

Область определения логарифма с переменной в основании

Определение 3

Определение логарифма существует для положительных оснований не равных $1$ . Отсюда видно, что функция $y = \log_{f_{2} (x)} f_{1} (x)$ имеет область определения, которая выглядит так:

$\{\begin{cases} x \in D (f_{1}) f_{1} (x) > 0 \\ x \in D (f_{2}) f_{2} (x) > 0 f_{2} (x) \neq 1 \end{cases}$

К аналогичному заключению можно прийти, когда функцию можно изобразить в таком виде:

$y = \frac{\log_{a} f_{1} (x)}{\log_{a} f_{2} (x)}, a > 0, a \neq 1$ . После чего можно приступать к области определения дробной функции.

Область определения логарифмической функции – это множество действительных положительных чисел, тогда области определения сложных функций типа $y = \log_{a} f_{1} (x)$ и $y = \log_{a} f_{2} (x)$ можно определить из получившейся системы вида $\{\begin{cases} x \in D (f_{1}) \\ f_{1} (x) > 0 \end{cases}$ и $\{\begin{cases} x \in D (f_{2}) \\ f_{2} (x) > 0 \end{cases}$ . Иначе эту область можно записать в виде $y = \frac{\log_{a} f_{1} (x)}{\log_{a} f_{2} (x)}, a > 0, a \neq 1$ , что означает нахождение $y = \log_{f_{2} (x)} f_{1} (x)$ из самой системы вида

$\{\begin{cases} x \in D (f_{1}) f_{1} (x) > 0 \\ x \in D (f_{2}) f_{2} (x) > 0 \log_{a} f_{2} (x) \neq 0 \end{cases} = \{\begin{cases} x \in D (f_{1}) f_{1} (x) > 0 \\ x \in D (f_{2}) f_{2} (x) > 0 f_{2} (x) \neq 1 \end{cases}$

Пример 9

Обозначить область определения функции $y = \log_{2 \cdot x} (x^{2} - 6 x + 5)$ .

Решение

Следует принять обозначения $f_{1} (x) = x^{2} - 6 \cdot x + 5$ и $f_{2} (x) = 2 \cdot x$ , отсюда $D (f_{1}) = (- \infty, + \infty)$ и $D (f_{2}) = (- \infty, + \infty)$ . Необходимо приступить к поиску множества $x$ , где выполняется условие $x \in D (f_{1}), f_{1} (x) > 0, x \in D (f_{2}), f_{2} (x) > 0, f_{2} (x) \neq 1$ . Тогда получаем систему вида

$\{\begin{array}{l} x \in (- \infty, + \infty) \\ x^{2} - 6 x + 5 > 0 x \in (- \infty, + \infty) 2 \cdot x > 0 2 \cdot x \neq 1 \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \in (- \infty, + \infty) x \in (- \infty, 1) \cup (5, + \infty) x \in (- \infty, + \infty) x > 0 \\ x \neq \frac{1}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \Leftrightarrow x \in (0, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, 1) \cup (5, + \infty)$

Отсюда видим, что искомой областью функции $y = \log_{2 \cdot x} (x^{2} - 6 x + 5)$ считается множнство, удовлетворяющее условию $(0, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, 1) \cup (5, + \infty)$ .

Ответ: $(0, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, 1) \cup (5, + \infty)$ .

Область определения показательно-степенной функции

Показательно-степенная функция задается формулой вида $y = (f_{1} (x))^{f_{2} (x)}$ . Ее область определения включает в себя такие значения $x$ , которые удовлетворяют системе $\{\begin{cases} x \in D (f_{1}) x \in D (f_{2}) \\ f_{1} (x) > 0 \end{cases}$ .

Эта область позволяет переходить от показательно-степенной к сложной вида $y = a^{(\log_{a} (f_{1} (x))^{f_{2} (x)})} = a^{f_{2} (x) \cdot \log_{a} f_{1} (x)}$ , где где $a > 0, a \neq 1$ .

Пример 10

Найти область определения показательно-степенной функции $y = (x^{2} - 1)^{\sqrt{x^{3} - 9 \cdot x}}$ .

Решение

Примем за обозначение $f_{1} (x) = x^{2} - 1$ и $f_{2} (x) = \sqrt{x^{3} - 9 \cdot x}$ .

Функция $f_{1}$ определена на множестве действительных чисел, тогда получаем область определения вида $D (f_{1}) = (- \infty, + \infty)$ . Функция $f_{2}$ является сложной, поэтому ее представление примет вид $y = f_{3} (f_{4} (x))$ , а $f_{3}$ – квадратным корнем с областью определения $D (f_{3}) = [0, + \infty)$ , а функция $f_{4}$ – целой рациональной, $D (f_{4}) = (- \infty, + \infty)$ . Получаем систему вида

$\{\begin{array}{l} x \in D (f_{4}) \\ f_{4} (x) \in D (f_{3}) \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{array}{l} x \in (- \infty, + \infty) \\ x^{3} - 9 \cdot x \geq 0 \end{array} \Leftrightarrow \Leftrightarrow \{\begin{array}{l} x \in (- \infty, + \infty) \\ x \in [- 3, 0] \cup [3, + \infty) \end{array} \Leftrightarrow x \in [- 3, 0] \cup [3, + \infty)$

Значит, область определения для функции $f_{2}$ имеет вид $D (f_{2}) = [- 3, 0] \cup [3, + \infty)$ . После чего необходимо найти область определения показательно-степенной функции по условию $\{\begin{cases} x \in D (f_{1}) x \in D (f_{2}) \\ f_{1} (x) > 0 \end{cases}$ .

Получаем систему вида $\{\begin{array}{l} x \in (- \infty, + \infty) x \in [- 3, 0] \cup [3, + \infty) \\ x^{2} - 1 > 0 \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{array}{l} x \in (- \infty, + \infty) x \in [- 3, 0] \cup [3, + \infty) \\ x \in (- \infty, - 1) \cup (1, + \infty) \end{array} \Leftrightarrow \Leftrightarrow x \in [- 3, - 1] \cup [3, + \infty)$

Ответ: $[- 3, - 1) \cup [3, + \infty)$

В общем случае

Для решения обязательным образом необходимо искать область определения, которая может быть представлена в виде суммы или разности функций, их произведений. Области определения сложных и дробных функций нередко вызывают сложность. Благодаря выше указанным правилам можно правильно определять ОДЗ и быстро решать задание на области определения.

Таблицы основных результатов

Весь изученный материал поместим для удобства в таблицу для удобного расположения и быстрого запоминания.

Функция

Ее область определения

Сумма, разность, произведение функций

$f_{1}, f_{2}, . . ., f_{n}$

Пересечение множеств

$D (f_{1}), D (f_{2}), . . ., D (f_{n})$

Сложная функция

$y = f_{1} (f_{2} (f_{3} (. . . f_{n} (x))))$

В частности,

$y = f_{1} (f_{2} (x))$

Множество всех $x$ , одновременно удовлетворяющих условиям

$x \in D (f_{n}), f_{n} (x) \in D (f_{n - 1}), f_{n - 1} (f_{n} (x)) \in D (f_{n - 2}), . . ., f_{2} (f_{3} (. . . f_{n} (x))) \in D (f_{1})$

$x \in D (f_{2}), f_{2} (x) \in D (f_{1})$

Расположим функции и их области определения.

Функция	Ее область определения
Прямая пропорциональность $y = k \cdot x$	$R$
Линейная $y = k \cdot x + b$	$R$
Обратная пропорциональность $y = \frac{k}{x}$	$(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$
Квадратичная $y = a \cdot x^{2} + b \cdot x + c$	$R$
$y = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + . . . + a_{1} x + a_{0}$	$R$
Целая рациональная	$R$
$y = C \cdot f (x)$ , где $C$ - число	$D (f)$
Дробная $y = \frac{f_{1} (x)}{f_{2} (x)}$ В частности, если $f_{1} (x), f_{2} (x)$ - многочлены	Множество всех $x$ , которые одновременно удовлетворяют условиям $x \in D (f_{1}), x \in D (f_{2}), f_{2} (x) \neq 0$ $f_{2} (x) \neq 0$
$y = \sqrt[n]{f (x)}$ , где $n$ - четное	$x \in D (f_{1}), f (x) \geq 0$
$y = \log_{f_{2} (x)} f_{1} (x)$ В частности, $y = \log_{a} f_{1} (x)$ В частности, $y = \log_{f_{2} (x)} a$	$x \in D (f_{1}), f_{1} (x) > 0, x \in D (f_{2}), f_{2} (x) > 0, f_{2} (x) \neq 1$ $x \in D (f_{1}), f_{1} (x) > 0$ $x \in D (f_{2}), f_{2} > 0, f_{2} (x) \neq 1$
Показательно-степенная $y = (f_{1} (x))^{f_{2} (x)}$	$x \in D (f_{1}), x \in D (f_{2}), f_{1} (x) > 0$

Отметим, что преобразования можно выполнять, начиная с правой части выражения. Отсюда видно, что допускаются тождественные преобразования, которые на область определения не влияют. Например, $y = \frac{x^{2} - 4}{x - 2}$ и $y = x + 2$ являются разными функциями, так как первая определяется на $(- \infty, 2) \cup (2, + \infty)$ , а вторая из множества действительных чисел. Из преобразования $y = \frac{x^{2} - 4}{x - 2} = \frac{(x - 2) (x + 2)}{x - 2} = x + 2$ видно, что функция имеет смысл при $x \neq 2$ .

Курсовая работа по математике

от 5 дней/ от 2160 р.

Реферат по математике

от 1 дня/ от 840 р.

Решение задач по математике

от 1 дня/ от 150 р.