Действие с корнями: сложение и вычитание

Можно сложить или вычесть выражения $2\sqrt{3}$ и $6\sqrt{3}$, но не $5\sqrt{6}$ и $9\sqrt{4}$. Если есть возможность упростить выражение и привести его к корням с одинаковым подкоренным числом, то упрощайте, а потом складывайте или вычитайте.

$6\sqrt{50}-2\sqrt{8}+5\sqrt{12}$

Алгоритм действия: 

1. Упростить подкоренное выражение. Для этого необходимо разложить подкоренное выражение на 2 множителя, один из которых, — квадратное число (число, из которого извлекается целый квадратный корень, например, 25 или 9). 
2. Затем нужно извлечь корень из квадратного числа и записать полученное значение перед знаком корня. Обращаем ваше внимание, что второй множитель заносится под знак корня. 
3.  После процесса упрощения необходимо подчеркнуть корни с одинаковыми подкоренными выражениями — только их можно складывать и вычитать.
4. У корней с одинаковыми подкоренными выражениями необходимо сложить или вычесть множители, которые стоят перед знаком корня. Подкоренное выражение остается без изменений. Нельзя складывать или вычитать подкоренные числа! 

Давайте попробуем решить данный пример:

$6\sqrt{50}=6\sqrt{(25\times 2)}=(6\times 5)\sqrt{2}=30\sqrt{2}$. Для начала необходимо разложить 50 на 2 множителя 25 и 2, затем извлечь корень из 25, который равен 5, а 5 вынести из-под корня. После этого нужно умножить 5 на 6 (множитель у корня) и получить $30\sqrt{2}$.

$2\sqrt{8}=2\sqrt{(4\times 2)}=(2\times 2)\sqrt{2}=4\sqrt{2}$. Сперва необходимо разложить 8 на 2 множителя: 4 и 2. Затем из 4 извлечь корень, который равен 2, а 2 вынести из-под корня. После этого нужно умножить 2 на 2 (множитель у корня) и получить $4\sqrt{2}$.

$5\sqrt{12}=5\sqrt{(4\times 3)}=(5\times 2)\sqrt{3}=10\sqrt{3}$. Сперва необходимо разложить 12 на 2 множителя: 4 и 3. Затем извлечь из 4 корень, который равен 2, и вынести его из-под корня. После этого нужно умножить 2 на 5 (множитель у корня) и получить $10\sqrt{3}$.

Результат упрощения: $30\sqrt{2}-4\sqrt{2}+10\sqrt{3}$

$30\sqrt{2}-4\sqrt{2}+10\sqrt{3}=(30-4)\sqrt{2}+10\sqrt{3}=26\sqrt{2}+10\sqrt{3}$.

$\sqrt{\left(45\right)}+4\sqrt{5}:$

• Упрощаем $\sqrt{\left(45\right)}$. Раскладываем $45$ на множители: $\sqrt{\left(45\right)}=\sqrt{(9\times 5)}$;
• Выносим $3$ из-под корня $(\sqrt{9}=3):\sqrt{45}=3\sqrt{5}$;
• Складываем множители у корней: $3\sqrt{5}+4\sqrt{5}=7\sqrt{5}$.

$6\sqrt{40}-3\sqrt{10}+\sqrt{5}:$

• Упрощаем $6\sqrt{40}$. Раскладываем $\sqrt{40}$ на множители: $6\sqrt{40}=6\sqrt{(4\times 10)};$
• Выносим $2$ из-под корня $(\sqrt{4}=2):6\sqrt{40}=6\sqrt{(4\times 10)}=(6\times 2)\sqrt{10};$
• Перемножаем множители, которые стоят перед корнем: $12\sqrt{10};$
• Записываем выражение в упрощенном виде: $12\sqrt{10}-3\sqrt{10}+\sqrt{5};$
• Поскольку у первых двух членов одинаковые подкоренные числа, мы можем их вычесть: $(12-3)\sqrt{10}=9\sqrt{10}+\sqrt{5}$.

$9\sqrt{5}-2\sqrt{3}-4\sqrt{5}$

Как мы видим, упростить подкоренные числа не представляется возможным, поэтому ищем в примере члены с одинаковыми подкоренными числами, проводим математические действия (складываем, вычитаем и т.д.) и записываем результат:

$(9-4)\sqrt{5}-2\sqrt{3}=5\sqrt{5}-2\sqrt{3}$.