Параметрические уравнения прямой на плоскости: описание, примеры, решение задач

Одним из подпунктов темы «Уравнение прямой на плоскости» является вопрос составления параметрических уравнений прямой на плоскости в прямоугольной системе координат. В статье ниже рассматривается принцип составления подобных уравнений при определенных известных данных. Покажем, как от параметрических уравнений переходить к уравнениям иного вида; разберем решение типовых задач.

Вывод параметрических уравнений прямой на плоскости

Конкретная прямая может быть определена, если задать точку, которая принадлежит этой прямой, и направляющий вектор прямой.

Допустим, нам задана прямоугольная система координат $Oxy$. А также заданы прямая а с указанием лежащей на ней точки ${М}_1(x_1, y_1)$ и направляющий вектор заданной прямой $\overrightarrow{a}= (a_x, a_y)$. Дадим описание заданной прямой $a$, используя уравнения.

Используем произвольную точку $М (x, y)$ и получим вектор $\overrightarrow{{М}_1М}$; вычислим его координаты по координатам точек начала и конца: $\overrightarrow{M_{1}M}=(x-x_1, y-y_1)$. Опишем полученное: прямая задана множеством точек $М (x, y)$, проходит через точку ${М}_1(x_1, y_1)$ и имеет направляющий вектор $\overrightarrow{a}= (a_x, a_y)$. Указанное множество задает прямую только тогда, когда векторы $\overrightarrow{M_{1}M}=(x-x_1, y-y_1)$ и $\overrightarrow{a}= (a_x, a_y)$ являются коллинеарными.

Существует необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов, которое в данном случае для векторов $\overrightarrow{M_{1}M}=(x-x_1, y-y_1)$ и $\overrightarrow{a}= (a_x, a_y)$ возможно записать в виде уравнения:

$\overrightarrow{M_{1}M}=\lambda ·\overrightarrow{a}$, где $\lambda$ – некоторое действительное число.

В координатной форме оно имеет вид:

$\overrightarrow{M_{1}M}=\lambda ·\overrightarrow{a}\iff \left\{\begin{array}{l}x-x_1=\lambda ·a_x\\ y-y_1=\lambda ·a_y\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=x_1+a_x·\lambda \\ y=y_1+a_y·\lambda \end{array}\right.$

Уравнения полученной системы $\left\{\begin{array}{l}x=x_1+a_x·\lambda \\ y=y_1+a_y·\lambda \end{array}\right.$ носят название параметрических уравнений прямой на плоскости в прямоугольной системе координат. Суть названия в следующем: координаты всех точек прямой возможно определить по параметрическим уравнениям на плоскости вида $\left\{\begin{array}{l}x=x_1+a_x·\lambda \\ y=y_1+a_y·\lambda \end{array}\right.$ при переборе всех действительных значений параметра $\lambda$

Составление параметрических уравнений прямой на плоскости

Согласно вышесказанному, параметрические уравнения прямой на плоскости $\left\{\begin{array}{l}x=x_1+a_x·\lambda \\ y=y_1+a_y·\lambda \end{array}\right.$ определяют прямую линию, которая задана в прямоугольной системе координат, проходит через точку ${М}_1(x_1, y_1)$ и имеет направляющий вектор $\overrightarrow{a}= (a_x, a_y)$. Следовательно, если заданы координаты некоторой точки прямой и координаты ее направляющего вектора, то возможно сразу записать параметрические уравнения заданной прямой.

Необходимо отметить: если вектор $\overrightarrow{a}=(a_x, a_y)$ служит направляющим вектором прямой а, а точки ${М}_1(x_1, y_1)$ и ${М}_2(x_2, y_2)$ принадлежат этой прямой, то ее возможно определить, задав параметрическими уравнениями вида: $\left\{\begin{array}{l}x=x_1+a_x·\lambda \\ y=y_1+a_y·\lambda \end{array}\right.$, а также и таким вариантом: $\left\{\begin{array}{l}x=x_2+a_x·\lambda \\ y=y_2+a_y·\lambda \end{array}\right.$.

К примеру, нам заданы направляющий вектор прямой $\overrightarrow{a}= (2, -1)$, а также точки ${М}_1(1, -2)$ и ${М}_2 (3, -3)$, принадлежащие этой прямой. Тогда прямую определяют параметрические уравнения: $\left\{\begin{array}{l}x=1+2·\lambda \\ y=-2-\lambda \end{array}\right.$ или $\left\{\begin{array}{l}x=3+2·\lambda \\ y=-3-\lambda \end{array}\right.$ .

Следует обратить внимание и на такой факт: если $\overrightarrow{a}= (a_x, a_y)$ - направляющий вектор прямой $a$, то ее направляющим вектором будет и любой из векторов $\overrightarrow{\mu ·a}=(\mu ·a_x, \mu ·a_y)$, где $\mu ϵ R, \mu \ne 0$ .

Таким образом, прямая а на плоскости в прямоугольной системе координат может быть определена параметрическими уравнениями: $\left\{\begin{array}{l}x=x_1+\mu ·a_x·\lambda \\ y=y_1+\mu ·a_y·\lambda \end{array}\right.$ при любом значении $\mu$, отличном от нуля.

Допустим, прямая а задана параметрическими уравнениями $\left\{\begin{array}{l}x=3+2·\lambda \\ y=-2-5·\lambda \end{array}\right.$. Тогда $\overrightarrow{a}= (2, -5)$ - направляющий вектор этой прямой. А также любой из векторов $\mu ·\overrightarrow{a}=(\mu ·2, \mu ·\left(-5\right))=\left(2\mu , -5\mu \right), \mu \in R, \mu \ne 0$ станет направляющим вектором для заданной прямой. Для наглядности рассмотрим конкретный вектор$-2 · \overrightarrow{a}= (-4, 10)$, ему соответствует значение $\mu = -2$. В таком случае заданную прямую можно также определить параметрическими уравнениями $\left\{\begin{array}{l}x=3-4·\lambda \\ y=-2+10·\lambda \end{array}\right.$.

Переход от параметрических уравнений прямой на плоскости к прочим уравнениям заданной прямой и обратно

В решении некоторых задач применение параметрических уравнений является не самым оптимальным вариантом, тогда возникает необходимость перевода параметрических уравнений прямой в уравнения прямой другого вида. Рассмотрим, как же это сделать.

Параметрическим уравнениям прямой вида $\left\{\begin{array}{l}x=x_1+a_x·\lambda \\ y=y_1+a_y·\lambda \end{array}\right.$ будет соответствовать каноническое уравнение прямой на плоскости $\frac{x-x_1}{a_x}=\frac{y-y_1}{a_y}$.

Разрешим каждое из параметрических уравнений относительно параметра $\lambda$, приравняем правые части полученных равенств и получим каноническое уравнение заданной прямой:

$\left\{\begin{array}{l}x=x_1+a_x·\lambda \\ y=y_1+a_y·\lambda \end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\lambda =\frac{x-x_1}{a_x}\\ \lambda =\frac{y-y_1}{a_y}\end{array}\right.\iff \frac{x-x_1}{a_x}=\frac{y-y_1}{a_y}$

При этом не должно смущать, если $a_x$ или $a_y$ будут равны нулю.

В случае, когда необходимо записать уравнение прямой вида $Ax+By+C=0$, при этом заданы параметрические уравнения прямой на плоскости, необходимо сначала осуществить переход к каноническому уравнению, а затем к общему уравнению прямой. Запишем всю последовательность действий:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x=x_1+a_x·\lambda \\ y=y_1+a_y·\lambda \end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\lambda =\frac{x-x_1}{a_x}\\ \lambda =\frac{y-y_1}{a_y}\end{array}\right.\iff \frac{x-x_1}{a_x}=\frac{y-y_1}{a_y}\iff \\ \iff a_y·(x-x_1)=a_x·(y-y_1)\iff Ax+By+C=0 \end{gathered}$$

Следуя вышеуказанной логике действий, для получения уравнения прямой с угловым коэффициентом, уравнения прямой в отрезках или нормального уравнения прямой необходимо получить общее уравнение прямой, а от него осуществлять дальнейший переход.

Теперь рассмотрим обратное действие: запись параметрических уравнений прямой при другом заданном виде уравнений этой прямой.

Самый простой переход: от канонического уравнения к параметрическим. Пусть задано каноническое уравнение вида: $\frac{x-x_1}{a_x}=\frac{y-y_1}{a_y}$ . Каждое из отношений этого равенства примем равным параметру $\lambda$:

$\frac{x-x_1}{a_x}=\frac{y-y_1}{a_y}=\lambda \iff \left\{\begin{array}{l}\lambda =\frac{x-x_1}{a_x}\\ \lambda =\frac{y-y_1}{a_y}\end{array}\right.$

Разрешим полученные уравнения относительно переменных $x$ и $y$:

$\left\{\begin{array}{l}x=x_1+a_x·\lambda \\ y=y_1+a_y·\lambda \end{array}\right.$

Когда необходимо осуществить переход к параметрическим уравнениям от заданного общего уравнения прямой, уравнения прямой с угловым коэффициентом или уравнения прямой в отрезках, необходимо исходное уравнение привести к каноническому, а после осуществлять переход к параметрическим уравнениям.

Примеры и задачи с параметрическими уравнениями прямой на плоскости

Рассмотрим чаще всего встречаемые типы задач с использованием параметрических уравнений прямой на плоскости в прямоугольной системе координат.

1. В задачах первого типа заданы координаты точек, принадлежащих или нет прямой, описанной параметрическими уравнениями.

Решение таких задач опирается на следующий факт: числа $(x, y)$, определяемые из параметрических уравнений $\left\{\begin{array}{l}x=x_1+a_x·\lambda \\ y=y_1+a_y·\lambda \end{array}\right.$ при некотором действительном значении $\lambda$, являются координатами точки, принадлежащей прямой, которая описывается этими параметрическими уравнениями.

Также возможна следующая задача: пусть задана некоторая точка $M_0 (x_0, y_0)$ на плоскости в прямоугольной системе координат и нужно определить, принадлежит ли эта точка прямой, описываемой параметрическими уравнениями $\left\{\begin{array}{l}x=x_1+a_x·\lambda \\ y=y_1+a_y·\lambda \end{array}\right.$.

Чтобы решить подобную задачу, необходимо подставить координаты заданной точки в известные параметрические уравнения прямой. Если будет определено, что возможно такое значение параметра $\lambda = {\lambda }_0$, при котором будут верными оба параметрических уравнения, тогда заданная точка является принадлежащей заданной прямой.

2. В задачах второго типа требуется составить параметрические уравнения прямой на плоскости в прямоугольной системе координат. Самый простой пример такой задачи (при известных координатах точки прямой и направляющего вектора) был рассмотрен выше. Теперь разберем примеры, в которых сначала нужно найти координаты направляющего вектора, а потом записать параметрические уравнения.

3. В задачах третьего типа требуется осуществить переход от параметрических уравнений заданной прямой к прочим видам уравнений, которые ее определяют. Решение подобных примеров мы рассматривали выше, приведем еще один.