Решение квадратных неравенств графически

Графический метод является одним из основных методов решения квадратных неравенств. В статье мы приведем алгоритм применения графического метода, а затем рассмотрим частные случаи на примерах.

Суть графического метода

Метод применим для решения любых неравенств, не только квадратных. Суть его вот в чем: правую и левую части неравенства рассматривают как две отдельные функции $y=f\left(x\right)$ и $y=g\left(x\right)$, их графики строят в прямоугольной системе координат и смотрят, какой из графиков располагается выше другого, и на каких промежутках. Оцениваются промежутки следующим образом:

Рассмотрим приведенный выше алгоритм на примере. Для этого возьмем квадратное неравенство $a·x^2+b·x+c<0 (\le , >, \ge )$ и выведем из него две функции. Левая часть неравенства будет отвечать  $y=a·x^2+b·x+c$ (при этом $f\left(x\right)=a·x^2+b·x+c)$, а правая $y=0$ (при этом$g\left(x\right)=0$).

Графиком первой функции является парабола, второй прямая линия, которая совпадает с осью абсцисс $Ох$. Проанализируем положение параболы относительно оси $Ох$. Для этого выполним схематический рисунок.

Решение с двумя корнями у квадратного трехчлена

Ветви параболы направлены вверх. Она пересекает ось $Ох$ в точках $x_1$ и $x_2$. Коэффициент а в данном случае положительный, так как именно он отвечает за направление ветвей параболы. Дискриминант положителен, что указывает на наличие двух корней у квадратного трехчлена $a·x^2+b·x+c$ . Корни трехчлена мы обозначили как $x_1$ и $x_2$, причем приняли, что $x_1<x_2$, так как на оси $Ох$ изобразили точку с абсциссой $x_1$ левее точки с абсциссой $x_2$.

Части параболы, расположенные выше оси $Ох$ обозначим красным, ниже – синим. Это позволит нам сделать рисунок более наглядным.

Выделим промежутки, которые соответствуют этим частям и отметим их на рисунке полями определенного цвета.

Красным мы отметили промежутки $(-\infty , x_1)$ и $(x_2, +\infty )$, на них парабола выше оси $Ох$. Они являются решением квадратного неравенства $a·x^2+b·x+c>0$. Синим мы отметили промежуток $(x_1, x_2)$, который является решением неравенства $a·x^2+b·x+c<0$. Числа $x_1$ и $x_2$ будут отвечать равенству $a·x^2+b·x+c=0$.

Сделаем краткую запись решения. При $a>0$ и $D=b^2-4·a·c>0$ (или $D\text{'}=\frac{D}{4}>0$ при четном коэффициенте $b$) мы получаем:

• решением квадратного неравенства $a·x^2+b·x+c>0$ является $(-\infty , x_1)\cup (x_2, +\infty )$ или в другой записи$x<x_1, x>x_2$;
• решением квадратного неравенства $a·x^2+b·x+c\ge 0$ является $(-\infty , x_1]\cup [x_2, +\infty )$ или в другой записи $x\le x_1, x\ge x_2$;
• решением квадратного неравенства $a·x^2+b·x+c<0$ является $(x_1, x_2)$ или в другой записи $x_1<x<x_2$;
• решением квадратного неравенства $a·x^2+b·x+c\le 0$ является $[x_1, x_2]$ или в другой записи $x_1\le x\le x_2$,

где $x_1$ и $x_2$ – корни квадратного трехчлена $a·x^2+b·x+c$, причем $x_1<x_2$.

Решение с одним корнем у квадратного трехчлена

На данном рисунке парабола касается оси $Oх$ только в одной точке, которая обозначена как $x_0$. Ветви параболы направлены вверх, что означает, что $a>0$. $D=0$, следовательно, квадратный трехчлен имеет один корень $x_0$.

Парабола расположена выше оси $Oх$ полностью, за исключением точки касания координатной оси. Обозначим цветом промежутки  $(-\infty , x_0), (x_0, \infty )$.

Запишем результаты. При $a>0$ и $D=0$:

• решением квадратного неравенства $a·x^2+b·x+c>0$ является $(-\infty , x_0)\cup (x_0, +\infty )$ или в другой записи $x\ne x_0$;
• решением квадратного неравенства $a·x^2+b·x+c\ge 0$ является $(-\infty , +\infty )$ или в другой записи $x\in R$;
• квадратное неравенство $a·x^2+b·x+c<0$ не имеет решений (нет интервалов, на которых парабола расположена ниже оси $Ox$);
• квадратное неравенство $a·x^2+b·x+c\le 0$ имеет единственное решение $x=x_0$ (его дает точка касания),

где $x_0$ - корень квадратного трехчлена $a·x^2+b·x+c$.

Решение квадратного трехчлена, не имеющего корней

Рассмотрим третий случай, когда ветви параболы направлены вверх и не касаются оси $Ox$. Ветви параболы направлены вверх, что означает, что $a>0$. Квадратный трехчлен не имеет действительных корней, так как $D<0$.

На графике нет интервалов, на которых парабола была бы ниже оси абсцисс. Это мы будем учитывать при выборе цвета для нашего рисунка.

Получается, что при $a>0$ и $D<0$ решением квадратных неравенств  $a·x^2+b·x+c>0$ и $a·x^2+b·x+c\ge 0$ является множество всех действительных чисел, а неравенства $a·x^2+b·x+c<0$ и $a·x^2+b·x+c\le 0$ не имеют решений.

Нам осталось рассмотреть три варианта, когда ветви параболы направлены вниз. На этих трех вариантах можно не останавливаться подробно, так как при умножении обеих частей неравенства на $-1$ мы получаем равносильное неравенство с положительным коэффициентом при ${х}^2$.

Алгоритм решения неравенств с использованием графического способа

Рассмотрение предыдущего раздела статьи подготовило нас к восприятию алгоритма решения неравенств с использованием графического способа. Для проведения вычислений нам необходимо будет каждый раз использовать чертеж, на котором будет изображена координатная прямая $Oх$ и парабола, которая отвечает квадратичной функции $y=a·x^2+b·x+c$. Ось $Oу$ мы в большинстве случаев изображать не будем, так как для вычислений она не нужна и будет лишь перегружать чертеж.

Для построения параболы нам необходимо будет знать две вещи:

Точки пересечения и касания мы будет обозначать обычным способом при решении нестрогих неравенств и пустыми при решении строгих.

Наличие готового чертежа позволяет перейти к следующему шагу решения. Он предполагает определение промежутков, на которых парабола располагается выше или ниже оси $Oх$. Промежутки и точки пересечения и являются решением квадратного неравенства. Если точек пересечения или касания нет и нет интервалов, то считается, что заданное в условиях задачи неравенство не имеет решений.

Теперь решим несколько квадратных неравенств, используя приведенный выше алгоритм.

В тех случаях, когда дискриминант квадратного трехчлена равен нулю, необходимо внимательно подходить к вопросу о том, стоит ли включать в ответ абсциссы точки касания. Для того, чтобы принять правильное решение, необходимо учитывать знак неравенства. В строгих неравенствах точка касания оси абсцисс не является решением неравенства, в нестрогих является.

Не всегда при отрицательном значении дискриминанта неравенство не будет иметь решений. Есть случаи, когда решением будет являться множество всех действительных чисел.