Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik
Свойства определенного интеграла
- 8 декабря 2023
- 7 минут
- 5 998
Данная статья подробно рассказывает об основных свойствах определенного интеграла. Они доказываются при помощи понятия интеграла Римана и Дарбу. Вычисление определенного интеграла проходит, благодаря 5 свойствам. Оставшиеся из них применяются для оценивания различных выражений.
Перед переходом к основным свойствам определенного интеграла, необходимо удостовериться в том, что a не превосходит b.
Основные свойства определенного интеграла
Функция y = f(x), определенная при х=а, аналогично справедливому равенству ∫aaf(x)dx=0.
Отсюда видим, что значением интеграла с совпадающими пределами равняется нулю. Это следствие интеграла Римана, потому как каждая интегральная сумма σ для любого разбиения на промежутке [a; a] и любого выбора точек ζi равняется нулю, потому как xi-xi-1=0, i=1, 2,..., n, значит, получаем, что предел интегральных функций – ноль.
Для функции, интегрируемой на отрезке [a; b], выполняется условие ∫baf(x)dx=-∫abf(x)dx.
Иначе говоря, если сменить верхний и нижний предел интегрирования местами, то значение интеграла поменяет значение на противоположное. Данное свойство взято из интеграла Римана. Однако, нумерация разбиения отрезка идет с точки х=b.
∫ba(f(x)±g(x))dx=∫baf(x)dx±∫bag(x)dxприменяется для интегрируемых функций типа y= f(x) и y=g(x), определенных на отрезке [a;b].
Записать интегральную сумму функции y=f(x)±g(x) для разбиения на отрезки с данным выбором точек ζi: σ=∑ni=1(f(ζi)±g(ζi))·(xi-xi-1)==∑ni=1f(ζi)·(xi-xi-1)±∑ni=1g(ζi)·(xi-xi-1)=σf±σg
где σf и σg являются интегральными суммами функций y = f(x) и y = g(x) для разбиения отрезка. После перехода к пределу при λ=maxi=1, 2,..., n(xi-xi-1)→0 получаем, что limλ→0σ=limλ→0(σf±σg)=limλ→0σg±limλ→0σg.
Из определения Римана это выражение является равносильным.
Вынесение постоянного множителя за знак определенного интеграла. Интегрируемая функция из интервала [a; b] с произвольным значением k имеет справедливое неравенство вида ∫bak·f(x)dx=k·∫baf(x)dx.
Доказательство свойства определенного интеграла аналогично предыдущему:
σ=∑ni=1k·f(ζi)·(xi-xi-1)==k·∑ni=1f(ζi)·(xi-xi-1)=k·σf⇒limλ→0σ=limλ→0(k·σf)=k·limλ→0σf⇒∫bak·f(x)dx=k·∫baf(x)dx
Если функция вида y=f(x) интегрируема на интервале x с a∈x, b∈x, получаем, что ∫baf(x)dx=∫caf(x)dx+∫bcf(x)dx.
Свойство считается справедливым для c∈open, для и . Доказательство проводится аналогично предыдущим свойствам.
Когда функция имеет возможность быть интегрируемой из отрезка , тогда это выполнимо для любого внутреннего отрезка .
Доказательство основывается на свойстве Дарбу: если у имеющегося разбиения отрезка произвести добавление точек, тогда нижняя сумма Дарбу не будет уменьшаться, а верхняя не будет увеличиваться.
Когда функция интегрируема на из при любом значении , тогда получаем, что .
Свойство может быть доказано при помощи определения интеграла Римана: любая интегральная сумма для любого выбора точек разбиения отрезка и точек с условием, что , получаем неотрицательной.
Если функции и интегрируемы на отрезке , тогда следующие неравенства считаются справедливыми:
Благодаря утверждению знаем, что интегрирование допустимо. Данное следствие будет использовано в доказательстве других свойств.
При интегрируемой функции из отрезка имеем справедливое неравенство вида .
Имеем, что . Из предыдущего свойства получили, что неравенство может быть интегрировано почленно и ему соответствует неравенство вида . Данное двойное неравенство может быть записано в другой форме: .
Когда функции и интегрируются из отрезка при при любом , получаем неравенство вида , где и .
Аналогичным образом производится доказательство. и считаются наибольшим и наименьшим значением функции , определенной из отрезка , тогда . Необходимо умножить двойное неравенство на функцию , что даст значение двойного неравенства вида . Необходимо проинтегрировать его на отрезке , тогда получим доказываемое утверждение.
Следствие: При неравенство принимает вид .
Первая формула среднего значения
При интегрируемая на отрезке с и имеется число , которое подходит .
Следствие: Когда функция непрерывная из отрезка , то имеется такое число , которое удовлетворяет равенству .
Первая формула среднего значения в обобщенной форме
Когда функции и являются интегрируемыми из отрезка с и , а при любом значении . Отсюда имеем, что есть число , которое удовлетворяет равенству .
Вторая формула среднего значения
Когда функция является интегрируемой из отрезка , а является монотонной, тогда имеется число, которое , где получаем справедливое равенство вида
Сохранить статью удобным способом