Свойства определенного интеграла

Данная статья подробно рассказывает об основных свойствах определенного интеграла. Они доказываются при помощи понятия интеграла Римана и Дарбу. Вычисление определенного интеграла проходит, благодаря $5$ $5$ свойствам. Оставшиеся из них применяются для оценивания различных выражений.

Перед переходом к основным свойствам определенного интеграла, необходимо удостовериться в том, что $a$ $a$ не превосходит $b$ $b$ .

Основные свойства определенного интеграла

Определение 1

Функция $y = f (x)$ $y = f (x)$ , определенная при $х = а$ $х = а$ , аналогично справедливому равенству $\int_{a}^{a} f (x) d x = 0$ $\int_{a}^{a} f (x) d x = 0$ .

Доказательство 1

Отсюда видим, что значением интеграла с совпадающими пределами равняется нулю. Это следствие интеграла Римана, потому как каждая интегральная сумма $σ$ $σ$ для любого разбиения на промежутке $[a; a]$ $[a; a]$ и любого выбора точек $ζ_{i}$ $ζ_{i}$ равняется нулю, потому как $x_{i} - x_{i - 1} = 0, i = 1, 2, . . ., n$ $x_{i} - x_{i - 1} = 0, i = 1, 2, . . ., n$ , значит, получаем, что предел интегральных функций – ноль.

Определение 2

Для функции, интегрируемой на отрезке $[a; b]$ $[a; b]$ , выполняется условие $\int_{a}^{b} f (x) d x = - \int_{b}^{a} f (x) d x$ $\int_{a}^{b} f (x) d x = - \int_{b}^{a} f (x) d x$ .

Доказательство 2

Иначе говоря, если сменить верхний и нижний предел интегрирования местами, то значение интеграла поменяет значение на противоположное. Данное свойство взято из интеграла Римана. Однако, нумерация разбиения отрезка идет с точки $х = b$ $х = b$ .

Определение 3

$\int_{a}^{b} (f (x) \pm g (x)) d x = \int_{a}^{b} f (x) d x \pm \int_{a}^{b} g (x) d x$ $\int_{a}^{b} (f (x) \pm g (x)) d x = \int_{a}^{b} f (x) d x \pm \int_{a}^{b} g (x) d x$ применяется для интегрируемых функций типа $y = f (x)$ $y = f (x)$ и $y = g (x)$ $y = g (x)$ , определенных на отрезке $[a; b]$ $[a; b]$ .

Доказательство 3

Записать интегральную сумму функции $y = f (x) \pm g (x)$ $y = f (x) \pm g (x)$ для разбиения на отрезки с данным выбором точек $ζ_{i}$ $ζ_{i}$ : $σ = \sum_{i = 1}^{n} (f (ζ_{i}) \pm g (ζ_{i})) \cdot (x_{i} - x_{i - 1}) = = \sum_{i = 1}^{n} f (ζ_{i}) \cdot (x_{i} - x_{i - 1}) \pm \sum_{i = 1}^{n} g (ζ_{i}) \cdot (x_{i} - x_{i - 1}) = σ_{f} \pm σ_{g}$ $σ = \sum_{i = 1}^{n} (f (ζ_{i}) \pm g (ζ_{i})) \cdot (x_{i} - x_{i - 1}) = = \sum_{i = 1}^{n} f (ζ_{i}) \cdot (x_{i} - x_{i - 1}) \pm \sum_{i = 1}^{n} g (ζ_{i}) \cdot (x_{i} - x_{i - 1}) = σ_{f} \pm σ_{g}$

где $σ_{f}$ $σ_{f}$ и $σ_{g}$ $σ_{g}$ являются интегральными суммами функций $y = f (x)$ $y = f (x)$ и $y = g (x)$ $y = g (x)$ для разбиения отрезка. После перехода к пределу при $λ = \underset{i = 1, 2, . . ., n}{m a x} (x_{i} - x_{i - 1}) \to 0$ $λ = \underset{i = 1, 2, . . ., n}{m a x} (x_{i} - x_{i - 1}) \to 0$ получаем, что $\lim_{λ \to 0} σ = \lim_{λ \to 0} (σ_{f} \pm σ_{g}) = \lim_{λ \to 0} σ_{g} \pm \lim_{λ \to 0} σ_{g}$ $\lim_{λ \to 0} σ = \lim_{λ \to 0} (σ_{f} \pm σ_{g}) = \lim_{λ \to 0} σ_{g} \pm \lim_{λ \to 0} σ_{g}$ .

Из определения Римана это выражение является равносильным.

Определение 4

Вынесение постоянного множителя за знак определенного интеграла. Интегрируемая функция из интервала $[a; b]$ $[a; b]$ с произвольным значением $k$ $k$ имеет справедливое неравенство вида $\int_{a}^{b} k \cdot f (x) d x = k \cdot \int_{a}^{b} f (x) d x$ $\int_{a}^{b} k \cdot f (x) d x = k \cdot \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

Доказательство 4

Доказательство свойства определенного интеграла аналогично предыдущему:

$σ = \sum_{i = 1}^{n} k \cdot f (ζ_{i}) \cdot (x_{i} - x_{i - 1}) = = k \cdot \sum_{i = 1}^{n} f (ζ_{i}) \cdot (x_{i} - x_{i - 1}) = k \cdot σ_{f} \Rightarrow \lim_{λ \to 0} σ = \lim_{λ \to 0} (k \cdot σ_{f}) = k \cdot \lim_{λ \to 0} σ_{f} \Rightarrow \int_{a}^{b} k \cdot f (x) d x = k \cdot \int_{a}^{b} f (x) d x$ $σ = \sum_{i = 1}^{n} k \cdot f (ζ_{i}) \cdot (x_{i} - x_{i - 1}) = = k \cdot \sum_{i = 1}^{n} f (ζ_{i}) \cdot (x_{i} - x_{i - 1}) = k \cdot σ_{f} \Rightarrow \lim_{λ \to 0} σ = \lim_{λ \to 0} (k \cdot σ_{f}) = k \cdot \lim_{λ \to 0} σ_{f} \Rightarrow \int_{a}^{b} k \cdot f (x) d x = k \cdot \int_{a}^{b} f (x) d x$

Определение 5

Если функция вида $y = f (x)$ $y = f (x)$ интегрируема на интервале $x$ $x$ с $a \in x, b \in x$ $a \in x, b \in x$ , получаем, что $\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{b} f (x) d x$ $\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{b} f (x) d x$ .

Доказательство 5

Свойство считается справедливым для $c \in opena; b]$ $c \in opena; b]$ , для $c \leq a$ $c \leq a$ и $c \geq b$ $c \geq b$ . Доказательство проводится аналогично предыдущим свойствам.

Определение 6

Когда функция имеет возможность быть интегрируемой из отрезка $[a; b]$ $[a; b]$ , тогда это выполнимо для любого внутреннего отрезка $openc; d] \in opena; b]$ $openc; d] \in opena; b]$ .

Доказательство 6

Доказательство основывается на свойстве Дарбу: если у имеющегося разбиения отрезка произвести добавление точек, тогда нижняя сумма Дарбу не будет уменьшаться, а верхняя не будет увеличиваться.

Определение 7

Когда функция интегрируема на $[a; b]$ $[a; b]$ из $f (x) \geq 0 (f (x) \leq 0)$ $f (x) \geq 0 (f (x) \leq 0)$ при любом значении $x \in opena; b]$ $x \in opena; b]$ , тогда получаем, что $\int_{a}^{b} f (x) d x \geq 0 (\int_{a}^{b} f (x) \leq 0)$ $\int_{a}^{b} f (x) d x \geq 0 (\int_{a}^{b} f (x) \leq 0)$ .

Свойство может быть доказано при помощи определения интеграла Римана: любая интегральная сумма для любого выбора точек разбиения отрезка и точек $ζ_{i}$ $ζ_{i}$ с условием, что $f (x) \geq 0 (f (x) \leq 0)$ $f (x) \geq 0 (f (x) \leq 0)$ , получаем неотрицательной.

Доказательство 7

Если функции $y = f (x)$ $y = f (x)$ и $y = g (x)$ $y = g (x)$ интегрируемы на отрезке $[a; b]$ $[a; b]$ , тогда следующие неравенства считаются справедливыми:

$\int_{a}^{b} f (x) d x \leq \int_{a}^{b} g (x) d x, е с л и f (x) \leq g (x) \forall x \in opena; b] \int_{a}^{b} f (x) d x \geq \int_{a}^{b} g (x) d x, е с л и f (x) \geq g (x) \forall x \in opena; b]$ $\int_{a}^{b} f (x) d x \leq \int_{a}^{b} g (x) d x, е с л и f (x) \leq g (x) \forall x \in opena; b] \int_{a}^{b} f (x) d x \geq \int_{a}^{b} g (x) d x, е с л и f (x) \geq g (x) \forall x \in opena; b]$

Благодаря утверждению знаем, что интегрирование допустимо. Данное следствие будет использовано в доказательстве других свойств.

Определение 8

При интегрируемой функции $y = f (x)$ $y = f (x)$ из отрезка $[a; b]$ $[a; b]$ имеем справедливое неравенство вида $open\int_{a}^{b} f (x) d x| \leq \int_{a}^{b} openf (x)| d x$ $open\int_{a}^{b} f (x) d x| \leq \int_{a}^{b} openf (x)| d x$ .

Доказательство 8

Имеем, что $- openf (x)| \leq f (x) \leq openf (x)|$ $- openf (x)| \leq f (x) \leq openf (x)|$ . Из предыдущего свойства получили, что неравенство может быть интегрировано почленно и ему соответствует неравенство вида $- \int_{a}^{b} openf (x)| d x \leq \int_{a}^{b} f (x) d x \leq \int_{a}^{b} openf (x)| d x$ $- \int_{a}^{b} openf (x)| d x \leq \int_{a}^{b} f (x) d x \leq \int_{a}^{b} openf (x)| d x$ . Данное двойное неравенство может быть записано в другой форме: $open\int_{a}^{b} f (x) d x| \leq \int_{a}^{b} openf (x)| d x$ $open\int_{a}^{b} f (x) d x| \leq \int_{a}^{b} openf (x)| d x$ .

Определение 9

Когда функции $y = f (x)$ $y = f (x)$ и $y = g (x)$ $y = g (x)$ интегрируются из отрезка $[a; b]$ $[a; b]$ при $g (x) \geq 0$ $g (x) \geq 0$ при любом $x \in opena; b]$ $x \in opena; b]$ , получаем неравенство вида $m \cdot \int_{a}^{b} g (x) d x \leq \int_{a}^{b} f (x) \cdot g (x) d x \leq M \cdot \int_{a}^{b} g (x) d x$ $m \cdot \int_{a}^{b} g (x) d x \leq \int_{a}^{b} f (x) \cdot g (x) d x \leq M \cdot \int_{a}^{b} g (x) d x$ , где $m = \underset{x \in opena; b]}{m i n} f (x)$ $m = \underset{x \in opena; b]}{m i n} f (x)$ и $M = \underset{x \in opena; b]}{m a x} f (x)$ $M = \underset{x \in opena; b]}{m a x} f (x)$ .

Доказательство 9

Аналогичным образом производится доказательство. $M$ $M$ и $m$ $m$ считаются наибольшим и наименьшим значением функции $y = f (x)$ $y = f (x)$ , определенной из отрезка $[a; b]$ $[a; b]$ , тогда $m \leq f (x) \leq M$ $m \leq f (x) \leq M$ . Необходимо умножить двойное неравенство на функцию $y = g (x)$ $y = g (x)$ , что даст значение двойного неравенства вида $m \cdot g (x) \leq f (x) \cdot g (x) \leq M \cdot g (x)$ $m \cdot g (x) \leq f (x) \cdot g (x) \leq M \cdot g (x)$ . Необходимо проинтегрировать его на отрезке $[a; b]$ $[a; b]$ , тогда получим доказываемое утверждение.

Следствие: При $g (x) = 1$ $g (x) = 1$ неравенство принимает вид $m \cdot (b - a) \leq \int_{a}^{b} f (x) d x \leq M \cdot (b - a)$ $m \cdot (b - a) \leq \int_{a}^{b} f (x) d x \leq M \cdot (b - a)$ .

Первая формула среднего значения

Определение 10

При $y = f (x)$ $y = f (x)$ интегрируемая на отрезке $[a; b]$ $[a; b]$ с $m = \underset{x \in opena; b]}{m i n} f (x)$ $m = \underset{x \in opena; b]}{m i n} f (x)$ и $M = \underset{x \in opena; b]}{m a x} f (x)$ $M = \underset{x \in opena; b]}{m a x} f (x)$ имеется число $μ \in openm; M]$ $μ \in openm; M]$ , которое подходит $\int_{a}^{b} f (x) d x = μ \cdot (b - a)$ $\int_{a}^{b} f (x) d x = μ \cdot (b - a)$ .

Следствие: Когда функция $y = f (x)$ $y = f (x)$ непрерывная из отрезка $[a; b]$ $[a; b]$ , то имеется такое число $c \in opena; b]$ $c \in opena; b]$ , которое удовлетворяет равенству $\int_{a}^{b} f (x) d x = f (c) \cdot (b - a)$ $\int_{a}^{b} f (x) d x = f (c) \cdot (b - a)$ .

Первая формула среднего значения в обобщенной форме

Определение 11

Когда функции $y = f (x)$ $y = f (x)$ и $y = g (x)$ $y = g (x)$ являются интегрируемыми из отрезка $[a; b]$ $[a; b]$ с $m = \underset{x \in opena; b]}{m i n} f (x)$ $m = \underset{x \in opena; b]}{m i n} f (x)$ и $M = \underset{x \in opena; b]}{m a x} f (x)$ $M = \underset{x \in opena; b]}{m a x} f (x)$ , а $g (x) > 0$ $g (x) > 0$ при любом значении $x \in opena; b]$ $x \in opena; b]$ . Отсюда имеем, что есть число $μ \in openm; M]$ $μ \in openm; M]$ , которое удовлетворяет равенству $\int_{a}^{b} f (x) \cdot g (x) d x = μ \cdot \int_{a}^{b} g (x) d x$ $\int_{a}^{b} f (x) \cdot g (x) d x = μ \cdot \int_{a}^{b} g (x) d x$ .

Вторая формула среднего значения

Определение 12

Когда функция $y = f (x)$ $y = f (x)$ является интегрируемой из отрезка $[a; b]$ $[a; b]$ , а $y = g (x)$ $y = g (x)$ является монотонной, тогда имеется число, которое $c \in opena; b]$ $c \in opena; b]$ , где получаем справедливое равенство вида $\int_{a}^{b} f (x) \cdot g (x) d x = g (a) \cdot \int_{a}^{c} f (x) d x + g (b) \cdot \int_{c}^{b} f (x) d x$ $\int_{a}^{b} f (x) \cdot g (x) d x = g (a) \cdot \int_{a}^{c} f (x) d x + g (b) \cdot \int_{c}^{b} f (x) d x$