Использование рекуррентных формул при интегрировании

В этой статье мы расскажем, что такое рекуррентные формулы и как использовать их при интегрировании. Мы не будем перечислять все возможные варианты, а лишь сформулируем общий принцип их получения.

Рекуррентные формулы выражают $n$-ный член последовательности через предыдущие члены. Их можно вывести путем преобразования подынтегральной функции с помощью метода интегрирования по частям.

Допустим, мы вычисляем неопределенный интеграл с помощью рекуррентной формулы $J_n\left(x\right)=\frac{\cos x·{\sin }^{n-1}\left(x\right)}{n}+\frac{n-1}{n}{J}_{n-2}\left(x\right)$.

Расчет будет выглядеть следующим образом:

$$\begin{gathered} J_5\left(x\right)=\int {\sin }^{5}xdx=-\frac{\cos x·{\sin }^{4}x}{5}+\frac{4}{5}{J}_3\left(x\right)= \\ =-\frac{\cos x·{\sin }^{4}x}{5}+\frac{4}{5}\int {\sin }^{3}xdx= \\ =-\frac{\cos x·{\sin }^{4}x}{5}+\frac{4}{5}\left(-\frac{\cos x·{\sin }^{2}x}{3}+\frac{2}{3}\int \sin xdx\right)= \\ =-\frac{\cos x·{\sin }^{4}x}{5}-\frac{4\cos x·{\sin }^2 x}{15}-\frac{8}{15}\cos x+C \end{gathered}$$

Теперь рассмотрим, как именно была выведена формула $J_n\left(x\right)=\int {\sin }^{n}xdx=-\frac{\cos x·{\sin }^{n-1}\left(x\right)}{n}+\frac{n-1}{n}{J}_{n-2}\left(x\right)$. Вспомним основные тригонометрические формулы и запишем:

$$\begin{gathered} J_n\left(x\right)=\int {\sin }^{n}xdx=\int {\sin }^{n-2}x·{\sin }^{2}xdx=\int {\sin }^{n-2}x·(1-{\cos }^{2}x)dx= \\ =\int {\sin }^{n-2}xdx-\int {\sin }^{n-2}x·{\cos }^{2}xdx=J_{n-2}\left(x\right)-\int {\sin }^{n-2}x·{\cos }^{2}xdx \end{gathered}$$

Получившийся в итоге интеграл можно взять, используя метод интегрирования по частям. Берем в качестве функции $u\left(x\right)\cos x$, тогда $d\left(v\left(x\right)\right)={\sin }^{n-2}x·\cos xdx$.

$$\begin{gathered} d\left(u\left(x\right)\right)=-\sin xdx, \\ v\left(x\right)=\int {\sin }^{n-2}x·\cos xdx=\int {\sin }^{n-2}xd(\sin x)=\frac{{\sin }^{n-1}x}{n-1} \end{gathered}$$

Значит,

$$\begin{gathered} \int {\sin }^{n-2}x·{\cos }^{2}xdx=u\left(x\right)v\left(x\right)-\int v\left(x\right)d\left(u\right(x\left)\right)= \\ =\frac{{\sin }^{n-1}x·\cos x}{n-1}+\frac{1}{n-1}\int {\sin }^{n}xdx=\frac{{\sin }^{n-1}x·\cos x}{n-1}+\frac{1}{n-1}{J}_n\left(x\right) \end{gathered}$$

Теперь вернемся к тому интегралу, что был у нас в начале:

$$\begin{gathered} J_n\left(x\right)=\int {\sin }^{n}xdx=J_{n-2}\left(x\right)-\int {\sin }^{n-2}x·{\cos }^{2}xdx= \\ =J_{n-2}\left(x\right)-\left(\frac{{\sin }^{n-1}x·\cos x}{n-1}+\frac{1}{n-1}{J}_n\left(x\right)\right)= \\ =J_{n-2}\left(x\right)-\frac{{\sin }^{n-1}x·\cos x}{n-1}-\frac{1}{n-1}{J}_n\left(x\right) \end{gathered}$$

Таким образом, мы получим следующее:

$$\begin{gathered} J_n\left(x\right)=J_{n-2}\left(x\right)-\frac{{\sin }^{n-1}x·\cos x}{n-1}-\frac{1}{n-1}{J}_n\left(x\right)\Rightarrow \\ \Rightarrow \left(1+\frac{1}{n-1}\right)J_n\left(x\right)=J_{n-2}\left(x\right)-\frac{{\sin }^{n-1}x·\cos x}{n-1}\Rightarrow \\ {J}_n\left(x\right)=-\frac{\cos x·{\sin }^{n-1}\left(x\right)}{n}+\frac{n-1}{n}{J}_{n-2}\left(x\right) \end{gathered}$$

Это и есть то, что нам нужно было доказать.

Другие рекуррентные формулы могут быть выведены точно таким же образом.

Подводя итоги статьи, отметим, что применение рекуррентных формул делает интегрирование более быстрым и простым, однако в некоторых случаях можно обойтись без них, воспользовавшись основными методами интегрирования.