Производная сложной функции

31 мая 2023
9 минут
12 569

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Функции сложного вида не всегда подходят под определение сложной функции. Если имеется функция вида $y = \frac{\sin x - \frac{(2 - \sqrt{3}) \cdot a r c t g x}{\sqrt[7]{x^{5}}}}{x^{10} - 17 x^{3} + x - 11}$ , то ее нельзя считать сложной в отличие от $y = \sin^{2} x$ .

Данная статья покажет понятие сложной функции и ее выявление. Поработаем с формулами нахождения производной с примерами решений в заключении. Применение таблицы производных и правила дифференцирования заметно уменьшают время для нахождения производной.

Основные определения

Определение 1

Сложной функцией считается такая функция, у которой аргумент также является функцией.

Обозначается это таким образом: $f (g (x))$ . Имеем, что функция $g (x)$ считается аргументом $f (g (x))$ .

Определение 2

Если есть функция $f$ и является функцией котангенса, тогда $g (x) = \ln x$ – это функция натурального логарифма. Получаем, что сложная функция $f (g (x))$ запишется как arctg(lnx). Или функция $f$ , являющаяся функцией возведенной в $4$ степень, где $g (x) = x^{2} + 2 x - 3$ считается целой рациональной функцией, получаем, что $f (g (x)) = (x^{2} + 2 x - 3)^{4}$ .

Очевидно, что $g (x)$ может быть сложной. Из примера $y = \sin (\sqrt{\frac{2 x + 1}{x^{3} - 5}})$ видно, что значение $g$ имеет кубический корень с дробью. Данное выражение разрешено обозначать как $y = f (f_{1} (f_{2} (x)))$ . Откуда имеем, что $f$ – это функция синуса, а $f_{1}$ - функция, располагаемая под квадратным корнем, $f_{2} (x) = \frac{2 x + 1}{x^{3} - 5}$ - дробная рациональная функция.

Определение 3

Степень вложенности определено любым натуральным числом и записывается как $y = f (f_{1} (f_{2} (f_{3} (. . . (f_{n} (x))))))$ .

Определение 4

Понятие композиция функции относится к количеству вложенных функций по условию задачи. Для решения используется формула нахождения производной сложной функции вида

$(f (g (x)))' = f' (g (x)) \cdot g' (x)$

Примеры

Пример 1

Найти производную сложной функции вида $y = (2 x + 1)^{2}$ .

Решение

По условию видно, что $f$ является функцией возведения в квадрат, а $g (x) = 2 x + 1$ считается линейной функцией.

Применим формулу производной для сложной функции и запишем:

$f' (g (x)) = ((g (x))^{2})^{'} = 2 \cdot (g (x))^{2 - 1} = 2 \cdot g (x) = 2 \cdot (2 x + 1); g' (x) = (2 x + 1)' = (2 x)' + 1' = 2 \cdot x' + 0 = 2 \cdot 1 \cdot x^{1 - 1} = 2 \Rightarrow (f (g (x)))' = f' (g (x)) \cdot g' (x) = 2 \cdot (2 x + 1) \cdot 2 = 8 x + 4$

Необходимо найти производную с упрощенным исходным видом функции. Получаем:

$y = (2 x + 1)^{2} = 4 x^{2} + 4 x + 1$

Отсюда имеем, что

$y' = (4 x^{2} + 4 x + 1)' = (4 x^{2})' + (4 x)' + 1' = 4 \cdot (x^{2})' + 4 \cdot (x)' + 0 = = 4 \cdot 2 \cdot x^{2 - 1} + 4 \cdot 1 \cdot x^{1 - 1} = 8 x + 4$

Результаты совпали.

При решении задач такого вида важно понимать, где будет располагаться функция вида $f$ и $g (x)$ .

Пример 2

Следует найти производные сложных функций вида $y = \sin^{2} x$ и $y = \sin x^{2}$ .

Решение

Первая запись функции говорит о том, что $f$ является функцией возведения в квадрат, а $g (x)$ – функцией синуса. Тогда получим, что

$y' = (\sin^{2} x)' = 2 \cdot \sin^{2 - 1} x \cdot (\sin x)' = 2 \cdot \sin x \cdot \cos x$

Вторая запись показывает, что $f$ является функцией синуса, а $g (x) = x^{2}$ обозначаем степенную функцию. Отсюда следует, что произведение сложной функции запишем как

$y' = (\sin x^{2})' = \cos (x^{2}) \cdot (x^{2})' = \cos (x^{2}) \cdot 2 \cdot x^{2 - 1} = 2 \cdot x \cdot \cos (x^{2})$

Формула для производной $y = f (f_{1} (f_{2} (f_{3} (. . . (f_{n} (x))))))$ запишется как $y' = f' (f_{1} (f_{2} (f_{3} (. . . (f_{n} (x)))))) \cdot f_{1}^{'} (f_{2} (f_{3} (. . . (f_{n} (x))))) \cdot \cdot f_{2}^{'} (f_{3} (. . . (f_{n} (x)))) \cdot . . . \cdot f_{n}^{'} (x)$

Пример 3

Найти производную функции $y = \sin (\ln^{3} a r c t g (2 x))$ .

Решение

Данный пример показывает сложность записи и определения расположения функций. Тогда $y = f (f_{1} (f_{2} (f_{3} (f_{4} (x)))))$ обозначим, где $f, f_{1}, f_{2}, f_{3}, f_{4} (x)$ является функцией синуса, функцией возведения в $3$ степень, функцией с логарифмом и основанием $е$ , функцией арктангенса и линейной.

Из формулы определения сложной функции имеем, что

$y' = f' (f_{1} (f_{2} (f_{3} (f_{4} (x))))) \cdot f_{1}^{'} (f_{2} (f_{3} (f_{4} (x)))) \cdot \cdot f_{2}^{'} (f_{3} (f_{4} (x))) \cdot f_{3}^{'} (f_{4} (x)) \cdot f_{4}^{'} (x)$

Получаем, что следует найти

$f' (f_{1} (f_{2} (f_{3} (f_{4} (x)))))$ в качестве производной синуса по таблице производных, тогда $f' (f_{1} (f_{2} (f_{3} (f_{4} (x))))) = \cos (\ln^{3} a r c t g (2 x))$ .
$f_{1}^{'} (f_{2} (f_{3} (f_{4} (x))))$ в качестве производной степенной функции, тогда $f_{1}^{'} (f_{2} (f_{3} (f_{4} (x)))) = 3 \cdot \ln^{3 - 1} a r c t g (2 x) = 3 \cdot \ln^{2} a r c t g (2 x)$ .
$f_{2}^{'} (f_{3} (f_{4} (x)))$ в качестве производной логарифмической, тогда $f_{2}^{'} (f_{3} (f_{4} (x))) = \frac{1}{a r c t g (2 x)}$ .
$f_{3}^{'} (f_{4} (x))$ в качестве производной арктангенса, тогда $f_{3}^{'} (f_{4} (x)) = \frac{1}{1 + (2 x)^{2}} = \frac{1}{1 + 4 x^{2}}$ .
При нахождении производной $f_{4} (x) = 2 x$ произвести вынесение $2$ за знак производной с применением формулы производной степенной функции с показателем, который равняется $1$ , тогда $f_{4}^{'} (x) = (2 x)' = 2 \cdot x' = 2 \cdot 1 \cdot x^{1 - 1} = 2$ .

Производим объединение промежуточных результатов и получаем, что

$y' = f' (f_{1} (f_{2} (f_{3} (f_{4} (x))))) \cdot f_{1}^{'} (f_{2} (f_{3} (f_{4} (x)))) \cdot \cdot f_{2}^{'} (f_{3} (f_{4} (x))) \cdot f_{3}^{'} (f_{4} (x)) \cdot f_{4}^{'} (x) = = \cos (\ln^{3} a r c t g (2 x)) \cdot 3 \cdot \ln^{2} a r c t g (2 x) \cdot \frac{1}{a r c t g (2 x)} \cdot \frac{1}{1 + 4 x^{2}} \cdot 2 = = \frac{6 \cdot \cos (\ln^{3} a r c t g (2 x)) \cdot \ln^{2} a r c t g (2 x)}{a r c t g (2 x) \cdot (1 + 4 x^{2})}$

Разбор таких функций напоминает матрешки. Правила дифференцирования не всегда могут быть применены в явном виде при помощи таблицы производных. Зачастую нужно применять формулу нахождения производных сложных функций.

Существуют некоторые различия сложного вида от сложных функций. При явном умении это различать, нахождение производных будет давать особенно легко.

Пример 4

Необходимо рассмотреть на приведении подобного примера. Если имеется функция вида $y = t g^{2} x + 3 t g x + 1$ , тогда ее можно рассмотреть в качестве сложной вида $g (x) = t g x$ , $f (g) = g^{2} + 3 g + 1$ . Очевидно, что необходимо применение формулы для сложной производной:

$f' (g (x)) = (g^{2} (x) + 3 g (x) + 1)' = (g^{2} (x))' + (3 g (x))' + 1' = = 2 \cdot g^{2 - 1} (x) + 3 \cdot g' (x) + 0 = 2 g (x) + 3 \cdot 1 \cdot g^{1 - 1} (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 t g x + 3; g' (x) = (t g x)' = \frac{1}{\cos^{2} x} \Rightarrow y' = (f (g (x)))' = f' (g (x)) \cdot g' (x) = (2 t g x + 3) \cdot \frac{1}{\cos^{2} x} = \frac{2 t g x + 3}{\cos^{2} x}$

Функция вида $y = t g x^{2} + 3 t g x + 1$ не считается сложной, так как имеет сумму $t g x^{2}$ , $3 t g x$ и $1$ . Однако, $t g x^{2}$ считается сложной функцией, то получаем степенную функцию вида $g (x) = x^{2}$ и $f$ , являющуюся функцией тангенса. Для этого следует продифференцировать по сумме. Получаем, что

$y' = (t g x^{2} + 3 t g x + 1)' = (t g x^{2})' + (3 t g x)' + 1' = = (t g x^{2})' + 3 \cdot (t g x)' + 0 = (t g x^{2})' + \frac{3}{\cos^{2} x}$

Переходим к нахождению производной сложной функции $(t g x^{2})'$ :

$f' (g (x)) = (t g (g (x)))' = \frac{1}{\cos^{2} g (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x^{2})} g' (x) = (x^{2})' = 2 \cdot x^{2 - 1} = 2 x \Rightarrow (t g x^{2})' = f' (g (x)) \cdot g' (x) = \frac{2 x}{\cos^{2} (x^{2})}$

Получаем, что $y' = (t g x^{2} + 3 t g x + 1)' = (t g x^{2})' + \frac{3}{\cos^{2} x} = \frac{2 x}{\cos^{2} (x^{2})} + \frac{3}{\cos^{2} x}$

Функции сложного вида могут быть включены в состав сложных функций, причем сами сложные функции могут являться составными функции сложного вида.

Пример 5

Для примера рассмотрим сложную функцию вида $y = \log_{3} (\frac{x^{2} + 3 \cos^{3} (2 x + 1) + 7}{e^{x^{2}} + \sqrt[3]{3}} + \ln^{2} x \cdot (x^{2} + 1))$

Данная функция может быть представлена в виде $y = f (g (x))$ , где значение $f$ является функцией логарифма по основанию $3$ , а $g (x)$ считается суммой двух функций вида $h (x) = \frac{x^{2} + 3 \cos^{3} (2 x + 1) + 7}{e^{x^{2}} + \sqrt[3]{3}}$ и $k (x) = \ln^{2} x \cdot (x^{2} + 1)$ . Очевидно, что $y = f (h (x) + k (x))$ .

Рассмотрим функцию $h (x)$ . Это отношение $l (x) = x^{2} + 3 \cos^{3} (2 x + 1) + 7$ к $m (x) = e^{x^{2}} + \sqrt[3]{3}$

Имеем, что $l (x) = x^{2} + 3 \cos^{2} (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x)$ является суммой двух функций $n (x) = x^{2} + 7$ и $p (x) = 3 \cos^{3} (2 x + 1)$ , где $p (x) = 3 \cdot p_{1} (p_{2} (p_{3} (x)))$ является сложной функцией с числовым коэффициентом $3$ , а $p_{1}$ - функцией возведения в куб, $p_{2}$ функцией косинуса, $p_{3} (x) = 2 x + 1$ - линейной функцией.

Получили, что $m (x) = e^{x^{2}} + \sqrt[3]{3} = q (x) + r (x)$ является суммой двух функций $q (x) = e^{x^{2}}$ и $r (x) = \sqrt[3]{3}$ , где $q (x) = q_{1} (q_{2} (x))$ - сложная функция, $q_{1}$ - функция с экспонентой, $q_{2} (x) = x^{2}$ - степенная функция.

Отсюда видно, что $h (x) = \frac{l (x)}{m (x)} = \frac{n (x) + p (x)}{q (x) + r (x)} = \frac{n (x) + 3 \cdot p_{1} (p_{2} (p_{3} (x)))}{q_{1} (q_{2} (x)) + r (x)}$

При переходе к выражению вида $k (x) = \ln^{2} x \cdot (x^{2} + 1) = s (x) \cdot t (x)$ видно, что функция представлена в виде сложной $s (x) = \ln^{2} x = s_{1} (s_{2} (x))$ с целой рациональной $t (x) = x^{2} + 1$ , где $s_{1}$ является функцией возведения в квадрат, а $s_{2} (x) = \ln x$ - логарифмической с основанием $е$ .

Отсюда следует, что выражение примет вид $k (x) = s (x) \cdot t (x) = s_{1} (s_{2} (x)) \cdot t (x)$ .

Тогда получим, что

$y = \log_{3} (\frac{x^{2} + 3 \cos^{3} (2 x + 1) + 7}{e^{x^{2}} + \sqrt[3]{3}} + \ln^{2} x \cdot (x^{2} + 1)) = = f (\frac{n (x) + 3 \cdot p_{1} (p_{2} (p_{3} (x)))}{q_{1} (q_{2} (x)) = r (x)} + s_{1} (s_{2} (x)) \cdot t (x))$

По структурам функции стало явно, как и какие формулы необходимо применять для упрощения выражения при его дифференцировании. Для ознакомления подобных задач и и для понятия их решения необходимо обратиться к пункту дифференцирования функции, то есть нахождения ее производной.