Правила дифференцирования: доказательство и примеры

21 июля 2023
12 минут
6 121

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Чтобы успешно решать задачи на дифференцирование, нужно уметь находить разные виды производных. Данная статья посвящена основным правилам дифференцирования, которые постоянно используются на практике. С помощью самого определения производной функции мы сформулируем доказательства всех этих правил и подробно рассмотрим несколько примеров, чтобы понять, как они применяются при решении задач.

Условимся заранее, что все функции $f (x)$ и $g (x)$ , упомянутые здесь, будем считать дифференцируемыми на промежутке $x$ , иными словами, для любого $x_{0} = x \in X$ будет справедливо равенство $f' (x) = \lim_{∆ x \to 0} \frac{∆ f (x)}{∆ x}, g' (x) = \lim_{∆ x \to 0} \frac{∆ g (x)}{∆ x}$ . Здесь $∆ f (x) = f (x + ∆ x) - f (x), ∆ g (x) = g (x + ∆ x) - g (x)$ считаются приращениями указанных функций. Также это можно записать как $f (x + ∆ x) = f (x) + ∆ f (x), g (x + ∆ x) = g (x) + ∆ g (x)$ .

Определение 1

Сформулируем основные проблемы дифференцирования:

Как вынести постоянный множитель за знак производной.
Как вычислить производную суммы и производную разности.
Как вычислить производную произведения функций.
Как вычислить производную частного двух функций (дробного выражения с функциями).

Разберем все эти случаи по порядку.

$(C \cdot f (x))' = C \cdot f' (x), C \in R (f (x) \pm g (x))' = f' (x) \pm g' (x) (f (x) \cdot g (x))' = f' (x) \cdot g (x) + f (x) \cdot g' (x) {(\frac{f (x)}{g (x)})}^{'} = \frac{f' (x) \cdot g (x) - f (x) \cdot g' (x)}{g^{2} (x)}$

Как вынести постоянный множитель за знак производной

Определение 2

Для начала нам нужно доказать следующую формулу:

$(C \cdot f (x))' = C \cdot f' (x), C \in R$

Доказательство 1

Используя определение производной, запишем следующее:

$(C \cdot f (x))' = \lim_{∆ x \to 0} \frac{∆ (C \cdot f (x))}{∆ x} = \lim_{∆ x \to 0} \frac{C \cdot f (x + ∆ x) - C \cdot f (x)}{∆ x} = = \lim_{∆ x \to 0} \frac{C \cdot (f (x + ∆ x) - f (x))}{∆ x} = \lim_{∆ x \to 0} \frac{C \cdot ∆ f (x)}{∆ x}$

Если в таком выражении у нас есть произвольный множитель, он может быть вынесен за знак предельного перехода (мы доказывали это утверждение, когда изучали свойства предела). Значит, $(C \cdot f (x))' = \lim_{∆ x \to 0} \frac{C \cdot ∆ f (x)}{∆ x} = C \cdot \lim_{∆ x \to 0} \frac{∆ f (x)}{∆ x} = C \cdot f' (x)$ .

Этим мы доказали первое правило дифференцирования. Разберем задачу на его применение.

Пример 1

Дана функция $y = 2 \cdot \cos x$ . Необходимо вычислить ее производную.

Решение

Обратимся к таблице производных для тригонометрических функций и выясним, что $(\cos x)' = - \sin x$ .

Вынесем множитель за знак производной и получим:

$y' = (2 \cdot \cos x)' = 2 \cdot (\cos x)' = - 2 \cdot \sin x$

Ответ: $y' = (2 \cdot \cos x)' = 2 \cdot (\cos x)' = - 2 \cdot \sin x$ .

Это самый простой пример. На практике чаще всего приходится предварительно преобразовывать дифференцируемую функцию, чтобы увидеть нужное значение в таблице производных и применить соответствующее правило.

Пример 2

Продифференцировать функцию $f (x) = \log_{3} x^{\sqrt{2} - 1}$ .

Решение

Зная свойства логарифмической функции, мы можем сразу записать, что $f (x) = \log_{3} x^{\sqrt{2} - 1} = (\sqrt{2} - 1) \cdot \log_{3} x$ . Теперь вспоминаем, как вычислить для нее производную, и выносим постоянный множитель:

$f (x) = {(\log_{3} x^{\sqrt{2} - 1})}^{'} = {((\sqrt{2} - 1) \cdot \log_{3} x)}^{'} = = (\sqrt{2} - 1) \cdot (\log_{3} x)' = \frac{\sqrt{2} - 1}{x \cdot \ln 3}$

Ответ: $f (x) = \frac{\sqrt{2} - 1}{x \cdot \ln 3}$

Пример 3

Дана функция $y = \frac{1}{2^{- x + 3}}$ . Вычислите ее производную.

Решение

Сначала нам нужно выполнить преобразование исходной функции.

$y = \frac{1}{2^{- x + 3}} = \frac{1}{2^{- x} \cdot 2^{3}} = \frac{2^{x}}{2^{3}}$

Далее применяем изученное выше правило и берем из таблицы производных соответствующее значение:

$y' = {(\frac{2^{x}}{2^{3}})}^{'} = \frac{1}{2^{3}} \cdot (2 x)' = \frac{1}{2^{3}} \cdot 2^{x} \cdot \ln 2 = 2^{x - 3} \cdot \ln 2$

Ответ: $y' = 2^{x - 3} \cdot \ln 2$

Как вычислить производную суммы и производную разности

Чтобы доказать второе правило дифференцирования ${(f (x) \pm g (x))}^{'} = f' (x) \pm g' (x)$ , нам нужно вспомнить определение производной, а также одно из свойств, которым обладает предел непрерывной функции.

Определение 3

${(f (x) \pm g (x))}^{'} = \lim_{∆ x \to 0} \frac{∆ (f (x) \pm g (x))}{∆ x} = = \lim_{∆ x \to 0} \frac{f (x + ∆ x) \pm g (x + ∆ x) - (f (x) \pm g (x))}{∆ x} = = \lim_{∆ x \to 0} \frac{f (x + ∆ x) - f (x) \pm (g (x + ∆ x) - g (x))}{∆ x} = = \lim_{∆ x \to 0} \frac{f (x + ∆ x) - f (x)}{∆ x} \pm \lim_{∆ x \to 0} \frac{g (x + ∆ x) - g (x)}{∆ x} = = \lim_{∆ x \to 0} \frac{∆ f (x)}{∆ x} \pm \lim_{∆ x \to 0} \frac{∆ g (x)}{∆ x} = f' (x) \pm g' (x)$

Доказательство 2

Так мы можем доказать равенство производной суммы или разности n-ного количества функций сумме или разности их производных:

$(f_{1} (x) \pm f_{2} (x) \pm . . . \pm f_{n} (x))' = f_{1}' (x) \pm f_{2}' \pm . . . \pm f_{n}' (x)$

Пример 4

Вычислить производную $y = x^{3} + 3^{x + 1} - \ln x^{\ln (5 + \sqrt{3})}$ .

Решение

Первым делом упрощаем данную функцию.

$y = x^{3} + 3^{x + 1} - \ln x^{\ln (5 + \sqrt{3})} = x^{3} + 3 \cdot 3^{x} - \ln (5 + \sqrt{3}) \cdot \ln x$

После этого применяем второе правило – производной суммы/разности:

$y' = (x^{3})' + (3 \cdot 3^{x})' - (\ln (5 + \sqrt{3}) \cdot \ln x)'$

Первое правило говорит нам о том, что можно вынести постоянный множитель за знак производной, значит:

$y' = (x^{3})' + (3 \cdot 3^{x})' - (\ln (5 + \sqrt{3}) \cdot \ln x)' = = (x^{3})' + 3 \cdot (3^{x})' - \ln (5 + \sqrt{3}) \cdot (\ln x)'$

Нам остается только заглянуть в таблицу производных и взять оттуда соответствующее значение:

$y' = (x^{3})' + 3 \cdot (3^{x})' - \ln (5 + \sqrt{3}) \cdot (\ln x)' = = 3 \cdot x^{3 - 1} + 3 \cdot 3^{x} \cdot \ln 3 - \frac{\ln (5 + \sqrt{3})}{x} = 3 \cdot x^{2} + 3^{x + 1} \cdot \ln 3 - \frac{\ln (5 + \sqrt{3})}{x}$

Ответ: $y' = 3 \cdot x^{2} + 3^{x + 1} \cdot \ln 3 - \frac{\ln (5 + \sqrt{3})}{x}$

Как вычислить производную произведения функций

Определение 4

Правило дифференцирования произведения двух функций выглядит следующим образом: $(f (x) \cdot g (x))' = f' (x) \cdot g (x)' + f (x) \cdot g' (x)$

Попробуем доказать его.

Доказательство 3

Для начала вычислим предел отношения приращения произведения функций к приращению аргумента. Здесь нужно вспомнить, что $f (x + ∆ x) = f (x) + ∆ f (x), g (x + ∆ x) = g (x) + ∆ g (x)$ , а $\lim_{∆ x \to 0} ∆ g (x) = 0, \lim_{∆ x \to 0} ∆ f (x) = 0$ , то есть если приращение аргумента стремится к $0$ , то и приращение функции также будет к нему стремиться.

$(f (x) \cdot g (x))' = \lim_{∆ x \to 0} \frac{∆ (f (x) \cdot g (x))}{∆ x} = \lim_{∆ x \to 0} \frac{f (x + ∆ x) \cdot g (x + ∆ x) - f (x) \cdot g (x)}{∆ x} = = \lim_{∆ x \to 0} \frac{(f (x) + ∆ f (x)) + (g (x) \cdot ∆ g (x)) - f (x) \cdot g (x)}{∆ x} = = \lim_{∆ x \to 0} \frac{f (x) \cdot g (x) + g (x) \cdot ∆ f (x) + f (x) \cdot ∆ g (x) + ∆ f (x) \cdot ∆ g (x) - f (x) \cdot g (x)}{∆ x} = = \lim_{∆ x \to 0} \frac{g (x) \cdot ∆ f (x) + f (x) \cdot ∆ g (x) + ∆ f (x) \cdot ∆ g (x)}{∆ x} = = \lim_{∆ x \to 0} \frac{g (x) \cdot ∆ f (x)}{∆ x} + \lim_{∆ x \to 0} \frac{f (x) \cdot ∆ g}{∆ x} + \lim_{∆ x \to 0} \frac{∆ f (x)}{∆ x} \cdot \lim_{∆ x \to 0} ∆ g (x) = = g (x) \cdot \lim_{∆ x \to 0} \frac{∆ f (x)}{∆ x} + f (x) \cdot \lim_{∆ x \to 0} \frac{∆ g (x)}{∆ x} + f' (x) \cdot 0 = = f' (x) \cdot g (x) + f (x) \cdot g' (x)$

Это и есть результат, который нам нужно было доказать.

Пример 5

Продифференцируйте функцию $y = t g x \cdot a r c \sin x$ .

Решение

Здесь $f (x) = t g x, g (x) = a r c \sin x$ . Можем воспользоваться правилом производной произведения:

$y' = (t g x \cdot a r c \sin x)' = (t g x)' \cdot a r c \sin x + t g x \cdot (a r c \sin x)'$

Берем нужное значение из таблицы производных основных элементарных функций и записываем ответ:

$y' = (t g x \cdot a r c \sin x)' = (t g x)' \cdot a r c \sin x + t g x \cdot (a r c \sin x)' = = \frac{a r c \sin x}{\cos^{2} x} + \frac{t g x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Ответ: $y' = \frac{a r c \sin x}{\cos^{2} x} + \frac{t g x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Пример 6

Дана функция $y = \frac{e^{x}}{\sqrt[3]{x}}$ . Вычислите производную.

Решение

Здесь мы имеем $f (x) = e^{x}, g (x) = \frac{1}{\sqrt[3]{x}} = x^{- \frac{1}{3}}$ . Значит,

$y' = (\frac{e^{x}}{\sqrt[3]{x}}) = {(e^{x} \cdot x^{- \frac{1}{3}})}^{'} = (e^{x})' \cdot x^{- \frac{1}{3}} + e^{x} \cdot (x^{- \frac{1}{3}}) = = e^{x} \cdot x^{- \frac{1}{3}} + e^{x} \cdot (- \frac{1}{3}) \cdot x^{- \frac{1}{3} - 1} = \frac{e^{x}}{\sqrt[3]{x}} - \frac{e^{x}}{\sqrt[3]{x^{4}}} = \frac{e^{x}}{\sqrt[3]{x}} \cdot (1 - \frac{1}{x})$

Ответ: $y' = \frac{e^{x}}{\sqrt[3]{x}} \cdot (1 - \frac{1}{x})$

Теперь разберем, что нужно делать в случае, когда производную нужно найти для произведения трех функций. По той же схеме решаются задачи с произведениями четырех, пяти и большего количества функций.

Пример 7

Продифференцируйте функцию $y = (1 + x) \cdot \sin x \cdot \ln x$ .

Решение

Возьмем за основу правило для двух функций. Будем считать функцией $f (x)$ произведение $(1 + x) \cdot \sin x$ , а $g (x) - \ln x$ .

У нас получится следующее:

$y' = ((1 + x) \cdot \sin x \cdot \ln x)' = ((1 + x) \cdot \sin x)' \cdot \ln x + (1 + x) \cdot \sin x \cdot (\ln x)'$

Чтобы найти $((1 + x) \cdot \sin x)'$ , нам снова потребуется правило вычисления производной произведения:

$((1 + x) \cdot \sin x)' = (1 + x)' \cdot \sin x + (1 + x) \cdot (\sin x)'$

С помощью этого правила и таблицы производных получим:

$((1 + x) \cdot \sin x)' = (1 + x)' \cdot \sin x + (1 + x) \cdot (\sin x)' = = (1' + x') \cdot \sin x + (1 + x) \cdot \cos x = (0 + 1 \cdot x^{1 - 1}) \cdot \sin x + (1 + x) \cdot \cos x = = (0 + 1) \cdot \sin x + (1 + x) \cdot \cos x = \sin x + \cos x + x \cdot \cos x$

Теперь подставим в формулу то, что у нас получилось:

$y' = ((1 + x) \cdot \sin x \cdot \ln x)' = ((1 + x) \cdot \sin x)' \cdot \ln x + (1 + x) \cdot \sin x \cdot (\ln x)' = = (\sin x + \cos x + x \cdot \cos x) \cdot \ln x + \frac{(1 + x) \cdot \sin x}{x}$

Ответ: $y' = (\sin x + \cos x + x \cdot \cos x) \cdot \ln x + \frac{(1 + x) \cdot \sin x}{x}$

Из этого примера видно, что иногда приходится применять несколько правил дифференцирования подряд для вычисления нужного результата. Это не так сложно, как кажется, главное – соблюдать нужную последовательность действий.

Пример 8

Дана функция $y = 2 \cdot s h x - 2^{x} \cdot a r c t g x$ , вычислите ее производную.

Решение

Исходная функция является разностью выражений $2 \cdot s h x$ и $2^{x} \cdot a r c t g x$ , значит, $y' = (2 \cdot s h x - 2^{x} \cdot a r c t g x)' = (2 \cdot s h x)' - (2^{x} \cdot a r c t g x)'$ . Здесь можно вынести за знак производной число $2$ , а в другом произведении применить подходящее для произведений правило:

$y' = (2 \cdot s h x)' - (2^{x} \cdot a r c t g x)' = 2 \cdot (s h x)' - ((2^{x})' \cdot a r c t g x + 2^{x} \cdot (a r c t g x)') = = 2 \cdot c h x - (2^{x} \cdot \ln 2 \cdot a r c t g x + \frac{2^{x}}{1 + x^{2}}) = 2 \cdot c h x - 2^{x} \cdot \ln 2 \cdot a r c t g x - \frac{2^{x}}{1 + x^{2}}$

Ответ: $y' = 2 \cdot c h x - 2^{x} \cdot \ln 2 \cdot a r c t g x - \frac{2^{x}}{1 + x^{2}}$

Как вычислить производную частного двух функций (дробного выражения с функциями)

Определение 5

Данное правило выглядит следующим образом: ${(\frac{f (x)}{g (x)})}^{'} = \frac{f' (x) \cdot g (x) - f (x) \cdot g' (x)}{g^{2} (x)}$ .

Докажем его.

Доказательство 4

Сразу отметим, что $g (x)$ не будет обращаться в $0$ ни при каких значениях x из указанного промежутка. Согласно определению производной, получим:

${(\frac{f (x)}{g (x)})}^{'} = = \lim_{∆ x \to 0} \frac{∆ (\frac{f (x)}{g (x)})}{∆ x} = \lim_{∆ x \to 0} \frac{\frac{f (x + ∆ x)}{g (x + ∆ x)} - \frac{f (x)}{g (x)}}{∆ x} = \lim_{∆ x \to 0} \frac{f (x + ∆ x) \cdot g (x) - g (x + ∆ x) \cdot f (x)}{∆ x \cdot g (x + ∆ x) \cdot g (x)} = = \frac{1}{g^{2} (x)} \cdot \lim_{∆ x \to 0} \frac{(f (x) + ∆ f (x)) \cdot g (x) - (g (x) + ∆ g (x)) \cdot f (x)}{∆ x} = = \frac{1}{g^{2} (x)} \cdot \lim_{∆ x \to 0} \frac{f (x) \cdot g (x) + g (x) \cdot ∆ f (x) - f (x) \cdot g (x) - f (x) \cdot ∆ g (x)}{∆ x} = = \frac{1}{g^{2} (x)} \cdot \lim_{∆ x \to 0} \frac{g (x) \cdot ∆ f (x) - f (x) \cdot ∆ g (x)}{∆ x} = = \frac{1}{g^{2} (x)} \cdot (g (x) \cdot \lim_{∆ x \to 0} \frac{∆ f (x)}{∆ x} - f (x) \cdot \lim_{∆ x \to 0} \frac{∆ g (x)}{∆ x}) = = \frac{f' (x) \cdot g (x) - f (x) \cdot g' (x)}{g^{2} (x)}$

Пример 9

Продифференцируйте функцию $y = \frac{\sin x}{2 \cdot x + 1}$ .

Решение

Эта функция является отношением двух выражений $2 x + 1$ и $\sin x$ . Воспользуемся приведенным выше правилом дифференцирования дробного выражения и получим:

$y' = {(\frac{\sin x}{2 \cdot x + 1})}^{'} = \frac{(\sin x)' \cdot (2 \cdot x + 1) - \sin x \cdot (2 \cdot x + 1)'}{{(2 \cdot x + 1)}^{2}}$

После этого нам потребуется правило для суммы, а также правило вынесения постоянного множителя за знак производной:

$y' = \frac{(\sin x)' \cdot (2 \cdot x + 1) - \sin x \cdot (2 \cdot x + 1)'}{{(2 \cdot x + 1)}^{2}} = = \frac{\cos x \cdot (2 \cdot x + 1) - \sin x \cdot ((2 x)' + 1')}{(2 \cdot x + 1)^{2}} = \frac{\cos x \cdot (2 \cdot x + 1) - \sin x \cdot (2 \cdot x' + 0)}{(2 \cdot x + 1)^{2}} = = \frac{\cos x \cdot (2 \cdot x + 1) - \sin x \cdot (2 \cdot 1 \cdot x^{1 - 1} + 0)}{(2 \cdot x + 1)^{2}} = \frac{2 \cdot x \cdot \cos x + \cos x - 2 \cdot \sin x}{(2 \cdot x + 1)^{2}}$

Ответ: $y' = \frac{2 \cdot x \cdot \cos x + \cos x - 2 \cdot \sin x}{(2 \cdot x + 1)^{2}}$

Возьмем задачу на применение всех изученных правил.

Пример 10

Дана функция $y = 3 e^{x} - \frac{x^{2} \cdot \ln x - \sqrt{2} \cdot x}{a^{x}} + 2 \sin x \cdot a r c \cos x$ , где значение undefined является положительным действительным числом. Вычислите производную.

Решение

$y' = (3 \cdot e^{x})' - {(\frac{x^{2} \cdot \ln x - \sqrt{2} \cdot x}{a^{x}})}^{'} + (2 \sin x \cdot a r c \cos x)'$

Поясним, как это получилось.

Первым слагаемым будет $(3 \cdot e^{x})' = 3 \cdot (e^{x})' = 3 \cdot e^{x}$ .

Вычисляем второе:

${(\frac{x^{2} \cdot \ln x - \sqrt{2} \cdot x}{a^{x}})}^{'} = \frac{(x^{2} \cdot \ln x - \sqrt{2} \cdot x) \cdot a^{x} - (x^{2} \cdot \ln x - \sqrt{2} \cdot x) \cdot (a^{x})'}{{(a^{x})}^{2}} = = \frac{((x^{2} \cdot \ln x)' - (\sqrt{2} \cdot x)') \cdot a^{x} - (x^{2} \cdot \ln x - \sqrt{2} \cdot x) \cdot a^{x} \cdot \ln a}{a^{2 \cdot x}} = = \frac{((2 \cdot x^{2 - 1} \cdot \ln x + x^{2} \cdot \frac{1}{x}) - \sqrt{2} \cdot 1 \cdot x^{1 - 1}) \cdot a^{x} - (x^{2} \cdot \ln x - \sqrt{2} \cdot x) \cdot a^{x} \cdot \ln a}{a^{2 \cdot x}} = = \frac{((2 \cdot x^{2 - 1} \cdot \ln x + x^{2} \cdot \frac{1}{x}) - \sqrt{2} \cdot 1 \cdot x^{1 - 1}) \cdot a^{x} - (x^{2} \cdot \ln x - \sqrt{2} \cdot x) \cdot a^{x} \cdot \ln a}{a^{2 \cdot x}} = = \frac{(2 \cdot x \cdot \ln x + x - \sqrt{2}) \cdot a^{x} - (x^{2} \cdot \ln x - \sqrt{2} \cdot x) \cdot a^{x} \cdot \ln a}{a^{2 \cdot x}} = = \frac{x \cdot \ln x \cdot (2 - x \cdot \ln a) + x \cdot (1 - \sqrt{2} \cdot \ln a) - \sqrt{2}}{a^{x}}$

Вычисляем третье слагаемое:

$(2 \sin x \cdot a r c \cos x)' = 2 \cdot (\sin x \cdot a r c \cos x)' = = 2 \cdot ((\sin x)' \cdot a r c \cos x + \sin x \cdot (a r c \cos x)') = = 2 \cdot (\cos x \cdot a r c \cos x - \frac{\sin x}{\sqrt{1 - x^{2}}})$

Теперь собираем все, что у нас получилось:

$y' = (3 \cdot e^{x})' - (\frac{x^{2} \cdot \ln x - \sqrt{2} \cdot x}{a^{x}}) + (2 \sin x \cdot a r c \cos x)' = = 3 \cdot e^{x} - \frac{x \cdot \ln x \cdot (2 - x \cdot \ln a) + x \cdot (1 - \sqrt{2} \cdot \ln a) - \sqrt{2}}{a^{x}} + + 2 \cdot (\cos x \cdot a r c \cos x - \frac{\sin x}{\sqrt{1 - x^{2}}})$

В задачах, которые мы разобрали в этой статье, использовались только основные элементарные функции, которые были связаны между собой знаками простых арифметических действий. Они нагляднее всего иллюстрируют правила дифференцирования. Однако возможно их применение и к более сложным функциям.

После того, как мы разберем, что такое производная сложной функции, мы сможете проводить дифференцирование выражений любой сложности.