Первый замечательный предел: примеры нахождения, задачи и подробные решения

Необходимо определить предел, не используя правило Лопиталя: $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin \left(3x\right)}{2x}$.

Решение

Подставим значение:

Мы видим, что возникла неопределенность нуль делить на нуль. Обратимся к таблице неопределенностей, чтобы задать метод решения. Сочетание синуса и его аргумента дает нам подсказку об использовании первого замечательного предела, однако для начала преобразуем выражение. Произведем умножение числителя и знаменателя дроби на $3x$ и получим:

Опираясь на следствие из первого замечательного предела, имеем: $\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{\sin \left(3x\right)}{3x}\right)=1$.

Тогда приходим к результату:

$\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{3}{2}·\frac{\sin \left(3x\right)}{3x}\right)=\frac{3}{2}·1=\frac{3}{2}$

Ответ: $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin \left(3x\right)}{3x}=\frac{3}{2}$.

Необходимо найти предел $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos \left(2x\right)}{3x^2}$.

Решение

Подставим значения и получим:

Мы видим неопределенность нуль делить на нуль. Произведем преобразование числителя с использованием формул тригонометрии:

Видим, что теперь здесь возможно применение первого замечательного предела:

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2{\sin }^2\left(x\right)}{3x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{2}{3}·\frac{\sin x}{x}·\frac{\sin x}{x}\right)=\frac{2}{3}·1·1=\frac{2}{3}$

Ответ: $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos \left(2x\right)}{3x^2}=\frac{2}{3}$.

Необходимо произвести вычисление предела $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{arc\sin \left(4x\right)}{3x}$.

Решение

Подставим значение:

Мы видим неопределенность делить нуль на нуль. Произведем замену:

пусть

 $$\begin{gathered} arc\sin \left(4x\right)=t\Rightarrow \sin \left(arc\sin \right(4x\left)\right)=\sin \left(t\right) \\ 4x=\sin \left(t\right)\Rightarrow x=\frac{1}{4}\sin \left(t\right) \\ \underset{x\to 0}{\lim }\left(arc\sin \right(4x\left)\right)=arc\sin (4·0)=0 \end{gathered}$$, значит $t\to 0$ при $x\to 0$.

В таком случае, после замены переменной, предел принимает вид:

Ответ: $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{arc\sin \left(4x\right)}{3x}=\frac{4}{3}$.