Processing math: 100%
Автор статьи

Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik

Свойства определенного интеграла

Содержание:
  1. Основные свойства определенного интеграла
  2. Первая формула среднего значения 
  3. Первая формула среднего значения в обобщенной форме
  4. Вторая формула среднего значения

Данная статья подробно рассказывает об основных свойствах определенного интеграла. Они доказываются при помощи понятия интеграла Римана и Дарбу. Вычисление определенного интеграла проходит, благодаря 5 свойствам. Оставшиеся из них применяются для оценивания различных выражений.

Перед переходом к основным свойствам определенного интеграла, необходимо удостовериться в том, что a не превосходит b.

Основные свойства определенного интеграла

Определение 1

Функция y = f(x), определенная при х=а, аналогично справедливому равенству aaf(x)dx=0.

Доказательство 1

Отсюда видим, что значением интеграла с совпадающими пределами равняется нулю. Это следствие интеграла Римана, потому как каждая интегральная сумма σ для любого разбиения на промежутке [a; a] и любого выбора точек ζi равняется нулю, потому как xi-xi-1=0, i=1, 2,..., n, значит, получаем, что предел интегральных функций – ноль.

Определение 2

Для функции, интегрируемой на отрезке [a; b], выполняется условие baf(x)dx=-abf(x)dx.

Доказательство 2

Иначе говоря, если сменить верхний и нижний предел интегрирования местами, то значение интеграла поменяет значение на противоположное. Данное свойство взято из интеграла Римана. Однако, нумерация разбиения отрезка идет с точки х=b.

Определение 3

ba(f(x)±g(x))dx=baf(x)dx±bag(x)dxприменяется для интегрируемых функций типа y= f(x) и y=g(x), определенных на отрезке [a;b].

Доказательство 3

Записать интегральную сумму функции y=f(x)±g(x) для разбиения на отрезки с данным выбором точек ζi: σ=ni=1(f(ζi)±g(ζi))·(xi-xi-1)==ni=1f(ζi)·(xi-xi-1)±ni=1g(ζi)·(xi-xi-1)=σf±σg

где σf и σg являются интегральными суммами функций y = f(x) и y = g(x) для разбиения отрезка. После перехода к пределу при λ=maxi=1, 2,..., n(xi-xi-1)0 получаем, что limλ0σ=limλ0(σf±σg)=limλ0σg±limλ0σg.

Из определения Римана это выражение является равносильным.

Определение 4

Вынесение постоянного множителя за знак определенного интеграла. Интегрируемая функция из интервала [a; b] с произвольным значением k имеет справедливое неравенство вида bak·f(x)dx=k·baf(x)dx.

Доказательство 4

Доказательство свойства определенного интеграла аналогично предыдущему: 

σ=ni=1k·f(ζi)·(xi-xi-1)==k·ni=1f(ζi)·(xi-xi-1)=k·σflimλ0σ=limλ0(k·σf)=k·limλ0σfbak·f(x)dx=k·baf(x)dx

Определение 5

Если функция вида y=f(x) интегрируема на интервале x с ax, bx, получаем, что baf(x)dx=caf(x)dx+bcf(x)dx.

Доказательство 5

Свойство считается справедливым для copena; b], для ca и cb. Доказательство проводится аналогично предыдущим свойствам.

Определение 6

Когда функция имеет возможность быть интегрируемой из отрезка [a; b], тогда это выполнимо для любого внутреннего отрезка openc; d]opena; b].

Доказательство 6

Доказательство основывается на свойстве Дарбу: если у имеющегося разбиения отрезка произвести добавление точек, тогда нижняя сумма Дарбу не будет уменьшаться,  а верхняя не будет увеличиваться.

Определение 7

Когда функция интегрируема на [a; b] из f(x)0 (f(x)0) при любом значении xopena; b], тогда получаем, что baf(x)dx0 (baf(x)0).

Свойство может быть доказано при помощи определения интеграла Римана: любая интегральная сумма для любого выбора точек разбиения отрезка и точек ζi с условием, что f(x)0 (f(x)0), получаем неотрицательной.

Доказательство 7

Если функции y = f(x) и y = g(x) интегрируемы на отрезке [a; b] , тогда следующие неравенства считаются справедливыми:

baf(x)dxbag(x)dx, если f(x)g(x) xopena;b]baf(x)dxbag(x)dx, если f(x)g(x) xopena;b]

Благодаря утверждению знаем, что интегрирование допустимо. Данное следствие будет использовано в доказательстве других свойств.

Определение 8

При интегрируемой функции y=f(x) из отрезка [a; b] имеем справедливое неравенство вида openbaf(x)dx|baopenf(x)|dx.

Доказательство 8

Имеем, что -openf(x)|f(x)openf(x)|. Из предыдущего свойства получили, что неравенство может быть интегрировано почленно  и ему соответствует неравенство вида -baopenf(x)|dxbaf(x)dxbaopenf(x)|dx. Данное двойное неравенство  может быть записано в другой форме: openbaf(x)dx|baopenf(x)|dx.

Определение 9

Когда функции y = f(x) и y = g(x) интегрируются из отрезка [a; b] при g(x)0 при любом xopena; b], получаем неравенство вида m·bag(x)dxbaf(x)·g(x)dxM·bag(x)dx, где m=minxopena; b]f(x) и M=maxxopena; b]f(x).

Доказательство 9

Аналогичным образом производится доказательство. M и m считаются наибольшим и наименьшим значением функции y = f(x), определенной из отрезка [a; b], тогда mf(x)M. Необходимо умножить двойное неравенство на функцию y = g(x), что даст значение двойного неравенства вида m·g(x)f(x)·g(x)M·g(x). Необходимо проинтегрировать его на отрезке [a; b], тогда получим доказываемое утверждение.

Следствие: При g(x)=1 неравенство принимает вид m·(b-a)baf(x)dxM·(b-a).

Первая формула среднего значения 

Определение 10

При y = f(x) интегрируемая на отрезке [a; b] с m=minxopena;b]f(x) и M=maxxopena; b]f(x) имеется число μopenm; M], которое подходит baf(x)dx=μ·(b-a).

Следствие: Когда функция y = f(x) непрерывная из отрезка [a; b], то имеется такое число copena; b], которое удовлетворяет равенству baf(x)dx=f(c)·(b-a).

Первая формула среднего значения в обобщенной форме

Определение 11

 Когда функции y = f(x) и y = g(x) являются интегрируемыми из отрезка [a; b] с m=minxopena; b]f(x) и M=maxxopena; b]f(x), а g(x)>0 при любом значении xopena; b]. Отсюда имеем, что есть число μopenm; M], которое удовлетворяет равенству baf(x)·g(x)dx=μ·bag(x)dx.

Вторая формула среднего значения

Определение 12

Когда функция y=f(x) является интегрируемой из отрезка [a; b],  а y=g(x) является монотонной, тогда имеется число, которое copena; b], где получаем справедливое равенство вида baf(x)·g(x)dx=g(a)·caf(x)dx+g(b)·bcf(x)dx

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Сохранить статью удобным способом

Навигация по статьям

Наши социальные сети
Не получается написать работу самому?
Доверь это кандидату наук!
Связаться через
Я принимаю условия пользовательского соглашения и  политики приватности, а также даю свое согласие на обработку моих персональных данных
Выполненные работы по математике
  • Математика

    Линейная алгебра и геометрия Теория вероятностей

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      17 мая 2012

    • Стоимость:

      600 руб.

    Заказать такую же работу
  • Математика

    теория вероятности

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      16 апреля 2012

    • Стоимость:

      500 руб.

    Заказать такую же работу
  • Математика

    теория вероятности

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      16 апреля 2012

    • Стоимость:

      500 руб.

    Заказать такую же работу
  • Математика

    исследование функции и построение графика

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      27 марта 2012

    • Стоимость:

      200 руб.

    Заказать такую же работу
  • Математика

    две контрольных работы

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      25 января 2012

    • Стоимость:

      1 100 руб.

    Заказать такую же работу
  • Математика

    контрольная работа

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      24 января 2012

    • Стоимость:

      700 руб.

    Заказать такую же работу