Уравнение плоскости, которая проходит через две пересекающиеся или две параллельные прямые

Содержание:

02 марта 2023
11 минут
3336

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

В данном материале мы расскажем, как правильно вычислить уравнение плоскости, которая проходит через $2$ пересекающиеся или параллельные прямые. Начнем с формулировки основного принципа, а потом, как всегда, разберем несколько задач, где можно применить этот принцип на практике.

Как найти уравнение плоскости, проходящей через пересекающиеся прямые?

Для того чтобы вывести это уравнение, нам понадобится вспомнить одну теорему. Она звучит так:

Определение 1

Через две пересекающиеся прямые может проходить только одна плоскость.

Доказательство этого утверждения основано на двух аксиомах:

через три точки с разными координатами, которые не лежат на одной прямой, проходит только одна плоскость;
если у нас есть две точки прямой с разными координатами, расположенные в некоторой плоскости, то все точки этой прямой находятся в этой плоскости.

В итоге мы можем утверждать, что с помощью указания двух пересекающихся прямых мы можем задать определенную плоскость в трехмерном пространстве.

Далее нам нужно доказать, что плоскость, которая проходит через две определенные прямые, совпадет с той, что проходит через три заданные точки, две из которых находятся на тех самых прямых.

Допустим, у нас есть две прямые $a$ и $b$ с пересечением в некой точке $M$ . Теперь расположим на первой прямой две точки $М_{1}$ и $М_{2}$ . У них должны быть разные координаты, но при этом одна из них может совпадать с точкой пересечения. На второй прямой отметим точку $М_{3}$ (но она совпадать с точкой $M$ не должна). Теперь нам надо показать, что плоскость, проходящая через $М_{1} М_{2} М_{3}$ , – это та же самая плоскость, что проходит через пересекающиеся прямые $a$ и $b$ .

Посмотрим на схему:

Как найти уравнение плоскости, проходящей через пересекающиеся прямые?

Поскольку мы имеем точки прямой $a$ , которые находятся в плоскости $М_{1} М_{2} М_{3}$ ( $М_{1}$ и $М_{2}$ ), то, используя аксиому, которую мы приводили выше, можно утверждать, что все точки этой прямой находятся в данной плоскости. Все точки прямой $b$ тоже будут находиться в ней, поскольку там расположены две несовпадающие точки данной прямой ( $М$ и $М_{3}$ ). Таким образом, мы доказали, что плоскости, в которых лежат данные прямые, совпадают.

Теперь перейдем непосредственно к формулировке уравнения плоскости, которая проходит через пересекающиеся прямые. Возьмем $a$ и $b$ , которые заданы в прямоугольной системе координат $O x y z$ в трехмерном пространстве и являются пересекающимися. Напишем уравнение плоскости, которая проходит через эти прямые.

Все решение можно свести к нахождению уже изученного уравнения плоскости, проходящей через три точки. Сначала нам надо найти координаты двух точек $M_{1}$ и $M_{2}$ , которые расположены на пересекающихся прямых, и точки $M_{3}$ , которая находится на другой прямой и не является точкой их пересечения. Для этого можно использовать разные способы. Так, мы можем составить параметрические уравнения для первой прямой в пространстве. В итоге получим:

$\{\begin{cases} x = x_{1} + a_{x} \cdot λ \\ \begin{array}{l} y = y_{1} + a_{y} \cdot λ \\ z = z_{1} + a_{z} \cdot λ \end{array} \end{cases}$

Отсюда можно вывести координаты $(x_{1}, y_{1}, z_{1})$ точки $M_{1}$ , если $λ = 0$ . Для $М_{2}$ эти данные можно вычислить, если придать параметру любое действительное значение, отличное от нуля, например, единицу.

Далее мы можем составить такие же параметрические уравнения для второй прямой и, используя некоторое значение параметра, высчитать координаты $М_{3}$ . Важно проверить, чтобы она не лежала в точке пересечения прямых и вообще не находилась на прямой $a$ .

Итак, мы нашли координаты всех нужных точек – $М_{1}, М_{2}$ и $М_{3}$ . Переходим к написанию уравнения плоскости, которая через них проходит. Запишем:

$|\begin{matrix} x - x_{1} & y - y_{1} & z - z_{1} \\ x_{2} - x_{1} & y_{2} - y_{1} & z_{2} - z_{1} \\ x_{3} - x_{1} & y_{3} - y_{1} & z_{3} - z_{1} \end{matrix}| = 0$

Теперь найдем определитель матрицы $|\begin{matrix} x - x_{1} & y - y_{1} & z - z_{1} \\ x_{2} - x_{1} & y_{2} - y_{1} & z_{2} - z_{1} \\ x_{3} - x_{1} & y_{3} - y_{1} & z_{3} - z_{1} \end{matrix}|$ и получим общее уравнение для нужной нам плоскости, которая будет проходит через две заданные прямые $a$ и $b$ .

Как найти уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые?

Для этого нам понадобится вспомнить теорему, которая формулируется так:

Определение 2

Через две параллельные прямые проходит только одна плоскость.

Ее можно доказать, используя аксиому о единственной плоскости, которая проходит через три точки, а также утверждение о двух параллельных прямых (если одна из параллельных прямых пресекает некоторую плоскость, то это же делает и другая).

Итак, возможно задать плоскость в пространстве, если указать две параллельные прямые, которые в ней находятся.

Очевиден тот факт, что плоскость, которая проходит через $2$ параллельные прямые и плоскость, которая проходит через три точки, две из которой лежат на одной из этих прямых, будут совпадать.

После этого мы можем найти уравнение плоскости, проходящей через две заданные параллельные прямые.

У нас есть прямоугольная система координат в трехмерном пространстве, которая обозначается $O x y z$ . Составим уравнение плоскости, которая проходит через параллельные прямые $a$ и $b$ .

Сводим задачу опять же к нахождению уравнения для плоскости с тремя точками. В самом деле, можно определить, какие точно координаты будут иметь $М_{1}$ и $М_{2}$ , лежащие на одной из параллельных прямых, и $М_{3}$ , расположенная на другой прямой. После этого просто запишем нужное нам уравнение для плоскости, проходящей через три точки $M_{1} (x_{1}, y_{1}, z_{1}), M_{2} (x_{2}, y_{2}, z_{2}), M_{3} (x_{3}, y_{3}, z_{3})$ в следующем виде:

$|\begin{matrix} x - x_{1} & y - y_{1} & z - z_{1} \\ x_{2} - x_{1} & y_{2} - y_{1} & z_{2} - z_{1} \\ x_{3} - x_{1} & y_{3} - y_{1} & z_{3} - z_{1} \end{matrix}| = 0$

Это и есть нужное нам уравнение плоскости, проходящей через заданные параллельные прямые.

Примеры задач на нахождение подобных уравнений

Таким образом, для того чтобы составить уравнение плоскости, которая проходит через $2$ пересекающиеся или параллельные прямые, требуется вычислить координаты трех точек, которые расположены на этих прямых (две точки на одной прямой и третья на другой). Посмотрим, как это принцип реализуется на практике.

Пример 1

У нас задана прямоугольная система координат в трехмерном пространстве. Расположенная в ней прямая $a$ проходит через точку $M_{1} (- 3, 1, - 4)$ и пересекает координатную прямую $O y$ в точке $M_{2} (0, 5, 0)$ . Составьте уравнение плоскости, которая будет проходить через пересекающиеся $a$ и $O y$ .

Решение

Изначально у нас заданы координаты двух точек, которые расположены на исходной прямой. Для составления уравнения нам нужна третья. Возьмем точку начала координат $O (0, 0, 0)$ . Она расположена на $O y$ и не совпадает с координатами двух точек, которые были заданы в условии. Та плоскость, что будет проходить через них, и есть та, для которой нам надо вывести уравнение. Запишем его в координатном виде:

$|\begin{matrix} x - x_{1} & y - y_{1} & z - z_{1} \\ x_{2} - x_{1} & y_{2} - y_{1} & z_{2} - z_{1} \\ x_{3} - x_{1} & y_{3} - y_{1} & z_{3} - z_{1} \end{matrix}| = 0 \Leftrightarrow |\begin{matrix} x - 0 & y - 0 & z - 0 \\ - 3 - 0 & 1 - 0 & - 4 - 0 \\ 0 - 0 & 5 - 0 & 0 - 0 \end{matrix}| = 0 \Leftrightarrow \Leftrightarrow |\begin{matrix} x & y & z \\ - 3 & 1 & - 4 \\ 0 & 5 & 0 \end{matrix}| = 0 \Leftrightarrow 20 x - 15 z = 0 \Leftrightarrow 4 x - 3 z = 0$

Ответ: $4 x - 3 z = 0$ .

Возьмем более сложный пример, где координаты нужных точек не будут столь очевидными.

Пример 2

У нас есть две пересекающиеся прямые $a$ и $b$ , которые заданы с помощью уравнений.

$\frac{x - 7}{4} = \frac{y - 7}{5} = \frac{z + 5}{- 6} \frac{x - 3}{1} = \frac{y - 2}{- 3} = \frac{z - 1}{5}$

Составьте уравнение плоскости, которая проходит через них.

Решение

Начнем с вычисления координат трех необходимых точек. Две из них расположены на прямой $a$ , третья – на $b$ .

Прямая в условии задана с помощью канонических уравнений в пространстве вида $\frac{x - 7}{4} = \frac{y - 7}{5} = \frac{z + 5}{- 6}$ , следовательно, она будет проходить через точку $\frac{x - 7}{4} = \frac{y - 7}{5} = \frac{z + 5}{- 6}$ .

Для вычисления координат второй точки нам надо записать параметрическое уравнение:

$\frac{x - 7}{4} = \frac{y - 7}{5} = \frac{z + 5}{- 6} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 7 + 4 \cdot λ \\ \begin{array}{l} y = 7 + 5 \cdot λ \\ z = - 5 - 6 \cdot λ \end{array} \end{cases}$

Если мы примем $λ = 1$ , то сможем подсчитать координаты второй точки:

$\{\begin{cases} x = 7 + 4 \cdot λ \\ \begin{array}{l} y = 7 + 5 \cdot λ \\ z = - 5 - 6 \cdot λ \end{array} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 11 \\ \begin{array}{l} y = 12 \\ z = - 11 \end{array} \end{cases}$

Мы получили, что $M_{2} (11, 12, - 11)$ .

Понятно, что прямая, заданная с помощью уравнения $\frac{x - 3}{1} = \frac{y - 2}{- 3} = \frac{z - 1}{5}$ , будет проходить через точку $M_{3} (3, 2, 1)$ . Перед вычислениями надо проверить, не лежит ли она в точке пересечения прямых. Для этого надо подставить ее координаты во второе уравнение:

$\frac{3 - 7}{4} = \frac{2 - 7}{5} = \frac{1 + 5}{- 6} \Leftrightarrow - 1 \equiv - 1 \equiv - 1$

Мы видим, что канонические уравнения прямой свелись к тождествам. Тогда наша третья точка лежит именно в месте пересечения прямых, значит, нам надо взять еще одну, которая будет находится на прямой $b$ . Для этого также запишем параметрические уравнения:

$\frac{x - 3}{1} = \frac{y - 2}{- 3} = \frac{z - 1}{5} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 3 + μ \\ \begin{array}{l} y = 2 - 3 \cdot μ \\ z = 1 + 5 \cdot μ \end{array} \end{cases}$

Высчитаем нужные координаты, приняв $μ = 1$ .

$\{\begin{cases} x = 3 + 1 \\ \begin{array}{l} y = 2 - 3 \cdot 1 \\ z = 1 + 5 \cdot 1 \end{array} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 4 \\ \begin{array}{l} y = - 1 \\ z = 6 \end{array} \end{cases} \Leftrightarrow M_{3} (4, - 1, 6)$

Далее мы можем переходить непосредственно у формулированию уравнения нужной нам плоскости, которая будет проходить через $M_{1} (7, 7, - 5), M_{2} (11, 12, - 11), M_{3} (4, - 1, 6)$ :

$|\begin{matrix} x - x_{1} & y - y_{1} & z - z_{1} \\ x_{2} - x_{1} & y_{2} - y_{1} & z_{2} - z_{1} \\ x_{3} - x_{1} & y_{3} - y_{1} & z_{3} - z_{1} \end{matrix}| = 0 \Leftrightarrow |\begin{matrix} x - 7 & y - 7 & z - (- 5) \\ 11 - 7 & 12 - 7 & - 11 - (- 5) \\ 4 - 7 & - 1 - 7 & 6 - (- 5) \end{matrix}| = 0 \Leftrightarrow \Leftrightarrow |\begin{matrix} x - 7 & y - 7 & z + 5 \\ 4 & 5 & - 6 \\ - 3 & - 8 & 11 \end{matrix}| = 0 \Leftrightarrow 7 x - 26 y - 17 z + 48 = 0$

Ответ: $7 x - 26 y - 17 z + 48 = 0$ .

Очевидно, что процесс вычисления координат нужных нам точек занимает больше всего времени при решении подобных задач.

Нам осталось разобрать пример плоскости, которая проходит через две прямые, являющиеся параллельными.

Пример 3

Составьте уравнение плоскости, которая проходит через две параллельные прямые. Они выражены с помощью уравнений $\{\begin{cases} x = 2 \cdot λ \\ \begin{array}{l} y = 1 + λ \\ z = - 1 - λ \end{array} \end{cases}$ и $\frac{x - 3}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z + 5}{- 1}$ .

Решение

Вычисляем координаты двух нужных точек по параметрическим уравнениям, приняв $λ = 0$ и $λ = 1$ .

$λ = 0 : \{\begin{cases} x = 2 \cdot 0 \\ \begin{array}{l} y = 1 + 0 \\ z = - 1 - 0 \end{array} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 0 \\ \begin{array}{l} y = 1 \\ z = - 1 \end{array} \end{cases} \Leftrightarrow M_{1} (0, 1, - 1) λ = 1 : \{\begin{cases} x = 2 \cdot 1 \\ \begin{array}{l} y = 1 + 1 \\ z = - 1 - 1 \end{array} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 \\ \begin{array}{l} y = 2 \\ z = - 2 \end{array} \end{cases} \Leftrightarrow M_{2} (2, 2, - 2)$

У нас получается, что прямая $\frac{x - 3}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z + 5}{- 1}$ будет проходить через точку $M_{3} (3, 0, - 5)$ .

Переходим к уравнению плоскости для трех точек $М_{1}, М_{2}$ и $М_{3}$ :

$|\begin{matrix} x - x_{1} & y - y_{1} & z - z_{1} \\ x_{2} - x_{1} & y_{2} - y_{1} & z_{2} - z_{1} \\ x_{3} - x_{1} & y_{3} - y_{1} & z_{3} - z_{1} \end{matrix}| = 0 \Leftrightarrow |\begin{matrix} x - 0 & y - 1 & z - (- 1) \\ 2 - 0 & 2 - 1 & - 2 - (- 1) \\ 3 - 0 & 0 - 1 & - 5 - (- 1) \end{matrix}| = 0 \Leftrightarrow \Leftrightarrow |\begin{matrix} x & y - 1 & z + 1 \\ 2 & 1 & - 1 \\ 3 & - 1 & - 4 \end{matrix}| = 0 \Leftrightarrow - 5 x + 5 y - 5 z - 10 = 0 \Leftrightarrow x - y - z + 2 = 0$

Ответ: $x - y - z + 2 = 0$ .

Курсовая работа по математике

от 5 дней/ от 2160 р.

Реферат по математике

от 1 дня/ от 840 р.

Решение задач по математике

от 1 дня/ от 150 р.