Числовые неравенства и их свойства

2 августа 2023
12 минут
3 645

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

С неравенствами мы познакомились в школе, где применяем числовые неравенства. В данной статье рассмотрим свойства числовых неравенств, не которых строятся принципы работы с ними.

Свойства неравенств аналогичны свойствам числовых неравенств. Будут рассмотрены свойства, его обоснования, приведем примеры.

Числовые неравенства: определение, примеры

При введении понятия неравенства имеем, что их определение производится по виду записи. Имеются алгебраические выражения, которые имеют знаки $\neq, <, >, \leq, \geq .$ Дадим определение.

Определение 1

Числовым неравенством называют неравенство, в записи которого обе стороны имеют числа и числовые выражения.

Числовые неравенства рассматриваем еще в школе после изучения натуральных чисел. Такие операции сравнения изучаются поэтапно. Первоначальные имею вид $1 < 5, 5 + 7 > 3$ . После чего правила дополняются, а неравенства усложняются, тогда получаем неравенства вида $5 \frac{2}{3} > 5, 1 (2), \ln 0.73 - \frac{\sqrt{17}}{2} < 0$ .

Свойства числовых неравенств

Чтобы правильно работать с неравенствами, необходимо использовать свойства числовых неравенств. Они идут из понятия неравенства. Такое понятие задается при помощи утверждения, которое обозначается как «больше» или «меньше».

Определение 2

число $a$ больше $b$ , когда разность $a - b$ – положительное число;
число $a$ меньше $b$ , когда разность $a - b$ – отрицательное число;
число $a$ равно $b$ , когда разность $a - b$ равняется нулю.

Определение используется при решении неравенств с отношениями «меньше или равно», «больше или равно». Получаем, что

Определение 3

$a$ больше или равно $b$ , когда $a - b$ является неотрицательным числом;
$a$ меньше или равно $b$ , когда $a - b$ является неположительным числом.

Определения будут использованы при доказательствах свойств числовых неравенств.

Основные свойства

Рассмотрим 3 основные неравенства. Использование знаков $<$ и $>$ характерно при свойствах:

Определение 4

антирефлексивности, которое говорит о том, что любое число $a$ из неравенств $a < a$ и $a > a$ считается неверным. Известно, что для любого $a$ имеет место быть равенство $a - a = 0$ , отсюда получаем, что $а = а$ . Значит, $a < a$ и $a > a$ неверно. Например, $3 < 3$ и $- 4 \frac{14}{15} > - 4 \frac{14}{15}$ являются неверными.
ассиметричности. Когда числа $a$ и $b$ являются такими, что $a < b$ , то $b > a$ , и если $a > b$ , то $b < a$ . Используя определение отношений «больше», «меньше» обоснуем его. Так как в первой части имеем, что $a < b$ , тогда $a - b$ является отрицательным числом. А $b - a = - (a - b)$ положительное число, потому как число противоположно отрицательному числу $a - b$ . Отсюда следует, что $b > a$ . Аналогичным образом доказывается и вторая его часть.

Пример 1

Например, при заданном неравенстве $5 < 11$ имеем, что $11 > 5$ , значит его числовое неравенство $- 0, 27 > - 1, 3$ перепишется в виде $- 1, 3 < - 0, 27$ .

Перед тем, как перейти к следующему свойству, заметим, что при помощи ассиметричности можно читать неравенство справа налево и наоборот. Таким образом, числовое неравенство можно изменять и менять местами.

Определение 5

транзитивности. Когда числа $a, b, c$ соответствуют условию $a < b$ и $b < c$ , тогда $a < c$ , и если $a > b$ и $b > c$ , тогда $a > c$ .

Доказательство 1

Первое утверждение можно доказать. Условие $a < b$ и $b < c$ означает, что $a - b$ и $b - c$ являются отрицательными, а разность $а - с$ представляется в виде $(a - b) + (b - c)$ , что является отрицательным числом, потому как имеем сумму двух отрицательных $a - b$ и $b - c$ . Отсюда получаем, что $а - с$ является отрицательным числом, а значит, что $a < c$ . Что и требовалось доказать.

Аналогичным образом доказывается вторая часть со свойством транизитивности.

Пример 2

Разобранное свойство рассматриваем на примере неравенств $- 1 < 5$ и $5 < 8$ . Отсюда имеем, что $- 1 < 8$ . Аналогичным образом из неравенств $\frac{1}{2} > \frac{1}{8}$ и $\frac{1}{8} > \frac{1}{32}$ следует, что $\frac{1}{2} > \frac{1}{32}$ .

Числовые неравенства, которые записываются с помощью нестрогих знаков неравенства, обладают свойством рефлексивности, потому как $a \leq a$ и $a \geq a$ могут иметь случай равенства $а = а$ . им присуща ассиметричность и транзитивность.

Определение 6

Неравенства, имеющие в записи знаки $\leq$ и $\geq$ , имеют свойства:

рефлексивности $a \geq a$ и $a \leq a$ считаются верными неравенствами;
антисимметричности, когда $a \leq b$ , тогда $b \geq a$ , и если $a \geq b$ , тогда $b \leq a$ .
транзитивности, когда $a \leq b$ и $b \leq c$ , тогда $a \leq c$ , а также, если $a \geq b$ и $b \geq c$ , то тогда $a \geq c$ .

Доказательство производится аналогичным образом.

Другие важные свойства числовых неравенств

Для дополнения основных свойств неравенств используются результаты, которые имеют практическое значение. Применяется принцип метода оценка значений выражений, на которых и базируются принципы решения неравенств.

Данный пункт раскрывает свойства неравенств для одного знака строгого неарвенства. Аналогично производится для нестрогих. Рассмотрим на примере, сформулировав неравенство если $a < b$ и c являются любыми числами, то $a + c < b + c$ . Справедливыми окажутся свойства:

если $a > b$ , то $a + c > b + c$ ;
если $a \leq b$ , то $a + c \leq b + c$ ;
если $a \geq b$ , то $a + c \geq b + c$ .

Для удобного представления дадим соответствующее утверждение, которое записывается и приводятся доказательства, показываются примеры использования.

Определение 7

Прибавление или вычисления числа к обеим сторонам. Иначе говоря, когда $a$ и $b$ соответствуют неравенству $a < b$ , тогда для любого такого числа имеет смысл неравенство вида $a + c < b + c$ .

Доказательство 2

Чтобы доказать это, необходимо, чтобы уравнение соответствовало условию $a < b$ . Тогда $(a + c) - (b + c) = a + c - b - c = a - b$ . Из условия $a < b$ получим, что $a - b < 0$ . Значит, $(a + c) - (b + c) < 0$ , откуда $a + c < b + c$ . Множество действительных числе могут быть изменены с помощью прибавления противоположного числа $- с$ .

Пример 3

К примеру, если обе части неравенства $7 > 3$ увеличиваем на $15$ , тогда получаем, что $7 + 15 > 3 + 15$ . Это равно $22 > 18$ .

Определение 8

Когда обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же число $c$ , получим верное неравенство. Если взять число $c$ отрицательным, то знак поменяется на противоположный. Иначе это выглядит так: для $a$ и $b$ неравенство выполняется, когда $a < b$ и c являются положительными числами, то a· $c < b \cdot c$ , а если $v$ является отрицательным числом, тогда $a \cdot c > b \cdot c$ .

Доказательство 3

Когда имеется случай $c > 0$ , необходимо составить разность левой и правой частей неравенства. Тогда получаем, что $a \cdot c - b \cdot c = (a - b) \cdot c$ . Из условия $a < b$ , то $a - b < 0$ , а $c > 0$ , тогда произведение $(a - b) \cdot c$ будет отрицательным. Отсюда следует, что $a \cdot c - b \cdot c < 0$ , где $a \cdot c < b \cdot c$ . Другая часть доказывается аналогичным образом.

При доказательстве деление на целое число можно заменить умножением на обратное заданному, то есть $\frac{1}{c}$ . Рассмотрим пример свойства на определенных числах.

Пример 4

Разрешено обе части неравенства $4 < 6$ умножаем на положительное $0, 5$ , тогда получим неравенство вида $- 4 \cdot 0, 5 < 6 \cdot 0, 5$ , где $- 2 < 3$ . Когда обе части делим на $- 4$ , то необходимо изменить знак неравенства на противоположный . отсюда имеем, что неравенство примет вид $- 8 : (- 4) \geq 12 : (- 4)$ , где $2 \geq - 3$ .

Теперь сформулируем вытекающие два результата, которые используются при решении неравенств:

Следствие 1. При смене знаков частей числового неравенства меняется сам знак неравенства на противоположный, как $a < b$ , как $- a > - b$ . Это соответствует правилу умножения обеих частей на $- 1$ . Оно применимо для перехода. Например, $- 6 < - 2$ , то $6 > 2$ .
Следствие 2. При замене обратными числами частей числового неравенства на противоположный, меняется и его знак, причем неравенство останется верным. Отсюда имеем, что $a$ и $b$ являются положительными числами, $a < b, \frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ .

При делении обеих частей неравенства $a < b$ разрешается на число $a \cdot b$ . Данное свойство используется при верном неравенстве $5 > \frac{3}{2}$ имеем, что $\frac{1}{5} < \frac{2}{3}$ . При отрицательных $a$ и $b$ c условием, что $a < b$ , неравенство $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ может получиться неверным.

Пример 5

Например, $- 2 < 3,$ однако, $- \frac{1}{2} > \frac{1}{3}$ являются неверным равенством.

Все пункты объединяет то, что действия над частями неравенства дают верное неравенство на выходе. Рассмотрим свойства, где изначально имеется несколько числовых неравенств, а его результат получим при сложении или умножении его частей.

Определение 9

Когда числа $a, b, c, d$ справедливы для неравенств $a < b$ и $c < d$ , тогда верным считается $a + c < b + d$ . Свойство можно формировать таким образом: почленно складывать числа частей неравенства.

Доказательство 4

Докажем, что $(a + c) - (b + d)$ является отрицательным числом, тогда получим, что $a + c < b + d$ . Из условия имеем, что $a < b$ и $c < d$ . Выше доказанное свойство позволяет прибавлять к обеим частям одинаковое число. Тогда увеличим неравенство $a < b$ на число $b$ , при $c < d$ , получим неравенства вида $a + c < b + c$ и $b + c < b + d$ . Полученное неравенство говорит о том, что ему присуще свойство транзитивности.

Свойство применяется для почленного сложения трех, четырех и более числовых неравенств. Числам $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ и $b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}$ справедливы неравенства $a_{1} < b_{1}, a_{2} < b_{2}, \dots, a_{n} < b_{n}$ , можно доказать метод математической индукции , получив $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} < b_{1} + b_{2} + \dots + b_{n}$ _.

Пример 6

Например, при данных трех числовых неравенствах одного знака $- 5 < - 2, - 1 < 12$ и $3 < 4$ . Свойство позволяет определять то, что $- 5 + (- 1) + 3 < - 2 + 12 + 4$ является верным.

Определение 10

Почленное умножение обеих частей дает в результате положительное число. При $a < b$ и $c < d$ , где $a, b, c$ и $d$ являются положительными числами, тогда неравенство вида $a \cdot c < b \cdot d$ считается справедливым.

Доказательство 5

Чтобы доказать это, необходимо обе части неравенства $a < b$ умножить на число $с$ , а обе части $c < d$ на $b$ . В итоге получим, что неравенства $a \cdot c < b \cdot c$ и $b \cdot c < b \cdot d$ верные, откуда получим свойство транизитивности $a \cdot c < b \cdot d$ .

Это свойство считается справедливым для количества чисел, на которые необходимо умножить обе части неравенства. Тогда $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ и $b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}$ являются положительные числами, где $a_{1} < b_{1}, a_{2} < b_{2}, \dots, a_{n} < b_{n}$ , то $a_{1} \cdot a_{2} \cdot \dots \cdot a_{n} < b_{1} \cdot b_{2} \cdot \dots \cdot b_{n}$ .

Заметим, что при записи неравенств имеются неположительные числа, тогда их почленное умножение приводит к неверным неравенствам.

Пример 7

К примеру, неравенство $1 < 3$ и $- 5 < - 4$ являются верными, а почленное их умножение даст результат в виде $1 \cdot (- 5) < 3 \cdot (- 4)$ , считается, что $- 5 < - 12$ это является неверным неравенством.

Следствие: Почленное умножение неравенств $a < b$ с положительными с $a$ и $b$ , причем получается $a^{n} < b^{n}$ .

Свойства числовых неравенств

Рассмотрим ниже свойства числовых неравенств.

$a < a, a > a$ - неверные неравенства,
$a \leq a, a \geq a$ - верные неравенства.
Если $a < b$ , то $b > a$ - антисимметричность.
Если $a < b$ и $b < c$ то $a < c$ - транзитивность.
Если $a < b$ и $c$ - любоое число, то $a + с < b + c$ .
Если $a < b$ и $c$ - положительное число, то $a \cdot c < b \cdot c$ ,
Если $a < b$ и $c$ - отрицательное число, то $a \cdot c > b \cdot c$ .

Следствие 1: если $a < b$ , то $- a > - b$ .

Следствие 2: если $a$ и $b$ - положительные числа и $a < b$ , то $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ .

Если $a_{1} < b_{1}, a_{2} < b_{2}, . . ., a_{n} < b_{n}$ , то $a_{1} + a_{2} + . . . + a_{n} < b_{1} + b_{2} + . . . + b_{n}$ .
Если $a_{1}, a_{2}, . . ., a_{n}, b_{1}, b_{2}, . . ., b_{n}$ - положительные числа и $a_{1} < b_{1}, a_{2} < b_{2}, . . ., a_{n} < b_{n}$ , то $a_{1} \cdot a_{2} \cdot . . . \cdot a_{n} < b_{1} \cdot b_{2} \cdot . . . b_{n} .$

Cледствие 1: если $a < b$ , $a$ и $b$ - положительные числа, то $a^{n} < b^{n}$ .