Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik
Касательная к графику функции в точке. Уравнение касательной. Геометрический смысл производной
Статья дает подробное разъяснение определений, геометрического смысла производной с графическими обозначениями. Будет рассмотрено уравнение касательной прямой с приведением примеров, найдено уравнения касательной к кривым 2 порядка.
Определения и понятия
Угол наклона прямой y=kx+b называется угол α, который отсчитывается от положительного направления оси ох к прямой y=kx+b в положительном направлении.
На рисунке направление ох обозначается при помощи зеленой стрелки и в виде зеленой дуги, а угол наклона при помощи красной дуги. Синяя линия относится к прямой.
Угловой коэффициент прямой y=kx+b называют числовым коэффициентом k.
Угловой коэффициент равняется тангенсу наклона прямой, иначе говоря k=tg α.
- Угол наклона прямой равняется 0 только при параллельности ох и угловом коэффициенте, равному нулю, потому как тангенс нуля равен 0. Значит, вид уравнения будет y=b.
- Если угол наклона прямой y=kx+b острый, тогда выполняются условия 0<α<π2 или 0°<α<90°. Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию tg α>0, причем имеется возрастание графика.
- Если α=π2, тогда расположение прямой перпендикулярно ох. Равенство задается при помощи равенства x=c со значением с, являющимся действительным числом.
- Если угол наклона прямой y=kx+b тупой, то соответствует условиям π2<α<π или 90°<α<180°, значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.
Секущей называют прямую, которая проходит через 2 точки функции f(x). Иначе говоря, секущая – это прямая, которая проводится через любые две точки графика заданной функции.
По рисунку видно, что АВ является секущей, а f(x) – черная кривая, α - красная дуга, означающая угол наклона секущей.
Когда угловой коэффициент прямой равняется тангенсу угла наклона, то видно, что тангенс из прямоугольного треугольника АВС можно найти по отношению противолежащего катета к прилежащему.
Получаем формулу для нахождения секущей вида:
k=tg α=BCAC=f(xB)-f(xA)xB-xA, где абсциссами точек А и В являются значения xA, xB, а f(xA), f(xB) - это значения функции в этих точках.
Очевидно, что угловой коэффициент секущей определен при помощи равенства k=f(xB)-f(xA)xB-xA или k=f(xA)-f(xB)xA-xB, причем уравнение необходимо записать как y=f(xB)-f(xA)xB-xA·(x-xA)+f(xA) или
y=f(xA)-f(xB)xA-xB·(x-xB)+f(xB).
Секущая делит график визуально на 3 части: слева от точки А, от А до В, справа от В. На располагаемом ниже рисунке видно, что имеются три секущие, которые считаются совпадающими, то есть задаются при помощи аналогичного уравнения.
По определению видно, что прямая и ее секущая в данном случае совпадают.
Секущая может множественно раз пересекать график заданной функции. Если имеется уравнение вида у=0 для секущей, тогда количество точек пересечения с синусоидой бесконечно.
Касательная к графику функции f(x) в точке (x0; f(x0)) называется прямая, проходящая через заданную точку (x0; f(x0)), с наличием отрезка, который имеет множество значений х, близких к x0.
Рассмотрим подробно на ниже приведенном примере. Тогда видно, что прямая, заданная функцией y=x+1, считается касательной к y=2√x в точке с координатами (1; 2). Для наглядности, необходимо рассмотреть графики с приближенными к (1; 2) значениями. Функция y=2√x обозначена черным цветом, синяя линия – касательная, красная точка – точка пересечения.
Очевидно, что y=2√x сливается с прямой у=х+1.
Для определения касательной следует рассмотреть поведение касательной АВ при бесконечном приближении точки В к точке А. Для наглядности приведем рисунок.
Секущая АВ, обозначенная при помощи синей линии, стремится к положению самой касательной, а угол наклона секущей α начнет стремиться к углу наклона самой касательной αx.
Касательной к графику функции y=f(x) в точке А считается предельное положение секущей АВ при В стремящейся к А, то есть B→A.
Теперь перейдем к рассмотрению геометрического смысла производной функции в точке.
Геометрический смысл производной функции в точке
Перейдем к рассмотрению секущей АВ для функции f(x), где А и В с координатами (x0, f(x0)) и (x0+∆x, f(x0+∆x)), а ∆x обозначаем как приращение аргумента. Теперь функция примет вид ∆y=∆f(x)=f(x0+∆x)-f(∆x). Для наглядности приведем в пример рисунок.
Рассмотрим полученный прямоугольный треугольник АВС. Используем определение тангенса для решения, то есть получим отношение ∆y∆x=tg α. Из определения касательной следует, что lim∆x→0∆y∆x=tg αx. По правилу производной в точке имеем, что производную f(x) в точке x0 называют пределом отношений приращения функции к приращению аргумента, где ∆x→0, тогда обозначим как f(x0)=lim∆x→0∆y∆x.
Отсюда следует, что f'(x0)=lim∆x→0∆y∆x=tg αx=kx, где kx обозначают в качестве углового коэффициента касательной.
То есть получаем, что f’(x) может существовать в точке x0 причем как и касательная к заданному графику функции в точке касания равной (x0, f0(x0)), где значение углового коэффициента касательной в точке равняется производной в точке x0. Тогда получаем, что kx=f'(x0).
Геометрический смысл производной функции в точке в том, что дается понятие существования касательной к графику в этой же точке.
Уравнение касательной прямой
Чтобы записать уравнение любой прямой на плоскости, необходимо иметь угловой коэффициент с точкой, через которую она проходит. Его обозначение принимается как x0 при пересечении.
Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке (x0, f0(x0)) принимает вид y=f'(x0)·(x-x0)+f(x0).
Имеется в виду, что конечным значением производной f'(x0) можно определить положение касательной, то есть вертикально при условии limx→x0+0f'(x)=∞ и limx→x0-0f'(x)=∞ или отсутствие вовсе при условии limx→x0+0f'(x)≠limx→x0-0f'(x).
Расположение касательной зависит от значения ее углового коэффициента kx=f'(x0). При параллельности к оси ох получаем, что kk=0, при параллельности к оу - kx=∞, причем вид уравнения касательной x=x0 возрастает при kx>0, убывает при kx<0.
Произвести составление уравнения касательной к графику функции y=ex+1+x33-6-√33x-17-√33 в точке с координатами (1; 3) с определением угла наклона.
Решение
По условию имеем, что функция определяется для всех действительных чисел. Получаем, что точка с координатами, заданными по условию, (1; 3) является точкой касания, тогда x0=-1, f(x0)=-3.
Необходимо найти производную в точке со значением -1. Получаем, что
y'=(ex+1+x33-6-√33x-17-√33)'==(ex+1)'+(x33)'-(6-√33x)'-(17-√33)'=ex+1+x2-6-√33y'(x0)=y'(-1)=e-1+1+(-1)2-6-√33=√33
Значение f’(x) в точке касания является угловым коэффициентом касательной, который равняется тангенсу наклона.
Тогда kx=tg αx=y'(x0)=√33
Отсюда следует, что αx=arctg√33=π6
Ответ: уравнение касательной приобретает вид
y=f'(x0)·(x-x0)+f(x0)y=√33(x+1)-3y=√33x-9-√33
Для наглядности приведем пример в графической иллюстрации.
Черный цвет используется для графика исходной функции, синий цвет – изображение касательной, красная точка – точка касания. Рисунок, располагаемый справа, показывает в увеличенном виде.
Выяснить наличие существования касательной к графику заданной функции
y=3·5√x-1+1 в точке с координатами (1;1). Составить уравнение и определить угол наклона.
Решение
По условию имеем, что областью определения заданной функции считается множество всех действительных чисел.
Перейдем к нахождению производной
y'=(3·5√x-1+1)'=3·15·(x-1)15-1=35·1(x-1)45
Если x0=1, тогда f’(x) не определена, но пределы записываются как limx→1+0(35·1(x-1)45)=35·1(+0)45=35·1+0=+∞ и limx→1-0(35·1(x-1)45)=35·1(-0)45=35·1+0=+∞, что означает существование вертикальной касательной в точке (1;1).
Ответ: уравнение примет вид х=1, где угол наклона будет равен π2.
Для наглядности изобразим графически.
Найти точки графика функции y=115openx+2|3-45x2-165x-265+3openx+2|, где
- Касательная не существует;
- Касательная располагается параллельно ох;
- Касательная параллельна прямой y=85x+4.
Решение
Необходимо обратить внимание на область определения. По условию имеем, что функция определена на множестве всех действительных чисел. Раскрываем модуль и решаем систему с промежутками x∈(-∞; 2) и [-2; +∞). Получаем, что
y=open-115(x3+18x2+105x+176), x∈(-∞; -2)115(x3-6x2+9x+12), x∈[-2; +∞)
Необходимо продифференцировать функцию. Имеем, что
y'=open-115(x3+18x2+105x+176)', x∈(-∞; -2)115(x3-6x2+9x+12)', x∈[-2; +∞)⇔y'=open-15(x2+12x+35), x∈(-∞; -2)15(x2-4x+3), x∈[-2; +∞)
Когда х=-2, тогда производная не существует, потому что односторонние пределы не равны в этой точке:
limx→-2-0y'(x)=limx→-2-0(-15(x2+12x+35)=-15((-2)2+12(-2)+35)=-3limx→-2+0y'(x)=limx→-2+0(15(x2-4x+3))=15((-2)2-4(-2)+3)=3
Вычисляем значение функции в точке х=-2, где получаем, что
- y(-2)=115open-2+2|3-45(-2)2-165(-2)-265+3open(-2)+2|=-2, то есть касательная в точке (-2;-2) не будет существовать.
- Касательная параллельна ох, когда угловой коэффициент равняется нулю. Тогда kx=tg αx=f'(x0). То есть необходимо найти значения таких х, когда производная функции обращает ее в ноль. То есть значения f’(x) и будут являться точками касания, где касательная является параллельной ох.
Когда x∈(-∞; -2), тогда -15(x2+12x+35)=0, а при x∈(-2; +∞) получаем 15(x2-4x+3)=0.
Решим:
-15(x2+12x+35)=0D=122-4·35=144-140=4x1=-12+√42=-5∈(-∞; -2)x2=-12-√42=-7∈(-∞; -2) 15(x2-4x+3)=0D=42-4·3=4x3=4-√42=1∈(-2; +∞)x4=4+√42=3∈(-2; +∞)
Вычисляем соответствующие значения функции
y1=y(-5)=115open-5+2|3-45(-5)2-165(-5)-265+3open-5+2|=85y2=y(-7)=115open-7+2|3-45(-7)2-165(-7)-265+3open-7+2|=43y3=y(1)=115open1+2|3-45·12-165·1-265+3open1+2|=85y4=y(3)=115open3+2|3-45·32-165·3-265+3open3+2|=43
Отсюда (-5; 85), (-4; 43), (1; 85), (3; 43) считаются искомыми точками графика функции.
Рассмотрим графическое изображение решения.
Черная линия – график функции, красные точки – точки касания.
- Когда прямые располагаются параллельно, то угловые коэффициенты равны. Тогда необходимо заняться поиском точек графика функции, где угловой коэффициент будет равняться значению 85 . Для этого нужно решить уравнение вида y'(x)=85. Тогда, если x∈(-∞; -2), получаем, что -15(x2+12x+35)=85, а если x∈(-2; +∞), тогда 15(x2-4x+3)=85.
Первое уравнение не имеет корней, так как дискриминант меньше нуля. Запишем, что
-15(x2+12x+35)=85x2+12x+43=0D=122-4·43=-28<0
Другое уравнение имеет два действительных корня, тогда
15(x2-4x+3)=85x2-4x-5=0D=42-4·(-5)=36x1=4-√362=-1∈(-2; +∞)x2=4+√362=5∈(-2; +∞)
Перейдем к нахождению значений функции. Получаем, что
y1=y(-1)=115open-1+2|3-45(-1)2-165(-1)-265+3open-1+2|=415y2=y(5)=115open5+2|3-45·52-165·5-265+3open5+2|=83
Точки со значениями (-1; 415), (5; 83) являются точками, в которых касательные параллельны прямой y=85x+4.
Ответ: черная линия – график функции, красная линия – график y=85x+4, синяя линия – касательные в точках (-1; 415), (5; 83).
Возможно существование бесконечного количества касательных для заданных функций.
Написать уравнения всех имеющихся касательных функции y=3cos(32x-π4)-13, которые располагаются перпендикулярно прямой y=-2x+12.
Решение
Для составления уравнения касательной необходимо найти коэффициент и координаты точки касания, исходя из условия перпендикулярности прямых. Определение звучит так: произведение угловых коэффициентов, которые перпендикулярны прямым, равняется -1, то есть записывается как kx·k⊥=-1. Из условия имеем, что угловой коэффициент располагается перпендикулярно прямой и равняется k⊥=-2, тогда kx=-1k⊥=-1-2=12.
Теперь необходимо найти координаты точек касания. Нужно найти х, после чего его значение для заданной функции. Отметим, что из геометрического смысла производной в точке
x0 получаем, что kx=y'(x0). Из данного равенства найдем значения х для точек касания.
Получаем, что
y'(x0)=(3cos(32x0-π4)-13)'=3·(-sin(32x0-π4))·(32x0-π4)'==-3·sin(32x0-π4)·32=-92·sin(32x0-π4)⇒kx=y'(x0)⇔-92·sin(32x0-π4)=12⇒sin(32x0-π4)=-19
Это тригонометрическое уравнение будет использовано для вычисления ординат точек касания.
32x0-π4=arcsin(-19)+2πk или 32x0-π4=π-arcsin(-19)+2πk
32x0-π4=-arcsin19+2πk или 32x0-π4=π+arcsin19+2πk
x0=23(π4-arcsin19+2πk) или x0=23(5π4+arcsin19+2πk), k∈Z
Z- множество целых чисел.
Найдены х точек касания. Теперь необходимо перейти к поиску значений у:
y0=3cos(32x0-π4)-13
y0=3·√1-sin2(32x0-π4)-13 или y0=3·(-√1-sin2(32x0-π4))-13
y0=3·√1-(-19)2-13 или y0=3·(-√1-(-19)2)-13
y0=4√5-13 или y0=-4√5+13
Отсюда получаем, что (23(π4-arcsin19+2πk); 4√5-13), (23(5π4+arcsin19+2πk); -4√5+13) являются точками касания.
Ответ: необходимы уравнения запишутся как
y=12(x-23(π4-arcsin19+2πk))+4√5-13,y=12(x-23(5π4+arcsin19+2πk))-4√5+13, k∈Z
Для наглядного изображения рассмотрим функцию и касательную на координатной прямой.
Рисунок показывает, что расположение функции идет на промежутке [-10;10], где черная прямя – график функции, синие линии – касательные, которые располагаются перпендикулярно заданной прямой вида y=-2x+12. Красные точки – это точки касания.
Касательная к окружности, эллипсу, гиперболе, параболе
Канонические уравнения кривых 2 порядка не являются однозначными функциями. Уравнения касательных для них составляются по известным схемам.
Касательная к окружности
Для задания окружности с центром в точке (xcenter; ycenter) и радиусом R применяется формула (x-xcenter)2+(y-ycenter)2=R2.
Данное равенство может быть записано как объединение двух функций:
y=√R2-(x-xcenter)2+ycentery=-√R2-(x-xcenter)2+ycenter
Первая функция располагается вверху, а вторая внизу, как показано на рисунке.
Для составления уравнения окружности в точке (x0; y0), которая располагается в верхней или нижней полуокружности, следует найти уравнение графика функции вида y=√R2-(x-xcenter)2+ycenter или y=-√R2-(x-xcenter)2+ycenter в указанной точке.
Когда в точках (xcenter; ycenter+R) и (xcenter; ycenter-R) касательные могут быть заданы уравнениями y=ycenter+R и y=ycenter-R, а в точках (xcenter+R; ycenter) и
(xcenter-R; ycenter) будут являться параллельными оу, тогда получим уравнения вида x=xcenter+R и x=xcenter-R.
Касательная к эллипсу
Когда эллипс имеет центр в точке (xcenter; ycenter) с полуосями a и b, тогда он может быть задан при помощи уравнения (x-xcenter)2a2+(y-ycenter)2b2=1.
Эллипс и окружность могут быть обозначаться при помощи объединения двух функций, а именно: верхнего и нижнего полуэллипса. Тогда получаем, что
y=ba·√a2-(x-xcenter)2+ycentery=-ba·√a2-(x-xcenter)2+ycenter
Если касательные располагаются на вершинах эллипса, тогда они параллельны ох или оу. Ниже для наглядности рассмотрим рисунок.
Написать уравнение касательной к эллипсу (x-3)24+(y-5)225=1 в точках со значениями x равного х=2.
Решение
Необходимо найти точки касания, которые соответствуют значению х=2. Производим подстановку в имеющееся уравнение эллипса и получаем, что
((x-3)24)x=2+(y-5)225=114+(y-5)225=1⇒(y-5)2=34·25⇒y=±5√32+5
Тогда (2; 5√32+5) и (2; -5√32+5) являются точками касания, которые принадлежат верхнему и нижнему полуэллипсу.
Перейдем к нахождению и разрешению уравнения эллипса относительно y. Получим, что
(x-3)24+(y-5)225=1(y-5)225=1-(x-3)24(y-5)2=25·(1-(x-3)24)y-5=±5·√1-(x-3)24y=5±52√4-(x-3)2
Очевидно, что верхний полуэллипс задается с помощью функции вида y=5+52√4-(x-3)2, а нижний y=5-52√4-(x-3)2.
Применим стандартный алгоритм для того, чтобы составить уравнение касательной к графику функции в точке. Запишем, что уравнение для первой касательной в точке (2; 5√32+5) будет иметь вид
y'=(5+52√4-(x-3)2)'=52·12√4-(x-3)2·(4-(x-3)2)'==-52·x-3√4-(x-3)2⇒y'(x0)=y'(2)=-52·2-3√4-(2-3)2=52√3⇒y=y'(x0)·(x-x0)+y0⇔y=52√3(x-2)+5√32+5
Получаем, что уравнение второй касательной со значением в точке
(2; -5√32+5) принимает вид
y'=(5-52√4-(x-3)2)'=-52·12√4-(x-3)2·(4-(x-3)2)'==52·x-3√4-(x-3)2⇒y'(x0)=y'(2)=52·2-3√4-(2-3)2=-52√3⇒y=y'(x0)·(x-x0)+y0⇔y=-52√3(x-2)-5√32+5
Графически касательные обозначаются так:
Касательная к гиперболе
Когда гипербола имеет центр в точке (xcenter; ycenter) и вершины (xcenter+α; ycenter) и (xcenter-α; ycenter), имеет место задание неравенства (x-xcenter)2α2-(y-ycenter)2b2=1, если с вершинами (xcenter; ycenter+b) и (xcenter; ycenter-b), тогда задается при помощи неравенства (x-xcenter)2α2-(y-ycenter)2b2=-1.
Гипербола может быть представлена в виде двух объединенных функций вида
y=ba·√(x-xcenter)2-a2+ycentery=-ba·√(x-xcenter)2-a2+ycenter или y=ba·√(x-xcenter)2+a2+ycentery=-ba·√(x-xcenter)2+a2+ycenter
В первом случае имеем, что касательные параллельны оу, а во втором параллельны ох.
Отсюда следует, что для того, чтобы найти уравнение касательной к гиперболе, необходимо выяснить, какой функции принадлежит точка касания. Чтобы определить это, необходимо произвести подстановку в уравнения и проверить их на тождественность.
Составить уравнение касательной к гиперболе (x-3)24-(y+3)29=1 в точке (7; -3√3-3).
Решение
Необходимо преобразовать запись решения нахождения гиперболы при помощи 2 функций. Получим, что
(x-3)24-(y+3)29=1⇒(y+3)29=(x-3)24-1⇒(y+3)2=9·((x-3)24-1)⇒y+3=32·√(x-3)2-4 или y+3=-32·√(x-3)2-4⇒y=32·√(x-3)2-4-3y=-32·√(x-3)2-4-3
Необходимо выявить, к какой функции принадлежит заданная точка с координатами (7; -3√3-3).
Очевидно, что для проверки первой функции необходимо y(7)=32·√(7-3)2-4-3=3√3-3≠-3√3-3, тогда точка графику не принадлежит, так как равенство не выполняется.
Для второй функции имеем, что y(7)=-32·√(7-3)2-4-3=-3√3-3≠-3√3-3, значит, точка принадлежит заданному графику. Отсюда следует найти угловой коэффициент.
Получаем, что
y'=(-32·√(x-3)2-4-3)'=-32·x-3√(x-3)2-4⇒kx=y'(x0)=(-32·x0-3√(x0-3)2-4)x0=7=-32·7-3√(7-3)2-4=-√3
Ответ: уравнение касательной можно представить как
y=-√3·(x-7)-3√3-3=-√3·x+4√3-3
Наглядно изображается так:
Касательная к параболе
Чтобы составить уравнение касательной к параболе y=ax2+bx+c в точке (x0, y(x0)), необходимо использовать стандартный алгоритм, тогда уравнение примет вид y=y'(x0)·(x-x0)+y(x0). Такая касательная в вершине параллельна ох.
Следует задать параболу x=ay2+by+c как объединение двух функций. Поэтому нужно разрешить уравнение относительно у. Получаем, что
x=ay2+by+c⇔ay2+by+c-x=0D=b2-4a(c-x)y=-b+√b2-4a(c-x)2ay=-b-√b2-4a(c-x)2a
Графически изобразим как:
Для выяснения принадлежности точки (x0, y(x0)) функции, нежно действовать по стандартному алгоритму. Такая касательная будет параллельна оу относительно параболы.
Написать уравнение касательной к графику x-2y2-5y+3, когда имеем угол наклона касательной 150°.
Решение
Начинаем решение с представления параболы в качестве двух функций. Получим, что
-2y2-5y+3-x=0D=(-5)2-4·(-2)·(3-x)=49-8xy=5+√49-8x-4y=5-√49-8x-4
Значение углового коэффициента равняется значению производной в точке x0 этой функции и равняется тангенсу угла наклона.
Получаем:
kx=y'(x0)=tg αx=tg 150°=-1√3
Отсюда определим значение х для точек касания.
Первая функция запишется как
y'=(5+√49-8x-4)'=1√49-8x⇒y'(x0)=1√49-8x0=-1√3⇔√49-8x0=-√3
Очевидно, что действительных корней нет, так как получили отрицательное значение. Делаем вывод, что касательной с углом 150° для такой функции не существует.
Вторая функция запишется как
y'=(5-√49-8x-4)'=-1√49-8x⇒y'(x0)=-1√49-8x0=-1√3⇔√49-8x0=-√3x0=234⇒y(x0)=5-√49-8·234-4=-5+√34
Имеем, что точки касания - (234; -5+√34).
Ответ: уравнение касательной принимает вид
y=-1√3·(x-234)+-5+√34
Графически изобразим это таким образом:
Сохранить статью удобным способом