Метод интервалов, примеры, решения

Метод интервалов принято считать универсальным для решения неравенств. Иногда этот метод также называют методом промежутков. Применим он как для решения рациональных неравенств с одной переменной, так и для неравенств других видов. В нашем материале мы постарались уделить внимание всем аспектам вопроса.

Что ждет вас в данном разделе? Мы разберем метод промежутков и рассмотрим алгоритмы решения неравенств с его помощью. Затронем теоретические аспекты, на которых основано применение метода.

Особое внимание мы уделяем нюансам темы, которые обычно не затрагиваются в рамках школьной программы. Например, рассмотрим правила расстановки знаков на интервалах и сам метод интервалов в общем виде без его привязки к рациональным неравенствам.

Алгоритм

Кто помнит, как происходит знакомство с методом промежутков в школьном курсе алгебры? Обычно все начинается с решения неравенств вида $f\left(x\right)<0$ (знак неравенства может быть использован любой другой, например, $\le$, $>$ или $\ge$). Здесь $f\left(x\right)$может быть многочленом или отношением многочленов. Многочлен, в свою очередь, может быть представлен как:

• произведение линейных двучленов с коэффициентом $1$ при переменной $х$;
• произведение квадратных трехчленов со старшим коэффициентом $1$ и с отрицательным дискриминантом их корней.

Приведем несколько примеров таких неравенств:

$(x+3)·(x^2-x+1)·(x+2{)}^3\ge 0$,

$\frac{(x-2)·(x+5)}{x+\sqrt{3}}>0$ ,

$(x-5)·(x+5)\le 0$,

$\frac{(x^2+2·x+7)·(x-1{)}^2}{(x^2-7{)}^5·(x-1)·(x-3{)}^7}\le 0$ .

Запишем алгоритм решения неравенств такого вида, как мы привели в примерах, методом промежутков:

• находим нули числителя и знаменателя, для этого числитель и знаменатель выражения в левой части неравенства приравниваем к нулю и решаем полученные уравнения;
• определяем точки, которые соответствуют найденным нулям и отмечаем их черточками на оси координат;
• определяем знаки выражения $f\left(x\right)$ из левой части решаемого неравенства на каждом промежутке и проставляем их на графике;
• наносим штриховку над нужными участками графика, руководствуясь следующим правилом: в случае, если неравенство имеет знаки $<$ или $\le$ изображается, штрихуются «минусовые» промежутки, если же мы работаем с неравенством, имеющим знаки > или $\ge$, то выделяем штриховкой участки, отмеченные знаком «$+$».

Четреж, с которым мы будем работать, может иметь схематический вид. Излишние подробности могут перегружать рисунок и затруднять решение. Нас будет мало интересовать маштаб. Достаточно будет придерживаться правильного расположения точек по мере роста значений их координат.

При работе со строгими неравенствами мы будем использовать обозначение точки в виде круга с незакрашенным (пустым) центром. В случае нестрогих неравенств точки, которые соответствуют нулям знаменателя, мы будем изображать пустыми, а все остальные обычными черными.

Отмеченные точки разбивают координатную прямую на несколько числовых промежутков. Это позволяет нам получить геометрическое представление числового множества, которое фактически является решением данного неравенства.

Научные основы метода промежутков

Основан подход, положенный в основу метода промежутков, основан на следующем свойстве непрерывной функции: функция сохраняет постоянный знак на интервале $(a, b)$, на котором эта функция непрерывна и не обращается в нуль. Это же свойство характерно для числовых лучей $(-\infty , a)$ и $(a, +\infty )$.

Приведенное свойство функции подтверждается теоремой Больцано-Коши, которая приведена во многих пособиях для подготовки к вступительным испытаниям.

Обосновать постоянство знака на промежутках также можно на основе свойств числовых неравенств. Например, возьмем неравенство $\frac{x-5}{x+1}>0$ . Если мы найдем нули числителя и знаменателя и нанесем их на числовую прямую, то получим ряд промежутков: $(-\infty , -1)$, $(-1, 5)$ и $(5, +\infty )$.

Возьмем любой из промежутков и покажем на нем, что на всем промежутке выражение из левой части неравенства будет иметь постоянный знак. Пусть это будет промежуток $(-\infty , -1)$. Возьмем любое число $t$ из этого промежутка. Оно будет удовлетворять условиям$t<-1$, и так как $-1<5$, то по свойству транзитивности, оно же будет удовлетворять и неравенству $t<5$.

Используя оба полученных неравенства и свойство числовых неравенств, мы можем предположить, что $t+1<0$ и $t-5<0$. Это значит, что $t+1$и $t-5$ – это отрицательные числа независимо от значения t на промежутке $(-\infty , -1)$.

Используя правило деления отрицательных чисел, мы можем утверждать, что значение выражения $\frac{t-5}{t+1}$ будет положительным. Это значит, что значение выражения $\frac{x-5}{x+1}$ будет положительным при любом значении x из промежутка $(-\infty , -1)$. Все это позволяет нам утверждать, что на промежутке, взятом для примера, выражение имеет постоянный знак. В нашем случае это знак «$+$».

Нахождение нулей числителя и знаменателя

Алгоритм нахождения нулей прост: приравниваем выражения из числителя и знаменателя к нулю и решаем полученные уравнения. При возникновении затруднений можно обратиться к теме «Решение уравнений методом разложения на множители». В этом разделе мы ограничимся лишь рассмотрением примера.

Рассмотрим дробь $\frac{x·(x-0,6)}{x^7·(x^2+2·x+7{)}^2·(x+5{)}^3}$. Для того, чтобы найти нули числителя и знаменателя, приравняем их к нулю для того, чтобы получить и решить уравнения: $x·(x-0,6)=0$ и $x^7·(x^2+2·x+7{)}^2·(x+5{)}^3=0$.

В первом случае мы можем перейти к совокупности двух уравнений $x=0$ и $x-0,6=0$, что дает нам два корня $0$ и $0,6$. Это нули числителя.

Второе уравнение равносильно совокупности трех уравнений $x^7=0$, $(x^2+2·x+7{)}^2=0$, $(x+5{)}^3=0$. Проводим ряд преобразований и получаем $x=0$,$x^2+2·x+7=0$, $x+5=0$. Корень первого уравнения $0$, у второго уравнения корней нет, так как оно имеет отрицательный дискриминант, корень третьего уравнения $-5$. Это нули знаменателя.

$0$ в данном случае является одновременно и нулем числителя, и нулем знаменателя.

В общем случае, когда в левой части неравенства дробь, которая не обязательно является рациональной, числитель и знаменатель точно также приравниваются к нулю для получения уравнений. Решение уравнений позволяет найти нули числителя и знаменателя.

Определение знаков на интервалах

Определить знак интервала просто. Для этого можно найти значение выражения из левой части неравенства для любой произвольно выбранной точки из данного интервала. Полученный знак значения выражения в произвольно выбранной точке промежутка будет совпадать со знаком всего промежутка.

Рассмотрим это утверждение на примере.

Возьмем неравенство $\frac{x^2-x+4}{x+3}\ge 0$. Нулей числителя выражение, расположенное в левой части неравенства, нулей не имеет. Нулем знаменателя будет число $-3$. Получаем два промежутка на числовой прямой $(-\infty , -3)$ и $(-3, +\infty )$.

Для того, чтобы определить знаки промежутков, вычислим значение выражения $\frac{x^2-x+4}{x+3}$ для точек, взятых произвольно на каждом из промежутков.

Из первого промежутка $(-\infty , -3)$ возьмем $-4$. При $x=-4$ имеем $\frac{(-4{)}^2-(-4)+4}{(-4)+3}=-24$ . Мы получили отрицательное значение, значит весь интервал будет со знаком «$-$».

Для промежутка $(-3, +\infty )$ проведем вычисления с точкой, имеющей нулевую координату. При$x=0$ имеем $\frac{0^2-0+4}{0+3}=\frac{{\displaystyle 4}}{3}$. Получили положительное значение, что значит, что весь промежуток будет иметь знак «$+$».

Можно использовать еще один способ определения знаков. Для этого мы можем найти знак на одном из интервалов и сохранить его или изменить при переходе через нуль. Для того, чтобы все сделать правильно, необходимо следовать правилу: при переходе через нуль знаменателя, но не числителя, или числителя, но не знаменателя мы можем поменять знак на противоположный, если степень выражения, дающего этот нуль, нечетная, и не можем поменять знак, если степень четная. Если мы получили точку, которая является одновременно нулем числителя и знаменателя, то поменять знак на противоположный можно только в том случае, если сумма степеней выражений, дающих этот нуль, нечетная.

Если вспомнить неравенство, которое мы рассмотрели в начале первого пункта этого материала, то на крайнем правом промежутке мы можем поставить знак «$+$».

Теперь обратимся к примерам.

Возьмем неравенство $\frac{(x-2)·(x-3{)}^3·(x-4)2}{(x-1{)}^4·(x-3{)}^5·(x-4)}\ge 0$ и решим его методом интервалов. Для этого нам необходимо найти нули числителя и знаменателя и отметить их на координатной прямой. Нулями числителя будут точки $2$, $3$, $4$, знаменателя точки $1$, $3$, $4$. Отметим их на оси координат черточками.

Нули знаменателя отметим пустыми точками.

Так как мы имеем дело с нестрогим неравенством, то оставшиеся черточки заменяем обычными точками.

Теперь расставим точки на промежутках. Крайний правый промежуток $(4, +\infty )$ будет знак $+$.

Продвигаясь справа налево будем проставлять знаки остальных промежутков. Переходим через точку с координатой $4$. Это одновременно нуль числителя и знаменателя. В сумме, эти нули дают выражения $(x-4{)}^2$ и $x-4$. Сложим их степени $2+1=3$ и получим нечетное число. Это значит, что знак при переходе в данном случае меняется на противоположный. На интервале $(3, 4)$ будет знак минус.

Переходим к интервалу $(2, 3)$ через точку с координатой $3$. Это тоже нуль и числителя, и знаменателя. Мы его получили благодаря двум выражениям $(x-3{)}^3$ и $(x-3{)}^5$, сумма степеней которых равна $3+5=8$. Получение четного числа позволяет нам оставить знак интервала неизменным.

Точка с координатой $2$ – это нуль числителя. Степень выражения $х-2$равна $1$ (нечетная). Это значит, что при переходе через эту точку знак необходимо изменить на противоположный.

У нас остался последний интервал $(-\infty , 1)$. Точка с координатой $1$ – это нуль знаменателя. Он был получен из выражения $(x-1{)}^4$, с четной степенью $4$. Следовательно, знак остается прежним. Итоговый рисунок будет иметь вот такой вид:

Применение метода интервалов особенно эффективно в случаях, когда вычисление значения выражения связано с большим объемом работы. Примером может стать необходимость вычисления значения выражения

$\frac{{\left(x+{\displaystyle \frac{3-\sqrt{3}}{4}}\right)}^3·{\left(x^2+6·x+11\right)}^2·\left(x+{\displaystyle \frac{2-\sqrt{3}}{4}}\right)}{(x-1{)}^2·{\left(x-{\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^5·(x-12)}$

в любой точке интервала $\left(\frac{\sqrt{3}-3}{4},\frac{\sqrt{3}{\displaystyle -}{\displaystyle 2}}{4}\right)$.

Будем считать, что с правилами определения знаков для промежутков мы разобрались. Идем дальше.

Примеры решения неравенств методом интервалов

Теперь займемся применением полученных знаний и навыков на практике.

Решение рациональных неравенств в большинстве случаев требует их предварительного преобразования к нужному виду. Только после этого появляется возможность использовать метод интервалов. Алгоритмы проведения таких преобразований рассмотрены в материале «Решение рациональных неравенств».

Рассмотрим пример преобразования квадратных трехчленов в записи неравенств.

Обобщенный метод интервалов

Обобщенный метод промежутков применяется для решения неравенств вида $f\left(x\right)<0 (\le , >, \ge )$, где $f\left(x\right)$ – произвольное выражение с одной переменной $x$.

Все действия проводятся по определенному алгоритму. При этом алгоритм решения неравенств обобщенным методом интервалов будет несколько отличаться от того, что мы разобрали ранее:

• находим область определения функции $f$ и нули этой функции;
• отмечаем на координатной оси граничные точки;
• наносим на числовую прямую нули функции;
• определяем знаки промежутков;
• наносим штриховку;
• записываем ответ.

На числовой прямой необходимо отмечать в том числе и отдельные точки области определения. К примеру, областью определения функции служит множество $(-5, 1]\cup \left\{3\right\}\cup [4, 7)\cup \left\{10\right\}$. Это значит, что нам необходимо отметить точки с координатами $-5$, $1$, $3$, $4$, $7$ и $10$. Точки $-5$ и $7$ изобразим пустыми, остальные можно выделить цветным карандашом для того, чтобы отличать их затем от нулей функции.

Нули функции в случае нестрогих неравенств наносятся обычными (закрашенными) точками, строгих – пустыми точками. Если нули совпадают с граничными точками или отдельными точками области определения, то их можно перекрасить в черный цвет, сделав пустыми или закрашенными в зависимости от вида неравенства.

Запись ответа представляет собой числовое множество, которое включает в себя:

• промежутки со штриховкой;
• отдельные точки области определения со знаком плюс, если мы имеем дело с неравенством, знак которого $>$или $\ge$ или со знаком минус, если в неравенстве есть знаки $<$ или $\le$.

Теперь стало понятно, что тот алгоритм, который мы привели в самом начале темы, является частным случаем алгоритма применения обобщенного метода интервалов.

Рассмотрим пример применения обобщенного метода интервалов.