Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik
Использование рекуррентных формул при интегрировании
- 27 марта 2023
- 5 минут
- 1 700
В этой статье мы расскажем, что такое рекуррентные формулы и как использовать их при интегрировании. Мы не будем перечислять все возможные варианты, а лишь сформулируем общий принцип их получения.
Рекуррентные формулы выражают -ный член последовательности через предыдущие члены. Их можно вывести путем преобразования подынтегральной функции с помощью метода интегрирования по частям.
Допустим, мы вычисляем неопределенный интеграл с помощью рекуррентной формулы .
Расчет будет выглядеть следующим образом:
Теперь рассмотрим, как именно была выведена формула . Вспомним основные тригонометрические формулы и запишем:
Получившийся в итоге интеграл можно взять, используя метод интегрирования по частям. Берем в качестве функции , тогда .
Значит,
Теперь вернемся к тому интегралу, что был у нас в начале:
Таким образом, мы получим следующее:
Это и есть то, что нам нужно было доказать.
Другие рекуррентные формулы могут быть выведены точно таким же образом.
- Чтобы найти интеграл вида , нужно использовать формулу , где является натуральным числом.
- Если нам надо вычислить интеграл вида , то для этого нам пригодится формула .
- Для вычисления интеграла применяется рекуррентная формула .
- Чтобы найти интеграл вида , берем формулу .
Вычислите неопределенный интеграл .
Решение
Нам потребуется рекуррентная формула, указанная в пункте . Значение при этом будет равно трем.
Из таблицы первообразных мы знаем, что , следовательно,
Добавим к нашему списку формул еще одну. Она пригодится в том случае, если нужно выполнить интегрирование простейших дробей четвертого типа.
Она выводится путем преобразования подынтегральной функции с дальнейшим интегрированием по частям.
Получившийся в итоге интеграл мы берем по частям.
Ответы:
Найдите множество первообразных функции .
Решение
Из условия мы знаем, что , а . Для вычисления берем рекуррентную формулу:
Ответ:
Подводя итоги статьи, отметим, что применение рекуррентных формул делает интегрирование более быстрым и простым, однако в некоторых случаях можно обойтись без них, воспользовавшись основными методами интегрирования.