Processing math: 100%
Автор статьи

Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik

Касательная к графику функции в точке. Уравнение касательной. Геометрический смысл производной

Содержание:
  1. Определения и понятия
  2. Геометрический смысл производной функции в точке
  3. Уравнение касательной прямой
  4. Касательная к окружности, эллипсу, гиперболе, параболе
    1. Касательная к окружности
    2. Касательная к эллипсу
    3. Касательная к гиперболе
    4. Касательная к параболе

Статья дает подробное разъяснение определений, геометрического смысла производной с графическими обозначениями. Будет рассмотрено уравнение касательной прямой с приведением примеров, найдено уравнения касательной к кривым 2 порядка.

Определения и понятия

Определение 1

Угол наклона прямой y=kx+b называется  угол α, который отсчитывается от положительного направления оси ох к прямой y=kx+b в положительном направлении.

Определения и понятия

На рисунке направление ох обозначается при помощи зеленой стрелки и в виде зеленой дуги, а угол наклона при помощи красной дуги. Синяя линия относится к прямой.

Определение 2

Угловой коэффициент прямой y=kx+b называют числовым коэффициентом k.

Угловой коэффициент равняется тангенсу наклона прямой, иначе говоря k=tg α.

  • Угол наклона прямой равняется 0 только при параллельности ох и  угловом коэффициенте, равному нулю, потому как тангенс нуля равен 0. Значит, вид уравнения будет y=b.
  • Если угол наклона прямой y=kx+b острый, тогда выполняются условия 0<α<π2 или 0°<α<90°. Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию tg α>0, причем имеется возрастание графика.
  • Если α=π2, тогда расположение прямой перпендикулярно ох. Равенство задается при помощи равенства x=c со значением с, являющимся действительным числом.
  • Если угол наклона прямой y=kx+b тупой, то соответствует условиям π2<α<π или 90°<α<180°, значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.
Определение 3

Секущей называют прямую, которая проходит через 2 точки функции f(x). Иначе говоря, секущая – это прямая, которая проводится через любые две точки графика заданной функции.

Определения и понятия

По рисунку видно, что АВ является секущей, а f(x) – черная кривая, α - красная дуга, означающая угол наклона секущей.

Когда угловой коэффициент прямой равняется тангенсу угла наклона, то видно, что тангенс из прямоугольного треугольника АВС можно найти по отношению противолежащего катета к прилежащему.

Определение 4

Получаем формулу для нахождения секущей вида:

k=tg α=BCAC=f(xB)-f(xA)xB-xA, где абсциссами точек А и В являются значения xA, xB, а f(xA), f(xB) - это значения функции в этих точках.

Очевидно, что угловой коэффициент секущей определен при помощи равенства k=f(xB)-f(xA)xB-xA или k=f(xA)-f(xB)xA-xB, причем уравнение необходимо записать как y=f(xB)-f(xA)xB-xA·(x-xA)+f(xA) или
y=f(xA)-f(xB)xA-xB·(x-xB)+f(xB).

Секущая делит график визуально на 3 части: слева от точки А, от А до В, справа от В. На располагаемом ниже рисунке видно, что имеются три секущие, которые считаются совпадающими, то есть задаются при помощи аналогичного уравнения.

Определения и понятия

По определению видно, что прямая и ее секущая в данном случае совпадают.

Секущая может множественно раз пересекать график заданной функции. Если имеется уравнение вида у=0 для секущей, тогда количество точек пересечения с синусоидой бесконечно.

Определение 5

Касательная к графику функции f(x) в точке (x0; f(x0)) называется прямая, проходящая через заданную точку (x0; f(x0)),  с наличием отрезка, который имеет множество значений х, близких к x0.

Пример 1

Рассмотрим подробно на ниже приведенном примере. Тогда видно, что прямая, заданная функцией y=x+1, считается касательной к y=2x в точке  с координатами (1; 2). Для наглядности, необходимо рассмотреть графики с приближенными к (1; 2) значениями. Функция y=2x обозначена черным цветом, синяя линия – касательная, красная точка – точка пересечения.

Определения и понятия

Очевидно, что y=2x сливается с прямой у=х+1.

Для определения касательной следует рассмотреть поведение касательной АВ при бесконечном приближении точки В к точке А. Для наглядности приведем рисунок.

Определения и понятия

Секущая АВ, обозначенная при помощи синей линии, стремится к положению самой касательной, а угол наклона секущей α начнет стремиться к углу наклона самой касательной αx.

Определение 6

Касательной к графику функции y=f(x) в точке А считается предельное положение секущей АВ при В стремящейся к А, то есть BA.

Теперь перейдем к рассмотрению геометрического смысла производной функции в точке.

Геометрический смысл производной функции в точке

Перейдем к рассмотрению секущей АВ для функции f(x), где А и В с координатами (x0, f(x0)) и (x0+x, f(x0+x)), а x обозначаем как приращение аргумента. Теперь функция примет вид y=f(x)=f(x0+x)-f(x). Для наглядности приведем в пример рисунок.

Геометрический смысл производной функции в точке

Рассмотрим полученный прямоугольный треугольник АВС. Используем определение тангенса для решения, то есть получим отношение yx=tg α. Из определения касательной следует, что limx0yx=tg αx. По правилу производной в точке имеем, что производную f(x) в точке x0 называют пределом отношений приращения функции к приращению аргумента, где x0, тогда обозначим как f(x0)=limx0yx.

Отсюда следует, что f'(x0)=limx0yx=tg αx=kx, где kx обозначают в качестве углового коэффициента касательной.

То есть получаем, что f(x) может существовать  в точке x0 причем как и касательная к заданному графику функции в точке касания равной (x0, f0(x0)), где значение углового коэффициента касательной  в точке равняется производной  в точке x0. Тогда получаем, что kx=f'(x0).

Геометрический смысл производной функции в точке в том, что дается понятие существования касательной к графику в этой же точке.

Уравнение касательной прямой

Чтобы записать уравнение любой прямой на плоскости, необходимо иметь угловой коэффициент с точкой, через которую она проходит. Его обозначение принимается как x0 при пересечении.

Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке (x0, f0(x0)) принимает вид y=f'(x0)·(x-x0)+f(x0).

Имеется в виду, что конечным значением производной f'(x0) можно определить положение касательной, то есть вертикально при условии limxx0+0f'(x)= и limxx0-0f'(x)= или отсутствие вовсе при условии limxx0+0f'(x)limxx0-0f'(x).

Расположение касательной зависит от значения ее углового коэффициента kx=f'(x0). При параллельности к оси ох получаем, что kk=0, при параллельности к оу - kx=, причем вид уравнения касательной x=x0 возрастает при kx>0, убывает при kx<0.

Пример 2

Произвести составление уравнения касательной к графику функции y=ex+1+x33-6-33x-17-33 в точке  с координатами (1; 3) с определением угла наклона.

Решение

По условию имеем, что функция определяется для всех действительных чисел. Получаем, что точка с координатами, заданными по условию, (1; 3) является точкой касания, тогда x0=-1, f(x0)=-3.

Необходимо найти производную в точке со значением -1. Получаем, что

y'=(ex+1+x33-6-33x-17-33)'==(ex+1)'+(x33)'-(6-33x)'-(17-33)'=ex+1+x2-6-33y'(x0)=y'(-1)=e-1+1+(-1)2-6-33=33

Значение f(x) в точке касания является  угловым коэффициентом касательной, который равняется тангенсу наклона.

Тогда kx=tg αx=y'(x0)=33

Отсюда следует, что αx=arctg33=π6

Ответ: уравнение касательной приобретает вид

y=f'(x0)·(x-x0)+f(x0)y=33(x+1)-3y=33x-9-33

Для наглядности приведем пример в графической иллюстрации.

Черный цвет используется для графика исходной функции, синий цвет – изображение касательной, красная точка – точка касания. Рисунок, располагаемый справа, показывает  в увеличенном виде.

Уравнение касательной прямой

Пример 3

Выяснить наличие существования касательной к графику заданной функции
y=3·5x-1+1 в точке с координатами (1;1). Составить уравнение и определить угол наклона.

Решение

По условию имеем, что областью определения заданной функции считается множество всех действительных чисел.

Перейдем к нахождению производной

y'=(3·5x-1+1)'=3·15·(x-1)15-1=35·1(x-1)45

Если x0=1, тогда f(x) не определена, но пределы записываются как  limx1+0(35·1(x-1)45)=35·1(+0)45=35·1+0=+ и limx1-0(35·1(x-1)45)=35·1(-0)45=35·1+0=+, что означает существование вертикальной касательной в точке (1;1).

Ответ: уравнение примет вид х=1, где угол наклона будет равен π2.

Для наглядности изобразим графически.

Уравнение касательной прямой

Пример 4

Найти точки графика функции y=115openx+2|3-45x2-165x-265+3openx+2|, где

  1. Касательная не существует;
  2. Касательная располагается параллельно ох;
  3. Касательная параллельна прямой y=85x+4.

Решение

Необходимо обратить внимание на область определения. По условию имеем, что функция определена на множестве всех действительных чисел. Раскрываем модуль и решаем систему с промежутками x(-; 2) и [-2; +). Получаем, что

y=open-115(x3+18x2+105x+176), x(-; -2)115(x3-6x2+9x+12), x[-2; +)

Необходимо продифференцировать функцию. Имеем, что

y'=open-115(x3+18x2+105x+176)', x(-; -2)115(x3-6x2+9x+12)', x[-2; +)y'=open-15(x2+12x+35), x(-; -2)15(x2-4x+3), x[-2; +)

Когда х=-2, тогда производная не существует, потому что односторонние пределы не равны в этой точке:

limx-2-0y'(x)=limx-2-0(-15(x2+12x+35)=-15((-2)2+12(-2)+35)=-3limx-2+0y'(x)=limx-2+0(15(x2-4x+3))=15((-2)2-4(-2)+3)=3

Вычисляем значение функции в точке х=-2, где получаем, что

  1. y(-2)=115open-2+2|3-45(-2)2-165(-2)-265+3open(-2)+2|=-2, то есть касательная в точке (-2;-2) не будет существовать.
  2. Касательная параллельна ох, когда угловой коэффициент равняется нулю. Тогда kx=tg αx=f'(x0). То есть необходимо найти значения таких х, когда производная функции  обращает ее в ноль. То есть значения f(x) и будут являться точками касания, где касательная является параллельной ох.

Когда x(-; -2), тогда -15(x2+12x+35)=0, а при x(-2; +) получаем 15(x2-4x+3)=0.

Решим:

-15(x2+12x+35)=0D=122-4·35=144-140=4x1=-12+42=-5(-; -2)x2=-12-42=-7(-; -2)   15(x2-4x+3)=0D=42-4·3=4x3=4-42=1(-2; +)x4=4+42=3(-2; +)

Вычисляем соответствующие значения функции

y1=y(-5)=115open-5+2|3-45(-5)2-165(-5)-265+3open-5+2|=85y2=y(-7)=115open-7+2|3-45(-7)2-165(-7)-265+3open-7+2|=43y3=y(1)=115open1+2|3-45·12-165·1-265+3open1+2|=85y4=y(3)=115open3+2|3-45·32-165·3-265+3open3+2|=43

Отсюда (-5; 85), (-4; 43), (1; 85), (3; 43) считаются искомыми точками графика функции.

Рассмотрим графическое изображение решения.

Уравнение касательной прямой

Черная линия – график функции, красные точки – точки касания.

  1. Когда прямые располагаются параллельно, то угловые коэффициенты равны. Тогда необходимо заняться поиском точек графика функции, где угловой коэффициент будет равняться значению 85 . Для этого нужно решить уравнение вида y'(x)=85. Тогда, если x(-; -2), получаем, что -15(x2+12x+35)=85, а если x(-2; +), тогда 15(x2-4x+3)=85.

Первое уравнение не имеет корней, так как дискриминант меньше нуля. Запишем, что

-15(x2+12x+35)=85x2+12x+43=0D=122-4·43=-28<0

Другое уравнение имеет два действительных корня, тогда

15(x2-4x+3)=85x2-4x-5=0D=42-4·(-5)=36x1=4-362=-1(-2; +)x2=4+362=5(-2; +)

Перейдем к нахождению значений функции. Получаем, что

y1=y(-1)=115open-1+2|3-45(-1)2-165(-1)-265+3open-1+2|=415y2=y(5)=115open5+2|3-45·52-165·5-265+3open5+2|=83

Точки со значениями (-1; 415), (5; 83) являются точками, в которых касательные параллельны прямой y=85x+4.

Ответ: черная линия – график функции, красная линия – график y=85x+4, синяя линия – касательные  в точках (-1; 415), (5; 83).

Уравнение касательной прямой

Возможно существование бесконечного количества касательных для заданных функций.

Пример 5

Написать уравнения всех имеющихся касательных функции y=3cos(32x-π4)-13, которые располагаются перпендикулярно прямой y=-2x+12.

Решение

Для составления уравнения касательной необходимо найти коэффициент и координаты точки касания, исходя из условия перпендикулярности прямых. Определение звучит так: произведение угловых коэффициентов, которые перпендикулярны прямым, равняется -1, то есть записывается как kx·k=-1. Из условия имеем, что угловой коэффициент располагается перпендикулярно прямой  и равняется k=-2, тогда kx=-1k=-1-2=12.

Теперь необходимо найти координаты точек касания. Нужно найти х, после чего его значение для заданной функции. Отметим, что из геометрического смысла производной  в точке
x0 получаем, что kx=y'(x0).  Из данного равенства найдем значения х для точек касания.

Получаем, что

y'(x0)=(3cos(32x0-π4)-13)'=3·(-sin(32x0-π4))·(32x0-π4)'==-3·sin(32x0-π4)·32=-92·sin(32x0-π4)kx=y'(x0)-92·sin(32x0-π4)=12sin(32x0-π4)=-19

Это тригонометрическое уравнение будет использовано для вычисления ординат точек касания.

32x0-π4=arcsin(-19)+2πk или 32x0-π4=π-arcsin(-19)+2πk

32x0-π4=-arcsin19+2πk или 32x0-π4=π+arcsin19+2πk

x0=23(π4-arcsin19+2πk) или x0=23(5π4+arcsin19+2πk), kZ

Z- множество целых чисел.

Найдены х точек касания. Теперь необходимо перейти к поиску значений у:

y0=3cos(32x0-π4)-13

y0=3·1-sin2(32x0-π4)-13 или y0=3·(-1-sin2(32x0-π4))-13

y0=3·1-(-19)2-13 или y0=3·(-1-(-19)2)-13

y0=45-13 или y0=-45+13

Отсюда получаем, что (23(π4-arcsin19+2πk); 45-13), (23(5π4+arcsin19+2πk); -45+13) являются точками касания.

Ответ: необходимы уравнения запишутся как

y=12(x-23(π4-arcsin19+2πk))+45-13,y=12(x-23(5π4+arcsin19+2πk))-45+13, kZ

Для наглядного изображения рассмотрим функцию и касательную на координатной прямой.

Рисунок показывает, что расположение функции идет на промежутке [-10;10], где черная прямя – график функции, синие линии – касательные, которые располагаются перпендикулярно заданной прямой вида y=-2x+12. Красные точки – это точки касания.

Уравнение касательной прямой

Касательная к окружности, эллипсу, гиперболе, параболе

Канонические уравнения кривых 2 порядка не являются однозначными функциями. Уравнения касательных для них составляются по известным схемам.

Касательная к окружности

Для задания окружности  с центром  в точке (xcenter; ycenter) и радиусом R применяется формула (x-xcenter)2+(y-ycenter)2=R2.

Данное равенство может быть записано как объединение двух функций:

y=R2-(x-xcenter)2+ycentery=-R2-(x-xcenter)2+ycenter

Первая функция располагается вверху, а вторая внизу, как показано на рисунке.

Касательная к окружности, эллипсу, гиперболе, параболе

Для составления уравнения окружности  в точке (x0; y0), которая располагается  в верхней или нижней полуокружности, следует найти уравнение графика функции вида y=R2-(x-xcenter)2+ycenter или y=-R2-(x-xcenter)2+ycenter в указанной точке.

Когда в точках (xcenter; ycenter+R) и (xcenter; ycenter-R) касательные могут быть заданы уравнениями y=ycenter+R и y=ycenter-R, а  в точках (xcenter+R; ycenter) и
(xcenter-R; ycenter) будут являться параллельными оу, тогда получим уравнения вида x=xcenter+R и x=xcenter-R.

Касательная к окружности, эллипсу, гиперболе, параболе

Касательная к эллипсу

Когда эллипс имеет центр  в точке (xcenter; ycenter) с полуосями a и b, тогда он может быть задан при помощи уравнения (x-xcenter)2a2+(y-ycenter)2b2=1.

Эллипс и окружность могут быть обозначаться при помощи объединения двух функций, а именно: верхнего и нижнего полуэллипса. Тогда получаем, что

y=ba·a2-(x-xcenter)2+ycentery=-ba·a2-(x-xcenter)2+ycenter

Касательная к окружности, эллипсу, гиперболе, параболе

Если  касательные располагаются на вершинах эллипса, тогда они параллельны ох или оу. Ниже для наглядности рассмотрим рисунок.

Касательная к окружности, эллипсу, гиперболе, параболе

Пример 6

Написать уравнение касательной к эллипсу (x-3)24+(y-5)225=1 в точках со значениями x равного х=2.

Решение

Необходимо найти точки касания, которые соответствуют значению х=2. Производим подстановку в имеющееся уравнение эллипса и получаем, что

((x-3)24)x=2+(y-5)225=114+(y-5)225=1(y-5)2=34·25y=±532+5

Тогда (2; 532+5) и (2; -532+5) являются точками касания, которые принадлежат верхнему и нижнему полуэллипсу.

Перейдем к нахождению и разрешению уравнения эллипса относительно y. Получим, что

(x-3)24+(y-5)225=1(y-5)225=1-(x-3)24(y-5)2=25·(1-(x-3)24)y-5=±5·1-(x-3)24y=5±524-(x-3)2

Очевидно, что верхний полуэллипс задается с помощью функции вида y=5+524-(x-3)2, а нижний y=5-524-(x-3)2.

Применим стандартный алгоритм для того, чтобы составить уравнение касательной к графику функции в точке. Запишем, что уравнение для первой касательной в точке (2; 532+5) будет иметь вид

y'=(5+524-(x-3)2)'=52·124-(x-3)2·(4-(x-3)2)'==-52·x-34-(x-3)2y'(x0)=y'(2)=-52·2-34-(2-3)2=523y=y'(x0)·(x-x0)+y0y=523(x-2)+532+5

Получаем, что уравнение второй касательной со значением в точке
(2; -532+5) принимает вид

y'=(5-524-(x-3)2)'=-52·124-(x-3)2·(4-(x-3)2)'==52·x-34-(x-3)2y'(x0)=y'(2)=52·2-34-(2-3)2=-523y=y'(x0)·(x-x0)+y0y=-523(x-2)-532+5

Графически касательные обозначаются  так:

Касательная к окружности, эллипсу, гиперболе, параболе

Касательная к гиперболе

Когда гипербола имеет центр в точке (xcenter; ycenter) и вершины (xcenter+α; ycenter) и (xcenter-α; ycenter), имеет место задание неравенства (x-xcenter)2α2-(y-ycenter)2b2=1, если с вершинами (xcenter; ycenter+b) и (xcenter; ycenter-b), тогда задается при помощи неравенства (x-xcenter)2α2-(y-ycenter)2b2=-1.

Касательная к окружности, эллипсу, гиперболе, параболе

Гипербола может быть представлена в виде двух объединенных функций вида

y=ba·(x-xcenter)2-a2+ycentery=-ba·(x-xcenter)2-a2+ycenter или y=ba·(x-xcenter)2+a2+ycentery=-ba·(x-xcenter)2+a2+ycenter

Касательная к окружности, эллипсу, гиперболе, параболе

В первом случае имеем, что касательные параллельны оу, а во втором параллельны ох.

Отсюда следует, что для того, чтобы найти уравнение касательной к гиперболе, необходимо выяснить, какой функции принадлежит точка касания. Чтобы определить это, необходимо произвести подстановку в уравнения и проверить их на тождественность.

Пример 7

Составить уравнение касательной к гиперболе (x-3)24-(y+3)29=1 в точке (7; -33-3).

Решение

Необходимо преобразовать запись решения нахождения гиперболы при помощи 2 функций. Получим, что

(x-3)24-(y+3)29=1(y+3)29=(x-3)24-1(y+3)2=9·((x-3)24-1)y+3=32·(x-3)2-4 или y+3=-32·(x-3)2-4y=32·(x-3)2-4-3y=-32·(x-3)2-4-3

Необходимо выявить, к какой функции принадлежит заданная точка с координатами (7; -33-3).

Очевидно, что для проверки первой функции необходимо y(7)=32·(7-3)2-4-3=33-3-33-3, тогда точка графику не принадлежит, так как равенство не выполняется.

Для второй функции имеем, что y(7)=-32·(7-3)2-4-3=-33-3-33-3, значит, точка принадлежит заданному графику. Отсюда следует найти угловой коэффициент.

Получаем, что

y'=(-32·(x-3)2-4-3)'=-32·x-3(x-3)2-4kx=y'(x0)=(-32·x0-3(x0-3)2-4)x0=7=-32·7-3(7-3)2-4=-3

Ответ: уравнение касательной можно представить как

y=-3·(x-7)-33-3=-3·x+43-3

Наглядно изображается так:

Касательная к окружности, эллипсу, гиперболе, параболе

Касательная к параболе

Чтобы составить уравнение касательной к параболе y=ax2+bx+c в точке (x0, y(x0)), необходимо использовать стандартный алгоритм, тогда уравнение примет вид y=y'(x0)·(x-x0)+y(x0). Такая касательная в вершине параллельна ох.

Следует задать параболу x=ay2+by+c как объединение двух функций. Поэтому нужно разрешить уравнение относительно у. Получаем, что

x=ay2+by+cay2+by+c-x=0D=b2-4a(c-x)y=-b+b2-4a(c-x)2ay=-b-b2-4a(c-x)2a

Графически изобразим как:

Касательная к окружности, эллипсу, гиперболе, параболе

Для выяснения принадлежности точки (x0, y(x0)) функции, нежно действовать по стандартному алгоритму. Такая касательная будет параллельна оу относительно параболы.

Пример 8

Написать уравнение касательной к графику x-2y2-5y+3, когда имеем угол наклона касательной 150°.

Решение

Начинаем решение с представления параболы в качестве двух функций. Получим, что

-2y2-5y+3-x=0D=(-5)2-4·(-2)·(3-x)=49-8xy=5+49-8x-4y=5-49-8x-4

Значение углового коэффициента равняется значению производной в точке x0 этой функции и равняется тангенсу угла наклона.

Получаем:

kx=y'(x0)=tg αx=tg 150°=-13

Отсюда определим значение х для точек касания.

Первая функция запишется как

y'=(5+49-8x-4)'=149-8xy'(x0)=149-8x0=-1349-8x0=-3

Очевидно, что действительных корней нет, так как получили отрицательное значение. Делаем вывод, что касательной с углом 150° для такой функции не существует.

Вторая функция запишется как

y'=(5-49-8x-4)'=-149-8xy'(x0)=-149-8x0=-1349-8x0=-3x0=234y(x0)=5-49-8·234-4=-5+34

Имеем, что точки касания - (234; -5+34).

Ответ: уравнение касательной принимает вид

y=-13·(x-234)+-5+34

Графически изобразим это таким образом:

Касательная к окружности, эллипсу, гиперболе, параболе

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Сохранить статью удобным способом

Навигация по статьям

Наши социальные сети
Не получается написать работу самому?
Доверь это кандидату наук!
Связаться через
Я принимаю условия пользовательского соглашения и  политики приватности, а также даю свое согласие на обработку моих персональных данных
Выполненные работы по математике
  • Математика

    Линейная алгебра и геометрия Теория вероятностей

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      17 мая 2012

    • Стоимость:

      600 руб.

    Заказать такую же работу
  • Математика

    теория вероятности

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      16 апреля 2012

    • Стоимость:

      500 руб.

    Заказать такую же работу
  • Математика

    теория вероятности

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      16 апреля 2012

    • Стоимость:

      500 руб.

    Заказать такую же работу
  • Математика

    исследование функции и построение графика

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      27 марта 2012

    • Стоимость:

      200 руб.

    Заказать такую же работу
  • Математика

    две контрольных работы

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      25 января 2012

    • Стоимость:

      1 100 руб.

    Заказать такую же работу
  • Математика

    контрольная работа

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      24 января 2012

    • Стоимость:

      700 руб.

    Заказать такую же работу