Интегрирование иррациональных функций

17 ноября 2023
6 минут
1 642

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Универсального способа решения иррациональных уравнений нет, так как их класс отличается количеством. В статье будут выделены характерные виды уравнений с подстановкой при помощи метода интегрирования.

Для использования метода непосредственного интегрирования необходимо вычислять неопределенные интегралы типа $\int {(k x + b)}^{p} d x$ , где $p$ является рациональной дробью, $k$ и $b$ являются действительными коэффициентами.

Пример 1

Найти и вычислить первообразные функции $y = \frac{1}{\sqrt[3]{3 x - 1}}$ .

Решение

По правилу интегрирования необходимо применить формулу $\int f (k \cdot x + b) d x = \frac{1}{k} \cdot F (k \cdot x + b) + C$ , а таблица первообразных говорит о том, что имеется готовое решение данной функции. Получаем, что

$\int \frac{d x}{\sqrt[3]{3 x - 1}} = \int (3 x - 1)^{- \frac{1}{3}} d x = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{- \frac{1}{3} + 1} \cdot (3 x - 1)^{- \frac{1}{3} + 1} + C = = \frac{1}{2} (3 x - 1)^{\frac{2}{3}} + C$

Ответ: $\int \frac{d x}{\sqrt[3]{3 x - 1}} = \frac{1}{2} (3 x - 1)^{\frac{2}{3}} + C$ .

Имеют место быть случаи, когда можно использовать метод подведения под знак дифференциала. Это решается по принципу нахождения неопределенных интегралов вида $\int f' (x) \cdot (f (x))^{p} d x$ , когда значение $p$ считается рациональной дробью.

Пример 2

Найти неопределенный интеграл $\int \frac{3 x^{2} + 5}{\sqrt[6]{{(x^{3} + 5 x - 7)}^{7}}} d x$ .

Решение

Отметим, что $d (x^{3} + 5 x - 7) = {(x^{3} + 5 x - 7)}^{'} d x = (3 x^{2} + 5) d x$ . Тогда необходимо произвести подведение под знак дифференциала с использованием таблиц первообразных. Получаем, что

$\int \frac{3 x^{2} + 5}{\sqrt[6]{{(x^{3} + 5 x - 7)}^{7}}} d x = \int (x^{3} + 5 x - 7)^{- \frac{7}{6}} \cdot (3 x^{2} + 5) d x = = \int (x^{3} + 5 x - 7)^{- \frac{7}{6}} d (x^{3} + 5 x - 7) = \{x^{3} + 5 x - 7 = z\} = = \int z^{- \frac{7}{6}} d z = \frac{1}{- \frac{7}{6} + 1} z^{- \frac{7}{6} + 1} + C = - 6 z^{- \frac{1}{6}} + C = \{z = x^{3} + 5 x - 7\} = \frac{- 6}{\sqrt[6]{(x^{3} + 5 x - 7)}} + C$

Ответ: $\int \frac{3 x^{2} + 5}{\sqrt[6]{{(x^{3} + 5 x - 7)}^{7}}} d x = \frac{- 6}{\sqrt[6]{(x^{3} + 5 x - 7)}} + C$ .

Решение неопределенных интегралов предусматривает формулу вида $\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2} + p x + q}}$ , где $p$ и $q$ являются действительными коэффициентами. Тогда необходимо выделить полный квадрат из-под корня. Получаем, что

$x^{2} + p x + q = x^{2} + p x + {(\frac{p}{2})}^{2} - {(\frac{p}{2})}^{2} + q = {(x + \frac{p}{2})}^{2} + \frac{4 q - p^{2}}{4}$

Применив формулу, расположенную в таблице неопределенных интегралов, получаем:

$\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2} \pm α}} = \ln |x + \sqrt{x^{2} \pm α}| + C$

Тогда вычисление интеграла производится:

$\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2} + p x + q}} = \int \frac{d x}{\sqrt{{(x + \frac{p}{2})}^{2} + \frac{4 q - p^{2}}{4}}} = = \ln |x + \frac{p}{2} + \sqrt{{(x + \frac{p}{2})}^{2} + \frac{4 q - p^{2}}{4}}| + C = = \ln |x + \frac{p}{2} + \sqrt{x^{2} + p x + q}| + C$

Пример 3

Найти неопределенный интеграл вида $\int \frac{d x}{\sqrt{2 x^{2} + 3 x - 1}}$ .

Решение

Для вычисления необходимо вынести число $2$ и расположить его перед радикалом:

$\int \frac{d x}{\sqrt{2 x^{2} + 3 x - 1}} = \int \frac{d x}{\sqrt{2} (x^{2} + \frac{3}{2} x - \frac{1}{2})} = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{d x}{\sqrt{x^{2} + \frac{3}{2} x - \frac{1}{2}}}$

Произвести выделение полного квадрата в подкоренном выражении. Получим, что

$x^{2} + \frac{3}{2} x - \frac{1}{2} = x^{2} + \frac{3}{2} x + {(\frac{3}{4})}^{2} - {(\frac{3}{4})}^{2} - \frac{1}{2} = {(x + \frac{3}{4})}^{2} - \frac{17}{16}$

Тогда получаем неопределенный интеграл вида $\frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{d x}{\sqrt{x^{2} + \frac{3}{2} x - \frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{d x}{\sqrt{{(x + \frac{3}{4})}^{2} - \frac{17}{16}}} = = \frac{1}{\sqrt{2}} \ln |x + \frac{3}{4} + \sqrt{x^{2} + \frac{3}{2} x - \frac{1}{2}}| + C$

Ответ: $\frac{d x}{\sqrt{x^{2} + 3 x - 1}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \ln |x + \frac{3}{4} + \sqrt{x^{2} + \frac{3}{2} x - \frac{1}{2}}| + C$

Интегрирование иррациональных функций производится аналогичным способом. Применимо для функций вида $y = \frac{1}{\sqrt{- x^{2} + p x + q}}$ .

Пример 4

Найти неопределенный интеграл $\int \frac{d x}{\sqrt{- x^{2} + 4 x + 5}}$ .

Решение

Для начала необходимо вывести квадрат знаменателя выражения из-под корня.

$\int \frac{d x}{\sqrt{- x^{2} + 4 x + 5}} = \int \frac{d x}{\sqrt{-} (x^{2} - 4 x - 5)} = = \int \frac{d x}{\sqrt{- (x^{2} - 4 x + 4 - 4 - 5)}} = \int \frac{d x}{\sqrt{- ({(x - 2)}^{2} - 9)}} = \int \frac{d x}{\sqrt{- (x - 2)^{2} + 9}}$

Табличный интеграл имеет вид $\int \frac{d x}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} = a r c \sin \frac{x}{a} + C$ , тогда получаем, что $\int \frac{d x}{\sqrt{- x^{2} + 4 x + 5}} = \int \frac{d x}{- (x - 2)^{2} + 9} = a r c \sin \frac{x - 2}{3} + C$

Ответ: $\int \frac{d x}{\sqrt{- x^{2} + 4 x + 5}} = a r c \sin \frac{x - 2}{3} + C$ .

Процесс нахождения первообразных иррациональных функций вида $y = \frac{M x + N}{\sqrt{x^{2} + p x + q}}$ , где имеющиеся $M, N, p, q$ являются действительными коэффициентами, причем имеют схожесть с интегрированием простейших дробей третьего типа. Это преобразование имеет несколько этапов:

подведение дифференциала под корень, выделение полного квадрата выражения под корнем, применение табличных формул.

Пример 5

Найти первообразные функции $y = \frac{x + 2}{\sqrt{x^{2} - 3 x + 1}}$ .

Решение

Из условия имеем, что $d (x^{2} - 3 x + 1) = (2 x - 3) d x$ и $x + 2 = \frac{1}{2} (2 x - 3) + \frac{7}{2}$ , тогда $(x + 2) d x = (\frac{1}{2} (2 x - 3) + \frac{7}{2}) d x = \frac{1}{2} d (x^{2} - 3 x + 1) + \frac{7}{2} d x$ .

Рассчитаем интеграл: $\int \frac{x + 2}{\sqrt{x^{2} - 3 x + 1}} d x = \frac{1}{2} \int \frac{d (x^{2} - 3 x + 1)}{\sqrt{x^{2} - 3 x + 1}} + \frac{7}{2} \int \frac{d x}{\sqrt{x^{2} - 3 x + 1}} = = \frac{1}{2} \int (x^{2} - 3 x + 1)^{- \frac{1}{2}} d (x^{2} - 3 x + 1) + \frac{7}{2} \int \frac{d x}{\sqrt{{(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{5}{4}}} = = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{- \frac{1}{2} + 1} \cdot {(x^{2} - 3 x + 1)}^{- \frac{1}{2} + 1} + \frac{7}{2} \ln |x - \frac{3}{2} + \sqrt{(x - \frac{3}{2}) - \frac{5}{4}}| + C = = \sqrt{x^{2} - 3 x + 1} + \frac{7}{2} \ln |x - \frac{3}{2} + \sqrt{x^{2} - 3 x + 1}| + C$

Ответ: $\int \frac{x + 2}{\sqrt{x^{2} - 3 x + 1}} d x = \sqrt{x^{2} - 3 x + 1} + \frac{7}{2} \ln |x - \frac{3}{2} + \sqrt{x^{2} - 3 x + 1}| + C$ .

Поиск неопределенных интегралов функции $\int x^{m} (a + b x^{n})^{p} d x$ осуществляется при помощи метода подстановки.

Для решения необходимо ввести новые переменные:

Когда число $p$ является целым, тогда считают, что $x = z^{N}$ , а $N$ является общим знаменателем для $m, n$ .
Когда $\frac{m + 1}{n}$ является целым числом, тогда $a + b x^{n} = z^{N}$ , а $N$ является знаменателем числа $p$ .
Когда $\frac{m + 1}{n} + p$ является целым числом, то необходим ввод переменной $a x^{- n} + b = z^{N}$ , а $N$ является знаменателем числа $p$ .

Пример 6

Найти определенный интеграл $\int \frac{1}{x \sqrt{2 x - 9}} d x$ .

Решение

Получаем, что $\int \frac{1}{x \sqrt{2 x - 9}} d x = \int x^{- 1} \cdot (- 9 + 2 x^{1})^{- \frac{1}{2}} d x$ . Отсюда следует, что $m = - 1, n = 1$ , $p = - \frac{1}{2}$ , тогда $\frac{m + 1}{n} = \frac{- 1 + 1}{1} = 0$ является целым числом. Можно ввести новую переменную вида $- 9 + 2 x = z^{2}$ . Необходимо выразить $x$ через $z$ . На выходы получим, что

$- 9 + 2 x = z^{2} \Rightarrow x = \frac{z^{2} + 9}{2} \Rightarrow d x = {(\frac{z^{2} + 9}{2})}^{'} d z = z d z \sqrt{- 9 + 2 x} = z$

Необходимо произвести подстановку в заданный интеграл. Имеем, что

$\int \frac{d x}{x \sqrt{2 x - 9}} = \int \frac{z d z}{\frac{z^{2} + 9}{2} \cdot z} = 2 \int \frac{d z}{z^{2} + 9} = = \frac{2}{3} a r c t g \frac{z}{3} + C = \frac{2}{3} a r c c t g \frac{\sqrt{2 x - 9}}{3} + C$

Ответ: $\int \frac{d x}{x \sqrt{2 x - 9}} = \frac{2}{3} a r c c t g \frac{\sqrt{2 x - 9}}{3} + C$ .

Для упрощения решения иррациональных уравнений применяются основные методы интегрирования.