Производная обратной функции

В этой статье мы расскажем, что из себя представляет производная обратной функции и как ее вычислить. Перед изучением данной темы советуем повторить, что такое обратная функция и какими свойствами она обладает.

Чтобы избежать разночтений, мы будем обозначать аргумент функции, по которому она дифференцируется, в нижнем регистре, т.е. запись $f_{x}^{'} (x)$ будет означать производную функции $f (x)$ по $x$ .

Для начала определим правило, по которому производится вычисление производной обратной функции.

Определение 1

Допустим, у нас есть две взаимно обратные функции $x = g (y)$ и $y = f (x)$ , которые определены на соответствующих интервалах $y \in [c; d]$ и $x \in [a; b]$ . Если у нас есть некая точка $x_{0} \in [a; b]$ , в которой расположена конечная производная $f (x)$ , отличная от $0$ , то должна быть и конечная производная $g (y)$ , такая, что $g_{y}^{'} (y_{0}) = \frac{1}{f_{x}^{'} (x_{0})}$ . Иначе это можно записать как $f_{x}^{'} (x_{0}) = \frac{1}{g_{y}^{'} (y_{0})}$ .

Данное правило может быть сформулировано для любого $x$ , принадлежащего интервалу $[a; b]$ . Тогда мы получим следующее: $g_{y}^{'} (y_{0}) = \frac{1}{f_{x}^{'} (x_{0})}$ , $f_{x}^{'} (x_{0}) = \frac{1}{g_{y}^{'} (y_{0})}$ . Истинность этих формул можно проверить с помощью следующих рассуждений.

Доказательство 1

У нас есть натуральный логарифм вида $y = f (x) = \ln x$ , где $y$ является функцией, а $x$ – аргументом. Найдем его обратную функцию. Для этого нам потребуется разрешить уравнение относительно $x$ . Получим $x = g (y) = e^{y}$ (здесь $x$ будет функцией, а $y$ – ее аргументом). Значит, функции $x = g (y) = e^{y}$ и $y = f (x) = \ln x$ по отношению друг к другу являются взаимно обратными.

Проверим значения в таблице производных: $y_{x}^{'} = f_{x}^{'} (x) = {(\ln x)}_{x}^{'} = \frac{1}{x}$ , а $x_{y}^{'} = g_{y}^{'} (y) = {(e^{y})}_{y}^{'} = e^{y}$ .

Тот же результат мы получим при использовании формулы обратных производных:

$g_{y}^{'} (y) = \frac{1}{f_{x}^{'} (x)} = \frac{1}{(\ln x)_{x}^{'}} = \frac{1}{\frac{1}{x}} = x = e^{y} f_{x}^{'} (x) = \frac{1}{g_{y}^{'} (y)} = \frac{1}{{(e^{y})}_{y}^{'}} = \frac{1}{e^{y}} = \frac{1}{e^{l n x}} = \frac{1}{x}$

Поскольку полученный результат соответствует значению, указанному в таблице производных, то данная формула будет верна.

Используя эти знания, мы можем перейти к доказательству формул производных обратных тригонометрических функций.

Производные функции арксинус и арккосинус

Первое, что мы сделаем, – научимся определять производную функции арксинус.

Замечание 1

Поскольку $y = a r c \sin x, x \in [- 1; 1]$ , то обратная функция будет выглядеть как $x = \sin y, y \in [- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]$ .

Берем нужную формулу и вычисляем:

$y_{x}^{'} = (\arcsin x)_{x}^{'} = \frac{1}{(\sin y)_{y}^{'}} = \frac{1}{\cos y} = \frac{1}{\cos (\arcsin x)}$

Теперь нам надо преобразовать полученное выражение.

Поскольку область значения арксинуса представляет собой промежуток $\arcsin x \in [- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]$ , значит, $\cos (\arcsin x) \geq 0$ (при необходимости повторите материал об основных элементарных функциях, их свойствах и графиках).

Следовательно, $\cos (\arcsin x) = \sqrt{1 - \sin^{2} (\arcsin x)} - \sqrt{1 - x^{2}}$ . Выражение $\cos (\arcsin x) = \sqrt{1 - \sin^{2} (\arcsin x)} - \sqrt{1 - x^{2}}$ мы рассматривать не будем.

Мы получили, что ${(\arcsin x)}_{x}^{'} = \frac{1}{\cos (\arcsin x)} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

Производная арксинуса определена на промежутке $(- 1; 1)$ .

Для функции арккосинус все вычисления будут точно такими же.

Замечание 2

$y_{x}^{'} = (a r c \cos)_{x}^{'} = \frac{1}{(\cos y)_{y}^{'}} = \frac{1}{- \sin y} = - \frac{1}{\sin (a r c \cos x)} == - \frac{1}{\sqrt{1 - \cos^{2} (a r c \cos x)}} = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Производные функции арктангенс и арккотангенс

Теперь вычислим производную арктангенса.

Замечание 3

Поскольку для $y = a r c t g x, x \in (- \infty; + \infty)$ обратной функцией будет $x = t g y, y \in (- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})$ , то $y_{x}^{'} = {(a r c t g x)}_{x}^{'} = \frac{1}{(t g y)_{y}^{'}} = \frac{1}{\frac{1}{\cos^{2} y}} = \cos^{2} (a r c t g x)$ .

Для упрощения результата нужно выразить арктангенс через арккосинус.

Допустим, что $a r c t g x = z$ , значит:

$t g (a r c t g x) = t g z \Rightarrow x = t g z = \frac{\sin z}{\cos z} = \frac{\sqrt{1 - \cos^{2} z}}{\cos z} \Rightarrow x \cdot \cos z = \sqrt{1 - \cos^{2} z} \Rightarrow x^{2} \cdot \cos^{2} z = 1 - \cos^{2} z \Rightarrow (x^{2} + 1) \cdot \cos^{2} z = 1 \Rightarrow \cos^{2} z = \frac{1}{x^{2} + 1} \Rightarrow \cos z = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}} \Rightarrow z = a r c \cos \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}} \Rightarrow a r c t g x = a r c \cos \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Следовательно, можно записать так:

${(a r c t g x)}_{x}^{'} = \cos^{2} (a r c t g x) == \cos^{2} (a r c \cos \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}) = {(\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}})}^{2} = \frac{1}{x^{2} + 1}$

Для вычисления производной арккотангенса действуем по аналогии:

Замечание 4

$y_{x}^{'} = (a r c c t g x)_{x}^{'} = \frac{1}{(c t g y)_{y}^{'}} = \frac{1}{- \frac{1}{\sin^{2} y}} = - \sin^{2} (a r c c t g x) == - \sin^{2} (a r c \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}) = - \frac{1}{x^{2} + 1}$