Разложение квадратного корня на множители: внесение и вынесение

31 июля 2023
5 минут
7 157

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

На первый взгляд может показаться, что процедура разложения квадратного корня на множители сложная и неприступная. Но это не так. В этой статье мы расскажем вам, как подступиться к квадратному корню и множителям, а также легко и просто разложить квадратный корень, воспользовавшись двумя проверенными методами.

Разложение корня на множители

Для начала определим цель процедуры разложения квадратного корня на множители. Цель — упростить квадратный корень и записать его в удобном для вычислений виде.

Определение 1

Разложение квадратного корня на множители — нахождение двух или нескольких чисел, которые, при условии перемножения их друг на друга, дадут число равное исходному. Например: 4×4 = 16.

Если вы найдете множители, то сможете легко упростить выражение с квадратным корнем или вовсе его упразднить:

Пример 1

Разделите подкоренное число на 2, если оно четное.

Подкоренное число всегда следует делить на простые числа, поскольку любое значение простого числа можно разложить на простые множители. Если у вас нечетное число, то попробуйте разделить его на 3. Не делится на 3? Делите дальше на 5, 7, 9 и т.д.

Запишите выражение в виде корня произведения двух чисел.

Например, можно упростить таким способом $\sqrt{98} : = 98 \div 2 = 49$ . Из этого следует, что $2 \times 49 = 98$ , поэтому можно переписать задачу следующим образом: $\sqrt{98} = \sqrt{(2 \times 49)}$ .

Продолжите раскладывать числа, пока под корнем не останется произведение двух одинаковых чисел и других чисел.

Возьмем наш пример $\sqrt{(2 \times 49)}$ :

Поскольку $2$ уже и так максимально упрощено, необходимо упростить $49$ . Ищем простое число, на которое можно разделить $49$ . Очевидно, что ни $3$ , ни $5$ не подходят. Остается $7 : 49 \div 7 = 7$ , поэтому $7 \times 7 = 49 .$

Записываем пример в следующем виде: $\sqrt{(2 \times 49)} = \sqrt{(2 \times 7 \times 7)} .$

Упростите выражение с квадратным корнем.

Поскольку в скобках у нас произведение $2$ и двух одинаковых чисел $(7)$ , то мы можем вынести за знак корня число $7$ .

Пример 2

$\sqrt{(2 \times 7 \times 7)} = \sqrt{(2)} \times \sqrt{(7 \times 7)} = \sqrt{(2)} \times 7 = 7 \sqrt{(2)} .$

В тот момент, когда под корнем оказалось два одинаковых числа, останавливайтесь с разложением чисел на множители. Конечно, если вы использовали все возможности по максимуму.

Запомните: существуют корни, которые можно упрощать многократно.

В таком случае, числа, которые мы выносим из-под корня, и числа, которые стоят перед ним, перемножаются.

Пример 3

$\sqrt{180} = \sqrt{(2 \times 90)} \sqrt{180} = \sqrt{(2 \times 2 \times 45)} \sqrt{180} = 2 \sqrt{45}$

но $45$ можно разложить на множители и еще раз упростить корень.

$\sqrt{180} = 2 \sqrt{(3 \times 15)} \sqrt{180} = 2 \sqrt{(3 \times 3 \times 5)} \sqrt{180} = 2 \times 3 \sqrt{5} \sqrt{180} = 6 \sqrt{5}$

Когда невозможно получить два одинаковых числа под знаком корня, это значит, что упростить такой корень нельзя.

Если после разложения подкоренного выражения на произведение простых чисел, у вас не получилось получить два одинаковых числа, то такой корень упростить нельзя.

Пример 4

$70 = 35 \times 2$ , поэтому $\sqrt{70} = \sqrt{(35 \times 2)}$

$35 = 7 \times 5$ , поэтому $\sqrt{(35 \times 2)} = \sqrt{(7 \times 5 \times 2)}$

Как видим, все три множителя — простые числа, которые нельзя разложить на множители. Среди них нет одинаковых чисел, поэтому не представляется возможным вынести целое число из-под корня. Упростить $\sqrt{70}$ нельзя.

Полный квадрат

Запомните несколько квадратов простых чисел.

Квадрат числа получается, если умножить его на самого себя, т.е. при возведении в квадрат. Если вы запомните десяток квадратов простых чисел, то это очень упростить вам жизнь в дальнейшем упрощении корней.

Пример 5

$1^{2} = 1 2^{2} = 4 3^{2} = 9 4^{2} = 16 5^{2} = 25 6^{2} = 36 7^{2} = 49 8^{2} = 64 9^{2} = 81 10^{2} = 100$

В случае если под знаком корня квадратного корня находится полный квадрат, то стоит убрать знак корня и записать квадратный корень данного полного квадрата.

Сложно? Нет:

Пример 6

$\sqrt{1} = 1 \sqrt{4} = 2 \sqrt{9} = 3 \sqrt{16} = 4 \sqrt{25} = 5 \sqrt{36} = 6 \sqrt{49} = 7 \sqrt{64} = 8 \sqrt{81} = 9 \sqrt{100} = 10$

Попробуйте разложить число под знаком корня на произведения полного квадрата и другого числа.

Если вы видите, что подкоренное выражение раскладывается на произведение полного квадрата и какого-либо числа, то, запомнив несколько примеров, вы существенно сэкономите время и нервы:

Пример 7

$\sqrt{50} = \sqrt{(25 \times 2)} = 5 \sqrt{2} .$ Если подкоренное число оканчивается на 25, 50 или 75, вы всегда можете разложить его на произведение 25 и какого-то числа.

$\sqrt{1700} = \sqrt{(100 \times 17)} = 10 \sqrt{17} .$ Если подкоренное число оканчивается на 00, вы всегда можете разложить его на произведение 100 и какого-то числа.

$\sqrt{72} = \sqrt{(9 \times 8)} = 3 \sqrt{8} .$ Если сумма цифр подкоренного числа равна 9, вы всегда можете разложить его на произведение 9 и какого-то числа.

Попробуйте разложить подкоренное число на произведение нескольких полных квадратов: вынесите их из-под знака корня и перемножьте.

Пример 8

$\sqrt{72} = \sqrt{(9 \times 8)} \sqrt{72} = \sqrt{(9 \times 4 \times 2)} \sqrt{72} = \sqrt{9} \times \sqrt{4} \times \sqrt{2} \sqrt{72} = 3 \times 2 \times \sqrt{2} \sqrt{72} = 6 \sqrt{2}$