Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта
Статья дает подробное разъяснение определений, геометрического смысла производной с графическими обозначениями. Будет рассмотрено уравнение касательной прямой с приведением примеров, найдено уравнения касательной к кривым порядка.
Определения и понятия
На рисунке направление обозначается при помощи зеленой стрелки и в виде зеленой дуги, а угол наклона при помощи красной дуги. Синяя линия относится к прямой.
Угловой коэффициент равняется тангенсу наклона прямой, иначе говоря .
Угол наклона прямой равняется только при параллельности и угловом коэффициенте, равному нулю, потому как тангенс нуля равен . Значит, вид уравнения будет .
Если угол наклона прямой острый, тогда выполняются условия или . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию , причем имеется возрастание графика.
Если , тогда расположение прямой перпендикулярно . Равенство задается при помощи равенства со значением , являющимся действительным числом.
Если угол наклона прямой тупой, то соответствует условиям или , значение углового коэффициента принимает отрицательное значение, а график убывает.
По рисунку видно, что является секущей, а – черная кривая, - красная дуга, означающая угол наклона секущей.
Когда угловой коэффициент прямой равняется тангенсу угла наклона, то видно, что тангенс из прямоугольного треугольника можно найти по отношению противолежащего катета к прилежащему.
Очевидно, что угловой коэффициент секущей определен при помощи равенства или , причем уравнение необходимо записать как или
.
Секущая делит график визуально на части: слева от точки , от до , справа от . На располагаемом ниже рисунке видно, что имеются три секущие, которые считаются совпадающими, то есть задаются при помощи аналогичного уравнения.
По определению видно, что прямая и ее секущая в данном случае совпадают.
Секущая может множественно раз пересекать график заданной функции. Если имеется уравнение вида для секущей, тогда количество точек пересечения с синусоидой бесконечно.
Для определения касательной следует рассмотреть поведение касательной при бесконечном приближении точки к точке . Для наглядности приведем рисунок.
Секущая , обозначенная при помощи синей линии, стремится к положению самой касательной, а угол наклона секущей начнет стремиться к углу наклона самой касательной .
Теперь перейдем к рассмотрению геометрического смысла производной функции в точке.
Геометрический смысл производной функции в точке
Перейдем к рассмотрению секущей для функции , где и с координатами и , а обозначаем как приращение аргумента. Теперь функция примет вид . Для наглядности приведем в пример рисунок.
Рассмотрим полученный прямоугольный треугольник . Используем определение тангенса для решения, то есть получим отношение . Из определения касательной следует, что . По правилу производной в точке имеем, что производную в точке называют пределом отношений приращения функции к приращению аргумента, где , тогда обозначим как .
Отсюда следует, что , где обозначают в качестве углового коэффициента касательной.
То есть получаем, что может существовать в точке причем как и касательная к заданному графику функции в точке касания равной , где значение углового коэффициента касательной в точке равняется производной в точке . Тогда получаем, что .
Геометрический смысл производной функции в точке в том, что дается понятие существования касательной к графику в этой же точке.
Уравнение касательной прямой
Чтобы записать уравнение любой прямой на плоскости, необходимо иметь угловой коэффициент с точкой, через которую она проходит. Его обозначение принимается как при пересечении.
Уравнение касательной к графику функции в точке принимает вид .
Имеется в виду, что конечным значением производной можно определить положение касательной, то есть вертикально при условии и или отсутствие вовсе при условии .
Расположение касательной зависит от значения ее углового коэффициента . При параллельности к оси получаем, что , при параллельности к - , причем вид уравнения касательной возрастает при , убывает при .
Возможно существование бесконечного количества касательных для заданных функций.
Касательная к окружности, эллипсу, гиперболе, параболе
Канонические уравнения кривых порядка не являются однозначными функциями. Уравнения касательных для них составляются по известным схемам.
Касательная к окружности
Для задания окружности с центром в точке и радиусом применяется формула .
Данное равенство может быть записано как объединение двух функций:
Первая функция располагается вверху, а вторая внизу, как показано на рисунке.
Для составления уравнения окружности в точке , которая располагается в верхней или нижней полуокружности, следует найти уравнение графика функции вида или в указанной точке.
Когда в точках и касательные могут быть заданы уравнениями и , а в точках и
будут являться параллельными , тогда получим уравнения вида и .
Касательная к эллипсу
Когда эллипс имеет центр в точке с полуосями и , тогда он может быть задан при помощи уравнения .
Эллипс и окружность могут быть обозначаться при помощи объединения двух функций, а именно: верхнего и нижнего полуэллипса. Тогда получаем, что
Если касательные располагаются на вершинах эллипса, тогда они параллельны или . Ниже для наглядности рассмотрим рисунок.
Касательная к гиперболе
Когда гипербола имеет центр в точке и вершины и , имеет место задание неравенства , если с вершинами и , тогда задается при помощи неравенства .
Гипербола может быть представлена в виде двух объединенных функций вида
или
В первом случае имеем, что касательные параллельны , а во втором параллельны .
Отсюда следует, что для того, чтобы найти уравнение касательной к гиперболе, необходимо выяснить, какой функции принадлежит точка касания. Чтобы определить это, необходимо произвести подстановку в уравнения и проверить их на тождественность.
Касательная к параболе
Чтобы составить уравнение касательной к параболе в точке , необходимо использовать стандартный алгоритм, тогда уравнение примет вид . Такая касательная в вершине параллельна .
Следует задать параболу как объединение двух функций. Поэтому нужно разрешить уравнение относительно . Получаем, что
Графически изобразим как:
Для выяснения принадлежности точки функции, нежно действовать по стандартному алгоритму. Такая касательная будет параллельна относительно параболы.