Касательная к графику функции в точке. Уравнение касательной. Геометрический смысл производной

23 июля 2023
21 минута
7 589

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Статья дает подробное разъяснение определений, геометрического смысла производной с графическими обозначениями. Будет рассмотрено уравнение касательной прямой с приведением примеров, найдено уравнения касательной к кривым $2$ порядка.

Определения и понятия

Определение 1

Угол наклона прямой $y = k x + b$ называется угол $α$ , который отсчитывается от положительного направления оси $о х$ к прямой $y = k x + b$ в положительном направлении.

Определения и понятия

На рисунке направление $о х$ обозначается при помощи зеленой стрелки и в виде зеленой дуги, а угол наклона при помощи красной дуги. Синяя линия относится к прямой.

Определение 2

Угловой коэффициент прямой $y = k x + b$ называют числовым коэффициентом $k$ .

Угловой коэффициент равняется тангенсу наклона прямой, иначе говоря $k = t g α$ .

Угол наклона прямой равняется $0$ только при параллельности $о х$ и угловом коэффициенте, равному нулю, потому как тангенс нуля равен $0$ . Значит, вид уравнения будет $y = b$ .
Если угол наклона прямой $y = k x + b$ острый, тогда выполняются условия $0 < α < \frac{π}{2}$ или $0 ° < α < 90 °$ . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента $k$ считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию $t g α > 0$ , причем имеется возрастание графика.
Если $α = \frac{π}{2}$ , тогда расположение прямой перпендикулярно $о х$ . Равенство задается при помощи равенства $x = c$ со значением $с$ , являющимся действительным числом.
Если угол наклона прямой $y = k x + b$ тупой, то соответствует условиям $\frac{π}{2} < α < π$ или $90 ° < α < 180 °$ , значение углового коэффициента $k$ принимает отрицательное значение, а график убывает.

Определение 3

Секущей называют прямую, которая проходит через $2$ точки функции $f (x)$ . Иначе говоря, секущая – это прямая, которая проводится через любые две точки графика заданной функции.

Определения и понятия

По рисунку видно, что $А В$ является секущей, а $f (x)$ – черная кривая, $α$ - красная дуга, означающая угол наклона секущей.

Когда угловой коэффициент прямой равняется тангенсу угла наклона, то видно, что тангенс из прямоугольного треугольника $А В С$ можно найти по отношению противолежащего катета к прилежащему.

Определение 4

Получаем формулу для нахождения секущей вида:

$k = t g α = \frac{B C}{A C} = \frac{f (x_{B}) - f (x_{A})}{x_{B} - x_{A}}$ , где абсциссами точек $А$ и $В$ являются значения $x_{A}, x_{B}$ , а $f (x_{A}), f (x_{B})$ - это значения функции в этих точках.

Очевидно, что угловой коэффициент секущей определен при помощи равенства $k = \frac{f (x_{B}) - f (x_{A})}{x_{B} - x_{A}}$ или $k = \frac{f (x_{A}) - f (x_{B})}{x_{A} - x_{B}}$ , причем уравнение необходимо записать как $y = \frac{f (x_{B}) - f (x_{A})}{x_{B} - x_{A}} \cdot (x - x_{A}) + f (x_{A})$ или
$y = \frac{f (x_{A}) - f (x_{B})}{x_{A} - x_{B}} \cdot (x - x_{B}) + f (x_{B})$ .

Секущая делит график визуально на $3$ части: слева от точки $А$ , от $А$ до $В$ , справа от $В$ . На располагаемом ниже рисунке видно, что имеются три секущие, которые считаются совпадающими, то есть задаются при помощи аналогичного уравнения.

Определения и понятия

По определению видно, что прямая и ее секущая в данном случае совпадают.

Секущая может множественно раз пересекать график заданной функции. Если имеется уравнение вида $у = 0$ для секущей, тогда количество точек пересечения с синусоидой бесконечно.

Определение 5

Касательная к графику функции $f (x)$ в точке $(x_{0}; f (x_{0}))$ называется прямая, проходящая через заданную точку $(x_{0}; f (x_{0}))$ , с наличием отрезка, который имеет множество значений $х$ , близких к $x_{0}$ .

Для определения касательной следует рассмотреть поведение касательной $А В$ при бесконечном приближении точки $В$ к точке $А$ . Для наглядности приведем рисунок.

Определения и понятия

Секущая $А В$ , обозначенная при помощи синей линии, стремится к положению самой касательной, а угол наклона секущей $α$ начнет стремиться к углу наклона самой касательной $α_{x}$ .

Определение 6

Касательной к графику функции $y = f (x)$ в точке $А$ считается предельное положение секущей $А В$ при $В$ стремящейся к $А$ , то есть $B \to A$ .

Теперь перейдем к рассмотрению геометрического смысла производной функции в точке.

Геометрический смысл производной функции в точке

Перейдем к рассмотрению секущей $А В$ для функции $f (x)$ , где $А$ и $В$ с координатами $(x_{0}, f (x_{0}))$ и $(x_{0} + ∆ x, f (x_{0} + ∆ x))$ , а $∆ x$ обозначаем как приращение аргумента. Теперь функция примет вид $∆ y = ∆ f (x) = f (x_{0} + ∆ x) - f (∆ x)$ . Для наглядности приведем в пример рисунок.

Геометрический смысл производной функции в точке

Рассмотрим полученный прямоугольный треугольник $А В С$ . Используем определение тангенса для решения, то есть получим отношение $\frac{∆ y}{∆ x} = t g α$ . Из определения касательной следует, что $\lim_{∆ x \to 0} \frac{∆ y}{∆ x} = t g α_{x}$ . По правилу производной в точке имеем, что производную $f (x)$ в точке $x_{0}$ называют пределом отношений приращения функции к приращению аргумента, где $∆ x \to 0$ , тогда обозначим как $f (x_{0}) = \lim_{∆ x \to 0} \frac{∆ y}{∆ x}$ .

Отсюда следует, что $f' (x_{0}) = \lim_{∆ x \to 0} \frac{∆ y}{∆ x} = t g α_{x} = k_{x}$ , где $k_{x}$ обозначают в качестве углового коэффициента касательной.

То есть получаем, что $f ’ (x)$ может существовать в точке $x_{0}$ причем как и касательная к заданному графику функции в точке касания равной $(x_{0}, f_{0} (x_{0}))$ , где значение углового коэффициента касательной в точке равняется производной в точке $x_{0}$ . Тогда получаем, что $k_{x} = f' (x_{0})$ .

Геометрический смысл производной функции в точке в том, что дается понятие существования касательной к графику в этой же точке.

Уравнение касательной прямой

Чтобы записать уравнение любой прямой на плоскости, необходимо иметь угловой коэффициент с точкой, через которую она проходит. Его обозначение принимается как $x_{0}$ при пересечении.

Уравнение касательной к графику функции $y = f (x)$ в точке $(x_{0}, f_{0} (x_{0}))$ принимает вид $y = f' (x_{0}) \cdot (x - x_{0}) + f (x_{0})$ .

Имеется в виду, что конечным значением производной $f' (x_{0})$ можно определить положение касательной, то есть вертикально при условии $\lim_{x \to x_{0} + 0} f' (x) = \infty$ и $\lim_{x \to x_{0} - 0} f' (x) = \infty$ или отсутствие вовсе при условии $\lim_{x \to x_{0} + 0} f' (x) \neq \lim_{x \to x_{0} - 0} f' (x)$ .

Расположение касательной зависит от значения ее углового коэффициента $k_{x} = f' (x_{0})$ . При параллельности к оси $о х$ получаем, что $k_{k} = 0$ , при параллельности к $о у$ - $k_{x} = \infty$ , причем вид уравнения касательной $x = x_{0}$ возрастает при $k_{x} > 0$ , убывает при $k_{x} < 0$ .

Возможно существование бесконечного количества касательных для заданных функций.

Касательная к окружности, эллипсу, гиперболе, параболе

Канонические уравнения кривых $2$ порядка не являются однозначными функциями. Уравнения касательных для них составляются по известным схемам.

Касательная к окружности

Для задания окружности с центром в точке $(x_{c e n t e r}; y_{c e n t e r})$ и радиусом $R$ применяется формула ${(x - x_{c e n t e r})}^{2} + {(y - y_{c e n t e r})}^{2} = R^{2}$ .

Данное равенство может быть записано как объединение двух функций:

$y = \sqrt{R^{2} - {(x - x_{c e n t e r})}^{2}} + y_{c e n t e r} y = - \sqrt{R^{2} - {(x - x_{c e n t e r})}^{2}} + y_{c e n t e r}$

Первая функция располагается вверху, а вторая внизу, как показано на рисунке.

Касательная к окружности, эллипсу, гиперболе, параболе

Для составления уравнения окружности в точке $(x_{0}; y_{0})$ , которая располагается в верхней или нижней полуокружности, следует найти уравнение графика функции вида $y = \sqrt{R^{2} - {(x - x_{c e n t e r})}^{2}} + y_{c e n t e r}$ или $y = - \sqrt{R^{2} - {(x - x_{c e n t e r})}^{2}} + y_{c e n t e r}$ в указанной точке.

Когда в точках $(x_{c e n t e r}; y_{c e n t e r} + R)$ и $(x_{c e n t e r}; y_{c e n t e r} - R)$ касательные могут быть заданы уравнениями $y = y_{c e n t e r} + R$ и $y = y_{c e n t e r} - R$ , а в точках $(x_{c e n t e r} + R; y_{c e n t e r})$ и
$(x_{c e n t e r} - R; y_{c e n t e r})$ будут являться параллельными $о у$ , тогда получим уравнения вида $x = x_{c e n t e r} + R$ и $x = x_{c e n t e r} - R$ .

Касательная к окружности, эллипсу, гиперболе, параболе

Касательная к эллипсу

Когда эллипс имеет центр в точке $(x_{c e n t e r}; y_{c e n t e r})$ с полуосями $a$ и $b$ , тогда он может быть задан при помощи уравнения $\frac{{(x - x_{c e n t e r})}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - y_{c e n t e r})}^{2}}{b^{2}} = 1$ .

Эллипс и окружность могут быть обозначаться при помощи объединения двух функций, а именно: верхнего и нижнего полуэллипса. Тогда получаем, что

$y = \frac{b}{a} \cdot \sqrt{a^{2} - (x - x_{c e n t e r})^{2}} + y_{c e n t e r} y = - \frac{b}{a} \cdot \sqrt{a^{2} - (x - x_{c e n t e r})^{2}} + y_{c e n t e r}$

Касательная к окружности, эллипсу, гиперболе, параболе

Если касательные располагаются на вершинах эллипса, тогда они параллельны $о х$ или $о у$ . Ниже для наглядности рассмотрим рисунок.

Касательная к окружности, эллипсу, гиперболе, параболе

Касательная к гиперболе

Когда гипербола имеет центр в точке $(x_{c e n t e r}; y_{c e n t e r})$ и вершины $(x_{c e n t e r} + α; y_{c e n t e r})$ и $(x_{c e n t e r} - α; y_{c e n t e r})$ , имеет место задание неравенства $\frac{{(x - x_{c e n t e r})}^{2}}{α^{2}} - \frac{{(y - y_{c e n t e r})}^{2}}{b^{2}} = 1$ , если с вершинами $(x_{c e n t e r}; y_{c e n t e r} + b)$ и $(x_{c e n t e r}; y_{c e n t e r} - b)$ , тогда задается при помощи неравенства $\frac{{(x - x_{c e n t e r})}^{2}}{α^{2}} - \frac{{(y - y_{c e n t e r})}^{2}}{b^{2}} = - 1$ .

Касательная к окружности, эллипсу, гиперболе, параболе

Гипербола может быть представлена в виде двух объединенных функций вида

$y = \frac{b}{a} \cdot \sqrt{(x - x_{c e n t e r})^{2} - a^{2}} + y_{c e n t e r} y = - \frac{b}{a} \cdot \sqrt{(x - x_{c e n t e r})^{2} - a^{2}} + y_{c e n t e r}$ или $y = \frac{b}{a} \cdot \sqrt{(x - x_{c e n t e r})^{2} + a^{2}} + y_{c e n t e r} y = - \frac{b}{a} \cdot \sqrt{(x - x_{c e n t e r})^{2} + a^{2}} + y_{c e n t e r}$

Касательная к окружности, эллипсу, гиперболе, параболе

В первом случае имеем, что касательные параллельны $о у$ , а во втором параллельны $о х$ .

Отсюда следует, что для того, чтобы найти уравнение касательной к гиперболе, необходимо выяснить, какой функции принадлежит точка касания. Чтобы определить это, необходимо произвести подстановку в уравнения и проверить их на тождественность.

Касательная к параболе

Чтобы составить уравнение касательной к параболе $y = a x^{2} + b x + c$ в точке $(x_{0}, y (x_{0}))$ , необходимо использовать стандартный алгоритм, тогда уравнение примет вид $y = y' (x_{0}) \cdot (x - x_{0}) + y (x_{0})$ . Такая касательная в вершине параллельна $о х$ .

Следует задать параболу $x = a y^{2} + b y + c$ как объединение двух функций. Поэтому нужно разрешить уравнение относительно $у$ . Получаем, что

$x = a y^{2} + b y + c \Leftrightarrow a y^{2} + b y + c - x = 0 D = b^{2} - 4 a (c - x) y = \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a (c - x)}}{2 a} y = \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a (c - x)}}{2 a}$

Графически изобразим как:

Касательная к окружности, эллипсу, гиперболе, параболе

Для выяснения принадлежности точки $(x_{0}, y (x_{0}))$ функции, нежно действовать по стандартному алгоритму. Такая касательная будет параллельна $о у$ относительно параболы.