Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik
Свойства определенного интеграла
- 8 декабря 2023
- 7 минут
- 6 380
Данная статья подробно рассказывает об основных свойствах определенного интеграла. Они доказываются при помощи понятия интеграла Римана и Дарбу. Вычисление определенного интеграла проходит, благодаря 5 свойствам. Оставшиеся из них применяются для оценивания различных выражений.
Перед переходом к основным свойствам определенного интеграла, необходимо удостовериться в том, что a не превосходит b.
Основные свойства определенного интеграла
Функция y = f(x), определенная при х=а, аналогично справедливому равенству ∫aaf(x)dx=0.
Отсюда видим, что значением интеграла с совпадающими пределами равняется нулю. Это следствие интеграла Римана, потому как каждая интегральная сумма σ для любого разбиения на промежутке [a; a] и любого выбора точек ζi равняется нулю, потому как xi-xi-1=0, i=1, 2,..., n, значит, получаем, что предел интегральных функций – ноль.
Для функции, интегрируемой на отрезке [a; b], выполняется условие ∫baf(x)dx=-∫abf(x)dx.
Иначе говоря, если сменить верхний и нижний предел интегрирования местами, то значение интеграла поменяет значение на противоположное. Данное свойство взято из интеграла Римана. Однако, нумерация разбиения отрезка идет с точки х=b.
∫ba(f(x)±g(x))dx=∫baf(x)dx±∫bag(x)dxприменяется для интегрируемых функций типа y= f(x) и y=g(x), определенных на отрезке [a;b].
Записать интегральную сумму функции y=f(x)±g(x) для разбиения на отрезки с данным выбором точек ζi: σ=∑ni=1(f(ζi)±g(ζi))·(xi-xi-1)==∑ni=1f(ζi)·(xi-xi-1)±∑ni=1g(ζi)·(xi-xi-1)=σf±σg
где σf и σg являются интегральными суммами функций y = f(x) и y = g(x) для разбиения отрезка. После перехода к пределу при λ=maxi=1, 2,..., n(xi-xi-1)→0 получаем, что limλ→0σ=limλ→0(σf±σg)=limλ→0σg±limλ→0σg.
Из определения Римана это выражение является равносильным.
Вынесение постоянного множителя за знак определенного интеграла. Интегрируемая функция из интервала [a; b] с произвольным значением k имеет справедливое неравенство вида ∫bak·f(x)dx=k·∫baf(x)dx.
Доказательство свойства определенного интеграла аналогично предыдущему:
σ=∑ni=1k·f(ζi)·(xi-xi-1)==k·∑ni=1f(ζi)·(xi-xi-1)=k·σf⇒limλ→0σ=limλ→0(k·σf)=k·limλ→0σf⇒∫bak·f(x)dx=k·∫baf(x)dx
Если функция вида y=f(x) интегрируема на интервале x с a∈x, b∈x, получаем, что ∫baf(x)dx=∫caf(x)dx+∫bcf(x)dx.
Свойство считается справедливым для c∈opena; b], для c≤a и c≥b. Доказательство проводится аналогично предыдущим свойствам.
Когда функция имеет возможность быть интегрируемой из отрезка [a; b], тогда это выполнимо для любого внутреннего отрезка openc; d]∈opena; b].
Доказательство основывается на свойстве Дарбу: если у имеющегося разбиения отрезка произвести добавление точек, тогда нижняя сумма Дарбу не будет уменьшаться, а верхняя не будет увеличиваться.
Когда функция интегрируема на [a; b] из f(x)≥0 (f(x)≤0) при любом значении x∈opena; b], тогда получаем, что ∫baf(x)dx≥0 (∫baf(x)≤0).
Свойство может быть доказано при помощи определения интеграла Римана: любая интегральная сумма для любого выбора точек разбиения отрезка и точек ζi с условием, что f(x)≥0 (f(x)≤0), получаем неотрицательной.
Если функции y = f(x) и y = g(x) интегрируемы на отрезке [a; b] , тогда следующие неравенства считаются справедливыми:
∫baf(x)dx≤∫bag(x)dx, если f(x)≤g(x) ∀x∈opena;b]∫baf(x)dx≥∫bag(x)dx, если f(x)≥g(x) ∀x∈opena;b]
Благодаря утверждению знаем, что интегрирование допустимо. Данное следствие будет использовано в доказательстве других свойств.
При интегрируемой функции y=f(x) из отрезка [a; b] имеем справедливое неравенство вида open∫baf(x)dx|≤∫baopenf(x)|dx.
Имеем, что -openf(x)|≤f(x)≤openf(x)|. Из предыдущего свойства получили, что неравенство может быть интегрировано почленно и ему соответствует неравенство вида -∫baopenf(x)|dx≤∫baf(x)dx≤∫baopenf(x)|dx. Данное двойное неравенство может быть записано в другой форме: open∫baf(x)dx|≤∫baopenf(x)|dx.
Когда функции y = f(x) и y = g(x) интегрируются из отрезка [a; b] при g(x)≥0 при любом x∈opena; b], получаем неравенство вида m·∫bag(x)dx≤∫baf(x)·g(x)dx≤M·∫bag(x)dx, где m=minx∈opena; b]f(x) и M=maxx∈opena; b]f(x).
Аналогичным образом производится доказательство. M и m считаются наибольшим и наименьшим значением функции y = f(x), определенной из отрезка [a; b], тогда m≤f(x)≤M. Необходимо умножить двойное неравенство на функцию y = g(x), что даст значение двойного неравенства вида m·g(x)≤f(x)·g(x)≤M·g(x). Необходимо проинтегрировать его на отрезке [a; b], тогда получим доказываемое утверждение.
Следствие: При g(x)=1 неравенство принимает вид m·(b-a)≤∫baf(x)dx≤M·(b-a).
Первая формула среднего значения
При y = f(x) интегрируемая на отрезке [a; b] с m=minx∈opena;b]f(x) и M=maxx∈opena; b]f(x) имеется число μ∈openm; M], которое подходит ∫baf(x)dx=μ·(b-a).
Следствие: Когда функция y = f(x) непрерывная из отрезка [a; b], то имеется такое число c∈opena; b], которое удовлетворяет равенству ∫baf(x)dx=f(c)·(b-a).
Первая формула среднего значения в обобщенной форме
Когда функции y = f(x) и y = g(x) являются интегрируемыми из отрезка [a; b] с m=minx∈opena; b]f(x) и M=maxx∈opena; b]f(x), а g(x)>0 при любом значении x∈opena; b]. Отсюда имеем, что есть число μ∈openm; M], которое удовлетворяет равенству ∫baf(x)·g(x)dx=μ·∫bag(x)dx.
Вторая формула среднего значения
Когда функция y=f(x) является интегрируемой из отрезка [a; b], а y=g(x) является монотонной, тогда имеется число, которое c∈opena; b], где получаем справедливое равенство вида ∫baf(x)·g(x)dx=g(a)·∫caf(x)dx+g(b)·∫bcf(x)dx
Сохранить статью удобным способом