Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik
Свойства определенного интеграла
- 8 декабря 2023
- 7 минут
- 4 979
Данная статья подробно рассказывает об основных свойствах определенного интеграла. Они доказываются при помощи понятия интеграла Римана и Дарбу. Вычисление определенного интеграла проходит, благодаря свойствам. Оставшиеся из них применяются для оценивания различных выражений.
Перед переходом к основным свойствам определенного интеграла, необходимо удостовериться в том, что не превосходит .
Основные свойства определенного интеграла
Функция , определенная при , аналогично справедливому равенству .
Отсюда видим, что значением интеграла с совпадающими пределами равняется нулю. Это следствие интеграла Римана, потому как каждая интегральная сумма для любого разбиения на промежутке и любого выбора точек равняется нулю, потому как , значит, получаем, что предел интегральных функций – ноль.
Для функции, интегрируемой на отрезке , выполняется условие .
Иначе говоря, если сменить верхний и нижний предел интегрирования местами, то значение интеграла поменяет значение на противоположное. Данное свойство взято из интеграла Римана. Однако, нумерация разбиения отрезка идет с точки .
применяется для интегрируемых функций типа и , определенных на отрезке .
Записать интегральную сумму функции для разбиения на отрезки с данным выбором точек :
где и являются интегральными суммами функций и для разбиения отрезка. После перехода к пределу при получаем, что .
Из определения Римана это выражение является равносильным.
Вынесение постоянного множителя за знак определенного интеграла. Интегрируемая функция из интервала с произвольным значением имеет справедливое неравенство вида .
Доказательство свойства определенного интеграла аналогично предыдущему:
Если функция вида интегрируема на интервале с , получаем, что .
Свойство считается справедливым для , для и . Доказательство проводится аналогично предыдущим свойствам.
Когда функция имеет возможность быть интегрируемой из отрезка , тогда это выполнимо для любого внутреннего отрезка .
Доказательство основывается на свойстве Дарбу: если у имеющегося разбиения отрезка произвести добавление точек, тогда нижняя сумма Дарбу не будет уменьшаться, а верхняя не будет увеличиваться.
Когда функция интегрируема на из при любом значении , тогда получаем, что .
Свойство может быть доказано при помощи определения интеграла Римана: любая интегральная сумма для любого выбора точек разбиения отрезка и точек с условием, что , получаем неотрицательной.
Если функции и интегрируемы на отрезке , тогда следующие неравенства считаются справедливыми:
Благодаря утверждению знаем, что интегрирование допустимо. Данное следствие будет использовано в доказательстве других свойств.
При интегрируемой функции из отрезка имеем справедливое неравенство вида .
Имеем, что . Из предыдущего свойства получили, что неравенство может быть интегрировано почленно и ему соответствует неравенство вида . Данное двойное неравенство может быть записано в другой форме: .
Когда функции и интегрируются из отрезка при при любом , получаем неравенство вида , где и .
Аналогичным образом производится доказательство. и считаются наибольшим и наименьшим значением функции , определенной из отрезка , тогда . Необходимо умножить двойное неравенство на функцию , что даст значение двойного неравенства вида . Необходимо проинтегрировать его на отрезке , тогда получим доказываемое утверждение.
Следствие: При неравенство принимает вид .
Первая формула среднего значения
При интегрируемая на отрезке с и имеется число , которое подходит .
Следствие: Когда функция непрерывная из отрезка , то имеется такое число , которое удовлетворяет равенству .
Первая формула среднего значения в обобщенной форме
Когда функции и являются интегрируемыми из отрезка с и , а при любом значении . Отсюда имеем, что есть число , которое удовлетворяет равенству .
Вторая формула среднего значения
Когда функция является интегрируемой из отрезка , а является монотонной, тогда имеется число, которое , где получаем справедливое равенство вида