Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik
Использование рекуррентных формул при интегрировании
- 27 марта 2023
- 5 минут
- 2 589
В этой статье мы расскажем, что такое рекуррентные формулы и как использовать их при интегрировании. Мы не будем перечислять все возможные варианты, а лишь сформулируем общий принцип их получения.
Рекуррентные формулы выражают n-ный член последовательности через предыдущие члены. Их можно вывести путем преобразования подынтегральной функции с помощью метода интегрирования по частям.
Допустим, мы вычисляем неопределенный интеграл с помощью рекуррентной формулы Jn(x)=cos x·sinn-1(x)n+n-1nJn-2(x).
Расчет будет выглядеть следующим образом:
J5(x)=∫sin5xdx=-cos x·sin4x5+45J3(x)==-cos x·sin4x5+45∫sin3xdx==-cos x·sin4x5+45(-cos x·sin2x3+23∫sin xdx)==-cos x·sin4x5-4cos x·sin2 x15-815cos x+C
Теперь рассмотрим, как именно была выведена формула Jn(x)=∫sinnxdx=-cos x·sinn-1(x)n+n-1nJn-2(x). Вспомним основные тригонометрические формулы и запишем:
Jn(x)=∫sinnxdx=∫sinn-2x·sin2xdx=∫sinn-2x·(1-cos2x)dx==∫sinn-2xdx-∫sinn-2x·cos2xdx=Jn-2(x)-∫sinn-2x·cos2xdx
Получившийся в итоге интеграл можно взять, используя метод интегрирования по частям. Берем в качестве функции u(x)cos x, тогда d(v(x))=sinn-2x·cos xdx.
d(u(x))=-sin xdx, v(x)=∫sinn-2x·cos xdx=∫sinn-2xd(sin x)=sinn-1xn-1
Значит,
∫sinn-2x·cos2xdx=u(x)v(x)-∫v(x)d(u(x))==sinn-1x·cos xn-1+1n-1∫sinnxdx=sinn-1x·cos xn-1+1n-1Jn(x)
Теперь вернемся к тому интегралу, что был у нас в начале:
Jn(x)=∫sinnxdx=Jn-2(x)-∫sinn-2x·cos2xdx==Jn-2(x)-(sinn-1x·cos xn-1+1n-1Jn(x))==Jn-2(x)-sinn-1x·cos xn-1-1n-1Jn(x)
Таким образом, мы получим следующее:
Jn(x)=Jn-2(x)-sinn-1x·cos xn-1-1n-1Jn(x)⇒⇒(1+1n-1)Jn(x)=Jn-2(x)-sinn-1x·cos xn-1⇒Jn(x)=-cos x·sinn-1(x)n+n-1nJn-2(x)
Это и есть то, что нам нужно было доказать.
Другие рекуррентные формулы могут быть выведены точно таким же образом.
- Чтобы найти интеграл вида Jn(x)=∫sinnxdx, нужно использовать формулу Jn(x)=-cos x·sinn-1(x)n+n-1nJn-2(x), где n является натуральным числом.
- Если нам надо вычислить интеграл вида Jn(x)=∫dxsinn(x), то для этого нам пригодится формула Jn(x)=cos x(n-1)·sinn-1x+n-2n-1Jn-2(x).
- Для вычисления интеграла Kn(x)=∫cosn(x)dx применяется рекуррентная формула Kn(x)=sin x·cosn-1(x)n+n-1nKn-2(x).
- Чтобы найти интеграл вида Kn(x)=sin x·cosn-1(x)n+n-1nKn-2(x), берем формулу Kn(x)=sin x(n-1)·cosn-1x+n-2n-1Kn-2(x).
Вычислите неопределенный интеграл ∫cos-3xdx.
Решение
Нам потребуется рекуррентная формула, указанная в пункте 4. Значение n при этом будет равно трем.
Из таблицы первообразных мы знаем, что ∫cos-1xdx=lnopen, следовательно,
Добавим к нашему списку формул еще одну. Она пригодится в том случае, если нужно выполнить интегрирование простейших дробей четвертого типа.
Она выводится путем преобразования подынтегральной функции с дальнейшим интегрированием по частям.
Получившийся в итоге интеграл мы берем по частям.
Ответы:
Найдите множество первообразных функции .
Решение
Из условия мы знаем, что , а . Для вычисления берем рекуррентную формулу:
Ответ:
Подводя итоги статьи, отметим, что применение рекуррентных формул делает интегрирование более быстрым и простым, однако в некоторых случаях можно обойтись без них, воспользовавшись основными методами интегрирования.
Сохранить статью удобным способом