Использование рекуррентных формул при интегрировании

В этой статье мы расскажем, что такое рекуррентные формулы и как использовать их при интегрировании. Мы не будем перечислять все возможные варианты, а лишь сформулируем общий принцип их получения.

Рекуррентные формулы выражают $n$ $n$ -ный член последовательности через предыдущие члены. Их можно вывести путем преобразования подынтегральной функции с помощью метода интегрирования по частям.

Допустим, мы вычисляем неопределенный интеграл с помощью рекуррентной формулы $J_{n} (x) = \frac{\cos x \cdot \sin^{n - 1} (x)}{n} + \frac{n - 1}{n} J_{n - 2} (x)$ $J_{n} (x) = \frac{\cos x \cdot \sin^{n - 1} (x)}{n} + \frac{n - 1}{n} J_{n - 2} (x)$ .

Расчет будет выглядеть следующим образом:

$J_{5} (x) = \int \sin^{5} x d x = - \frac{\cos x \cdot \sin^{4} x}{5} + \frac{4}{5} J_{3} (x) = = - \frac{\cos x \cdot \sin^{4} x}{5} + \frac{4}{5} \int \sin^{3} x d x = = - \frac{\cos x \cdot \sin^{4} x}{5} + \frac{4}{5} (- \frac{\cos x \cdot \sin^{2} x}{3} + \frac{2}{3} \int \sin x d x) = = - \frac{\cos x \cdot \sin^{4} x}{5} - \frac{4 \cos x \cdot \sin^{2} x}{15} - \frac{8}{15} \cos x + C$ $J_{5} (x) = \int \sin^{5} x d x = - \frac{\cos x \cdot \sin^{4} x}{5} + \frac{4}{5} J_{3} (x) = = - \frac{\cos x \cdot \sin^{4} x}{5} + \frac{4}{5} \int \sin^{3} x d x = = - \frac{\cos x \cdot \sin^{4} x}{5} + \frac{4}{5} (- \frac{\cos x \cdot \sin^{2} x}{3} + \frac{2}{3} \int \sin x d x) = = - \frac{\cos x \cdot \sin^{4} x}{5} - \frac{4 \cos x \cdot \sin^{2} x}{15} - \frac{8}{15} \cos x + C$

Теперь рассмотрим, как именно была выведена формула $J_{n} (x) = \int \sin^{n} x d x = - \frac{\cos x \cdot \sin^{n - 1} (x)}{n} + \frac{n - 1}{n} J_{n - 2} (x)$ $J_{n} (x) = \int \sin^{n} x d x = - \frac{\cos x \cdot \sin^{n - 1} (x)}{n} + \frac{n - 1}{n} J_{n - 2} (x)$ . Вспомним основные тригонометрические формулы и запишем:

$J_{n} (x) = \int \sin^{n} x d x = \int \sin^{n - 2} x \cdot \sin^{2} x d x = \int \sin^{n - 2} x \cdot (1 - \cos^{2} x) d x = = \int \sin^{n - 2} x d x - \int \sin^{n - 2} x \cdot \cos^{2} x d x = J_{n - 2} (x) - \int \sin^{n - 2} x \cdot \cos^{2} x d x$ $J_{n} (x) = \int \sin^{n} x d x = \int \sin^{n - 2} x \cdot \sin^{2} x d x = \int \sin^{n - 2} x \cdot (1 - \cos^{2} x) d x = = \int \sin^{n - 2} x d x - \int \sin^{n - 2} x \cdot \cos^{2} x d x = J_{n - 2} (x) - \int \sin^{n - 2} x \cdot \cos^{2} x d x$

Получившийся в итоге интеграл можно взять, используя метод интегрирования по частям. Берем в качестве функции $u (x) \cos x$ $u (x) \cos x$ , тогда $d (v (x)) = \sin^{n - 2} x \cdot \cos x d x$ $d (v (x)) = \sin^{n - 2} x \cdot \cos x d x$ .

$d (u (x)) = - \sin x d x, v (x) = \int \sin^{n - 2} x \cdot \cos x d x = \int \sin^{n - 2} x d (\sin x) = \frac{\sin^{n - 1} x}{n - 1}$ $d (u (x)) = - \sin x d x, v (x) = \int \sin^{n - 2} x \cdot \cos x d x = \int \sin^{n - 2} x d (\sin x) = \frac{\sin^{n - 1} x}{n - 1}$

Значит,

$\int \sin^{n - 2} x \cdot \cos^{2} x d x = u (x) v (x) - \int v (x) d (u (x)) = = \frac{\sin^{n - 1} x \cdot \cos x}{n - 1} + \frac{1}{n - 1} \int \sin^{n} x d x = \frac{\sin^{n - 1} x \cdot \cos x}{n - 1} + \frac{1}{n - 1} J_{n} (x)$ $\int \sin^{n - 2} x \cdot \cos^{2} x d x = u (x) v (x) - \int v (x) d (u (x)) = = \frac{\sin^{n - 1} x \cdot \cos x}{n - 1} + \frac{1}{n - 1} \int \sin^{n} x d x = \frac{\sin^{n - 1} x \cdot \cos x}{n - 1} + \frac{1}{n - 1} J_{n} (x)$

Теперь вернемся к тому интегралу, что был у нас в начале:

$J_{n} (x) = \int \sin^{n} x d x = J_{n - 2} (x) - \int \sin^{n - 2} x \cdot \cos^{2} x d x = = J_{n - 2} (x) - (\frac{\sin^{n - 1} x \cdot \cos x}{n - 1} + \frac{1}{n - 1} J_{n} (x)) = = J_{n - 2} (x) - \frac{\sin^{n - 1} x \cdot \cos x}{n - 1} - \frac{1}{n - 1} J_{n} (x)$ $J_{n} (x) = \int \sin^{n} x d x = J_{n - 2} (x) - \int \sin^{n - 2} x \cdot \cos^{2} x d x = = J_{n - 2} (x) - (\frac{\sin^{n - 1} x \cdot \cos x}{n - 1} + \frac{1}{n - 1} J_{n} (x)) = = J_{n - 2} (x) - \frac{\sin^{n - 1} x \cdot \cos x}{n - 1} - \frac{1}{n - 1} J_{n} (x)$

Таким образом, мы получим следующее:

$J_{n} (x) = J_{n - 2} (x) - \frac{\sin^{n - 1} x \cdot \cos x}{n - 1} - \frac{1}{n - 1} J_{n} (x) \Rightarrow \Rightarrow (1 + \frac{1}{n - 1}) J_{n} (x) = J_{n - 2} (x) - \frac{\sin^{n - 1} x \cdot \cos x}{n - 1} \Rightarrow J_{n} (x) = - \frac{\cos x \cdot \sin^{n - 1} (x)}{n} + \frac{n - 1}{n} J_{n - 2} (x)$ $J_{n} (x) = J_{n - 2} (x) - \frac{\sin^{n - 1} x \cdot \cos x}{n - 1} - \frac{1}{n - 1} J_{n} (x) \Rightarrow \Rightarrow (1 + \frac{1}{n - 1}) J_{n} (x) = J_{n - 2} (x) - \frac{\sin^{n - 1} x \cdot \cos x}{n - 1} \Rightarrow J_{n} (x) = - \frac{\cos x \cdot \sin^{n - 1} (x)}{n} + \frac{n - 1}{n} J_{n - 2} (x)$

Это и есть то, что нам нужно было доказать.

Другие рекуррентные формулы могут быть выведены точно таким же образом.

Определение 1

Чтобы найти интеграл вида $J_{n} (x) = \int \sin^{n} x d x$ $J_{n} (x) = \int \sin^{n} x d x$ , нужно использовать формулу $J_{n} (x) = - \frac{\cos x \cdot \sin^{n - 1} (x)}{n} + \frac{n - 1}{n} J_{n - 2} (x)$ $J_{n} (x) = - \frac{\cos x \cdot \sin^{n - 1} (x)}{n} + \frac{n - 1}{n} J_{n - 2} (x)$ , где $n$ $n$ является натуральным числом.
Если нам надо вычислить интеграл вида $J_{n} (x) = \int \frac{d x}{\sin^{n} (x)}$ $J_{n} (x) = \int \frac{d x}{\sin^{n} (x)}$ , то для этого нам пригодится формула $J_{n} (x) = \frac{\cos x}{(n - 1) \cdot \sin^{n - 1} x} + \frac{n - 2}{n - 1} J_{n - 2} (x)$ $J_{n} (x) = \frac{\cos x}{(n - 1) \cdot \sin^{n - 1} x} + \frac{n - 2}{n - 1} J_{n - 2} (x)$ .
Для вычисления интеграла $K_{n} (x) = \int \cos^{n} (x) d x$ $K_{n} (x) = \int \cos^{n} (x) d x$ применяется рекуррентная формула $K_{n} (x) = \frac{\sin x \cdot \cos^{n - 1} (x)}{n} + \frac{n - 1}{n} K_{n - 2} (x)$ $K_{n} (x) = \frac{\sin x \cdot \cos^{n - 1} (x)}{n} + \frac{n - 1}{n} K_{n - 2} (x)$ .
Чтобы найти интеграл вида $K_{n} (x) = \frac{\sin x \cdot \cos^{n - 1} (x)}{n} + \frac{n - 1}{n} K_{n - 2} (x)$ $K_{n} (x) = \frac{\sin x \cdot \cos^{n - 1} (x)}{n} + \frac{n - 1}{n} K_{n - 2} (x)$ , берем формулу $K_{n} (x) = \frac{\sin x}{(n - 1) \cdot \cos^{n - 1} x} + \frac{n - 2}{n - 1} K_{n - 2} (x)$ $K_{n} (x) = \frac{\sin x}{(n - 1) \cdot \cos^{n - 1} x} + \frac{n - 2}{n - 1} K_{n - 2} (x)$ .

Пример 1

Вычислите неопределенный интеграл $\int \cos^{- 3} x d x$ $\int \cos^{- 3} x d x$ .

Решение

Нам потребуется рекуррентная формула, указанная в пункте $4$ $4$ . Значение $n$ $n$ при этом будет равно трем.

Из таблицы первообразных мы знаем, что $\int \cos^{- 1} x d x = \ln |\frac{1 + \sin x}{\cos x}| + C_{1}$ $\int \cos^{- 1} x d x = \ln |\frac{1 + \sin x}{\cos x}| + C_{1}$ , следовательно,

$\int \cos^{- 3} x d x = \frac{\sin x}{2 \cos^{2} x} + \frac{1}{2} \int \cos^{- 1} x d x = = \frac{\sin x}{2 \cos^{2} x} + \frac{1}{2} \ln |\frac{1 + \sin x}{\cos x}| + C$ $\int \cos^{- 3} x d x = \frac{\sin x}{2 \cos^{2} x} + \frac{1}{2} \int \cos^{- 1} x d x = = \frac{\sin x}{2 \cos^{2} x} + \frac{1}{2} \ln |\frac{1 + \sin x}{\cos x}| + C$

Добавим к нашему списку формул еще одну. Она пригодится в том случае, если нужно выполнить интегрирование простейших дробей четвертого типа.

$J_{n} = \int \frac{d x}{{(x^{2} + p x + q)}^{n}} = = \frac{2 x + p}{(n - 1) (4 q - p^{2}) (x^{2} + p x + q)^{n - 1}} + \frac{2 n - 3}{n - 1} \cdot \frac{2}{4 q - p^{2}} \cdot J_{n - 1}$ $J_{n} = \int \frac{d x}{{(x^{2} + p x + q)}^{n}} = = \frac{2 x + p}{(n - 1) (4 q - p^{2}) (x^{2} + p x + q)^{n - 1}} + \frac{2 n - 3}{n - 1} \cdot \frac{2}{4 q - p^{2}} \cdot J_{n - 1}$

Она выводится путем преобразования подынтегральной функции с дальнейшим интегрированием по частям.

$\int \frac{d x}{{(x^{2} + p x + q)}^{n}} = \int \frac{d x}{{({(x + \frac{p}{2})}^{2} + \frac{4 q - p^{2}}{4})}^{n}} = \{z = x + \frac{p}{2}\} = = \int \frac{d z}{{(z^{2} + \frac{4 q - p^{2}}{4})}^{n}} = \frac{4}{4 q - p^{2}} \int \frac{(z^{2} + \frac{4 q - p^{2}}{4} - z^{2}) d z}{{(z^{2} + \frac{4 q - p^{2}}{4})}^{n}} = = \frac{4}{4 q - p^{2}} \int \frac{d z}{{(z^{2} + \frac{4 q - p^{2}}{4})}^{n - 1}} - \frac{4}{4 q - p^{2}} \int \frac{z^{2} d z}{{(z^{2} + \frac{4 q - p^{2}}{4})}^{n - 1}}$ $\int \frac{d x}{{(x^{2} + p x + q)}^{n}} = \int \frac{d x}{{({(x + \frac{p}{2})}^{2} + \frac{4 q - p^{2}}{4})}^{n}} = \{z = x + \frac{p}{2}\} = = \int \frac{d z}{{(z^{2} + \frac{4 q - p^{2}}{4})}^{n}} = \frac{4}{4 q - p^{2}} \int \frac{(z^{2} + \frac{4 q - p^{2}}{4} - z^{2}) d z}{{(z^{2} + \frac{4 q - p^{2}}{4})}^{n}} = = \frac{4}{4 q - p^{2}} \int \frac{d z}{{(z^{2} + \frac{4 q - p^{2}}{4})}^{n - 1}} - \frac{4}{4 q - p^{2}} \int \frac{z^{2} d z}{{(z^{2} + \frac{4 q - p^{2}}{4})}^{n - 1}}$

Получившийся в итоге интеграл мы берем по частям.

Ответы: $d (v (z)) = \frac{z d z}{{(z^{2} + \frac{4 q - p^{2}}{4})}^{n - 1}}$ $d (v (z)) = \frac{z d z}{{(z^{2} + \frac{4 q - p^{2}}{4})}^{n - 1}}$

Пример 2

Найдите множество первообразных функции $\frac{1}{(x^{2} + 3 x + 8)^{3}}$ $\frac{1}{(x^{2} + 3 x + 8)^{3}}$ .

Решение

Из условия мы знаем, что $q = 8, p = 3$ $q = 8, p = 3$ , а $n = 3$ $n = 3$ . Для вычисления берем рекуррентную формулу:

$\int \frac{d x}{(x^{2} + 3 x + 8)^{3}} = = \frac{2 x + 3}{(3 - 1) (4 \cdot 8 - 3^{2}) {(x^{2} + 3 x + 8)}^{3 - 1}} + \frac{2 \cdot 3 - 3}{3 - 1} \cdot \frac{2}{4 \cdot 8 - 3^{2}} \cdot \int \frac{d x}{(x^{2} + 3 x + 8)^{2}} = = \frac{2 x + 3}{46 (x^{2} + 3 x + 8)^{2}} + \frac{3}{23} \cdot \int \frac{d x}{(x^{2} + 3 x + 8)^{2}} = = \{п р и м е н я е м ф о р м у л у в н о в ь д л я n = 2\} = = \frac{2 x + 3}{46 (x^{2} + 3 x + 8)^{2}} + + \frac{3}{23} \cdot (\frac{2 x + 3}{(2 - 1) (4 \cdot 8 - 3^{2}) {(x^{2} + 3 x + 8)}^{2 - 1}} + \frac{2 \cdot 2 - 3}{2 - 1} \cdot \frac{2}{4 \cdot 8 - 3^{2}} \cdot \int \frac{d x}{x^{2} + 3 x + 8}) = = \frac{2 x + 3}{46 (x^{2} + 3 x + 8)^{2}} + \frac{3}{529} \cdot \frac{2 x + 3}{x^{2} + 3 x + 8} + \frac{6}{529} \cdot \int \frac{d x}{x^{2} + 3 x + 8} = = \{в ы д е л я е м п о л н ы й к в а д р а т в з н а м е н а т е л е\} = = \frac{2 x + 3}{46 (x^{2} + 3 x + 8)^{2}} + \frac{3}{529} \cdot \frac{2 x + 3}{x^{2} + 3 x + 8} + \frac{6}{529} \cdot \int \frac{d x}{{(x + \frac{3}{2})}^{2} + \frac{23}{4}} = = \frac{2 x + 3}{46 (x^{2} + 3 x + 8)^{2}} + \frac{3}{529} \cdot \frac{2 x + 3}{x^{2} + 3 x + 8} + \frac{6}{529} \cdot \frac{2}{\sqrt{23}} \cdot a r c t g \frac{2 x + 3}{\sqrt{23}} + C = = \frac{2 x + 3}{46 (x^{2} + 3 x + 8)^{2}} + \frac{3}{529} \cdot \frac{2 x + 3}{x^{2} + 3 x + 8} + \frac{12}{529 \sqrt{23}} \cdot a r c t g \frac{2 x + 3}{\sqrt{23}} + C$ $\int \frac{d x}{(x^{2} + 3 x + 8)^{3}} = = \frac{2 x + 3}{(3 - 1) (4 \cdot 8 - 3^{2}) {(x^{2} + 3 x + 8)}^{3 - 1}} + \frac{2 \cdot 3 - 3}{3 - 1} \cdot \frac{2}{4 \cdot 8 - 3^{2}} \cdot \int \frac{d x}{(x^{2} + 3 x + 8)^{2}} = = \frac{2 x + 3}{46 (x^{2} + 3 x + 8)^{2}} + \frac{3}{23} \cdot \int \frac{d x}{(x^{2} + 3 x + 8)^{2}} = = \{п р и м е н я е м ф о р м у л у в н о в ь д л я n = 2\} = = \frac{2 x + 3}{46 (x^{2} + 3 x + 8)^{2}} + + \frac{3}{23} \cdot (\frac{2 x + 3}{(2 - 1) (4 \cdot 8 - 3^{2}) {(x^{2} + 3 x + 8)}^{2 - 1}} + \frac{2 \cdot 2 - 3}{2 - 1} \cdot \frac{2}{4 \cdot 8 - 3^{2}} \cdot \int \frac{d x}{x^{2} + 3 x + 8}) = = \frac{2 x + 3}{46 (x^{2} + 3 x + 8)^{2}} + \frac{3}{529} \cdot \frac{2 x + 3}{x^{2} + 3 x + 8} + \frac{6}{529} \cdot \int \frac{d x}{x^{2} + 3 x + 8} = = \{в ы д е л я е м п о л н ы й к в а д р а т в з н а м е н а т е л е\} = = \frac{2 x + 3}{46 (x^{2} + 3 x + 8)^{2}} + \frac{3}{529} \cdot \frac{2 x + 3}{x^{2} + 3 x + 8} + \frac{6}{529} \cdot \int \frac{d x}{{(x + \frac{3}{2})}^{2} + \frac{23}{4}} = = \frac{2 x + 3}{46 (x^{2} + 3 x + 8)^{2}} + \frac{3}{529} \cdot \frac{2 x + 3}{x^{2} + 3 x + 8} + \frac{6}{529} \cdot \frac{2}{\sqrt{23}} \cdot a r c t g \frac{2 x + 3}{\sqrt{23}} + C = = \frac{2 x + 3}{46 (x^{2} + 3 x + 8)^{2}} + \frac{3}{529} \cdot \frac{2 x + 3}{x^{2} + 3 x + 8} + \frac{12}{529 \sqrt{23}} \cdot a r c t g \frac{2 x + 3}{\sqrt{23}} + C$

Ответ: $\int \frac{d x}{(x^{2} + 3 x + 8)^{3}} = \frac{2 x + 3}{46 (x^{2} + 3 x + 8)^{2}} + \frac{3}{529} \cdot \frac{2 x + 3}{x^{2} + 3 x + 8} + \frac{12}{529 \sqrt{23}} \cdot a r c t g \frac{2 x + 3}{\sqrt{23}} + C$ $\int \frac{d x}{(x^{2} + 3 x + 8)^{3}} = \frac{2 x + 3}{46 (x^{2} + 3 x + 8)^{2}} + \frac{3}{529} \cdot \frac{2 x + 3}{x^{2} + 3 x + 8} + \frac{12}{529 \sqrt{23}} \cdot a r c t g \frac{2 x + 3}{\sqrt{23}} + C$

Подводя итоги статьи, отметим, что применение рекуррентных формул делает интегрирование более быстрым и простым, однако в некоторых случаях можно обойтись без них, воспользовавшись основными методами интегрирования.