Свойства определенного интеграла

Отсюда видим, что значением интеграла с совпадающими пределами равняется нулю. Это следствие интеграла Римана, потому как каждая интегральная сумма $\sigma$ для любого разбиения на промежутке $[a; a]$ и любого выбора точек ${\zeta }_i$ равняется нулю, потому как $x_i-x_{i-1}=0, i=1, 2,..., n$, значит, получаем, что предел интегральных функций – ноль.

Иначе говоря, если сменить верхний и нижний предел интегрирования местами, то значение интеграла поменяет значение на противоположное. Данное свойство взято из интеграла Римана. Однако, нумерация разбиения отрезка идет с точки $х=b$.

Записать интегральную сумму функции $y=f\left(x\right)\pm g\left(x\right)$ для разбиения на отрезки с данным выбором точек ${\zeta }_i$: $$\begin{gathered} \sigma =\sum _{i=1}^n\left(f\left({\zeta }_i\right)\pm g\left({\zeta }_i\right)\right)·\left(x_i-x_{i-1}\right)= \\ =\sum _{i=1}^{n}f\left({\zeta }_i\right)·\left(x_i-x_{i-1}\right)\pm \sum _{i=1}^{n}g\left({\zeta }_i\right)·\left(x_i-x_{i-1}\right)={\sigma }_f\pm {\sigma }_g \end{gathered}$$

где ${\sigma }_f$ и ${\sigma }_g$ являются интегральными суммами функций $y = f\left(x\right)$ и $y = g\left(x\right)$ для разбиения отрезка. После перехода к пределу при $\lambda =\underset{i=1, 2,..., n}{max}(x_i-x_{i-1})\to 0$ получаем, что $\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sigma =\underset{\lambda \to 0}{\lim }\left({\sigma }_f\pm {\sigma }_g\right)=\underset{\lambda \to 0}{\lim }{\sigma }_g\pm \underset{\lambda \to 0}{\lim }{\sigma }_g$.

Из определения Римана это выражение является равносильным.

Доказательство свойства определенного интеграла аналогично предыдущему: 

$$\begin{gathered} \sigma =\sum _{i=1}^{n}k·f\left({\zeta }_i\right)·(x_i-x_{i-1})= \\ =k·\sum _{i=1}^{n}f\left({\zeta }_i\right)·(x_i-x_{i-1})=k·{\sigma }_f\Rightarrow \\ \underset{\lambda \to 0}{\lim }\sigma =\underset{\lambda \to 0}{\lim }(k·{\sigma }_f)=k·\underset{\lambda \to 0}{\lim }{\sigma }_f\Rightarrow \\ {\int }_a^{b}k·f\left(x\right)dx=k·{\int }_a^{b}f\left(x\right)dx \end{gathered}$$

Свойство считается справедливым для $c\in \left[a; b\right]$, для $c\le a$ и $c\ge b$. Доказательство проводится аналогично предыдущим свойствам.

Доказательство основывается на свойстве Дарбу: если у имеющегося разбиения отрезка произвести добавление точек, тогда нижняя сумма Дарбу не будет уменьшаться,  а верхняя не будет увеличиваться.

Если функции $y = f\left(x\right)$ и $y = g\left(x\right)$интегрируемы на отрезке $[a; b]$ , тогда следующие неравенства считаются справедливыми:

$$\begin{gathered} {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx\le {\int }_a^{b}g\left(x\right)dx, если f\left(x\right)\le g\left(x\right) \forall x\in \left[a;b\right] \\ {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx\ge {\int }_a^{b}g\left(x\right)dx, если f\left(x\right)\ge g\left(x\right) \forall x\in \left[a;b\right] \end{gathered}$$

Благодаря утверждению знаем, что интегрирование допустимо. Данное следствие будет использовано в доказательстве других свойств.

Имеем, что $-\left|f\left(x\right)\right|\le f\left(x\right)\le \left|f\left(x\right)\right|$. Из предыдущего свойства получили, что неравенство может быть интегрировано почленно  и ему соответствует неравенство вида $-{\int }_a^b\left|f\left(x\right)\right|dx\le {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx\le {\int }_a^b\left|f\left(x\right)\right|dx$. Данное двойное неравенство  может быть записано в другой форме: $\left|{\int }_a^{b}f\left(x\right)dx\right|\le {\int }_a^b\left|f\left(x\right)\right|dx$.

Аналогичным образом производится доказательство. $M$ и $m$ считаются наибольшим и наименьшим значением функции $y = f\left(x\right)$, определенной из отрезка $[a; b]$, тогда $m\le f\left(x\right)\le M$. Необходимо умножить двойное неравенство на функцию $y = g\left(x\right)$, что даст значение двойного неравенства вида $m·g\left(x\right)\le f\left(x\right)·g\left(x\right)\le M·g\left(x\right)$. Необходимо проинтегрировать его на отрезке $[a; b]$, тогда получим доказываемое утверждение.

Следствие: При $g\left(x\right)=1$ неравенство принимает вид $m·\left(b-a\right)\le {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx\le M·(b-a)$.