Решение квадратных уравнений: формула корней, примеры

В продолжение темы «Решение уравнений» материал данной статьи познакомит вас с квадратными уравнениями.

Рассмотрим все подробно: суть и запись квадратного уравнения, зададим сопутствующие термины, разберем схему решения неполных и полных уравнений, познакомимся с формулой корней и дискриминантом, установим связи между корнями и коэффициентами, ну и конечно приведем наглядное решение практических примеров.

Квадратное уравнение, его виды

Зачастую квадратные уравнения также носят название уравнений второй степени, поскольку по сути квадратное уравнение есть алгебраическое уравнение второй степени.

Приведем пример для иллюстрации заданного определения: $9·x^2+16·x+2=0; 7,5·x^2+3,1·x+0,11=0$ и т.п. – это квадратные уравнения.

К примеру, в квадратном уравнении $6·x^2-2·x-11=0$ старший коэффициент равен $6$, второй коэффициент есть $-2$, а свободный член равен $-11$. Обратим внимание на тот факт, что, когда коэффициенты $b$ и/или c являются отрицательными, то используется краткая форма записи вида $6·x^2-2·x-11=0$, а не $6·x^2+(-2)·x+(-11)=0$.

Уточним также такой аспект: если коэффициенты $a$ и/или $b$ равны $1$ или $-1$, то явного участия в записи квадратного уравнения они могут не принимать, что объясняется особенностями записи указанных числовых коэффициентов. К примеру, в квадратном уравнении $y^2-y+7=0$ старший коэффициент равен $1$, а второй коэффициент есть $-1$.

Приведенные и неприведенные квадратные уравнения

По значению первого коэффициента квадратные уравнения подразделяют на приведенные и неприведенные.

Приведем примеры: квадратные уравнения $x^2-4·x+3=0, x^2-x-\frac{4}{5}=0$ являются приведенными, в каждом из которых старший коэффициент равен $1$.

$9·x^2-x-2=0$ - неприведенное квадратное уравнение, где первый коэффициент отличен от $1$.

Любое неприведенное квадратное уравнение возможно преобразовать в приведенное уравнение, если разделить обе его части на первый коэффициент (равносильное преобразование). Преобразованное уравнение будет иметь такие же корни, как и заданное неприведенное уравнение или так же не иметь корней вовсе.

Рассмотрение конкретного примера позволит нам наглядно продемонстрировать выполнение перехода от неприведенного квадратного уравнения к приведенному.

Полные и неполные квадратные уравнения

Обратимся к определению квадратного уравнения. В нем мы уточнили, что $a\ne 0$. Подобное условие необходимо, чтобы уравнение $a·x^2+b·x+c=0$ было именно квадратным, поскольку при $a=0$ оно по сути преобразуется в линейное уравнение $b·x+c=0$.

В случае же, когда коэффициенты $b$ и $c$ равны нулю (что возможно, как по отдельности, так и совместно), квадратное уравнение носит название неполного.

Порассуждаем, почему типам квадратных уравнений даны именно такие названия.

При $b=0$ квадратное уравнение примет вид $a·x^2+0·x+c=0$, что то же самое, что $a·x^2+c=0$. При $c=0$ квадратное уравнение записано как $a·x^2+b·x+0=0$, что равносильно $a·x^2+b·x=0$. При $b=0$ и $c=0$ уравнение примет вид $a·x^2=0$. Уравнения, которые мы получили, отличны от полного квадратного уравнения тем, что в их левых частях не содержится либо слагаемого с переменной $x$, либо свободного члена, либо обоих сразу. Собственно, этот факт и задал название такому типу уравнений – неполное.

Например, $x^2+3·x+4=0$ и $-7·x^2-2·x+1,3=0$– это полные квадратные уравнения; $x^2=0, -5·x^2=0; 11·x^2+2=0, -x^2-6·x=0$ – неполные квадратные уравнения.

Решение неполных квадратных уравнений

Заданное выше определение дает возможность выделить следующие виды неполных квадратных уравнений:

• $a·x^2=0$, такому уравнению соответствуют коэффициенты $b=0$ и$c=0$;
• $a·x^2+c=0$ при $b=0$;
• $a·x^2+b·x=0$ при $c=0$.

Рассмотрим последовательно решение каждого вида неполного квадратного уравнения.

Решение уравнения a·x²=0

Как уже было указано выше, такому уравнению отвечают коэффициенты $b$ и $c$, равные нулю. Уравнение $a·x^2=0$ возможно преобразовать в равносильное ему уравнение $x^2=0$, которое мы получим, поделив обе части исходного уравнения на число $a$, не равное нулю. Очевидный факт, что корень уравнения $x^2=0$ это нуль, поскольку $0^2=0$. Иных корней это уравнение не имеет, что объяснимо свойствами степени: для любого числа $p$, не равного нулю, верно неравенство $p^2>0$, из чего следует, что при $p\ne 0$ равенство $p^2=0$ никогда не будет достигнуто.

Решение уравнения $a·x^2+c=0$

На очереди - решение неполных квадратных уравнений, где $b=0, c\ne 0$, то есть уравнений вида $a·x^2+c=0$. Преобразуем это уравнение, перенеся слагаемое из одной части уравнения в другую, сменив знак на противоположный и разделив обе части уравнения на число, не равное нулю:

• переносим $c$ в правую часть, что дает уравнение $a·x^2=-c$;
• делим обе части уравнения на $a$, получаем в итоге $x=-\frac{c}{a}$.

Наши преобразования являются равносильными, соответственно полученное уравнение также равносильно исходному, и этот факт дает возможность делать вывод о корнях уравнения. От того, каковы значения $a$ и $c$ зависит значение выражения  $-\frac{c}{a}$: оно может иметь знак  минус (допустим, если $a=1$ и $c=2$, тогда $-\frac{c}{a}=-\frac{2}{1}=-2$ ) или знак плюс (например, если $a=-2$ и $c=6$, то $-\frac{c}{a}=-\frac{6}{-2}=3$ ); оно не равно нулю, поскольку $c\ne 0$. Подробнее остановимся на ситуациях, когда  $-\frac{c}{a}<0$ и $-\frac{c}{a}>0$.

В случае, когда $-\frac{c}{a}<0$,  уравнение $x^2=-\frac{c}{a}$ не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при $-\frac{c}{a}<0$  ни для какого числа $p$ равенство $p^2=-\frac{c}{a}$  не может быть верным.

Все иначе, когда $-\frac{c}{a}>0$: вспомним о квадратном корне, и станет очевидно, что корнем уравнения $x^2=-\frac{c}{a}$ будет число $\sqrt{-\frac{c}{a}}$, поскольку ${\left(\sqrt{-\frac{c}{a}}\right)}^2=-\frac{c}{a}$. Нетрудно понять, что число $-\sqrt{-\frac{c}{a}}$ - также корень уравнения $x^2=-\frac{c}{a}$: действительно, ${\left(-\sqrt{-\frac{c}{a}}\right)}^2=-\frac{c}{a}$.

Прочих корней уравнение не будет иметь. Мы можем это продемонстрировать, используя метод от противного. Для начала зададим обозначения найденных выше корней как _{$x_1$} и _{$-x_1$}. Выскажем предположение, что уравнение  $x^2=-\frac{c}{a}$ имеет также корень $x_2$, который отличается от корней _{$x_1$} и _{$-x_1$}. Мы знаем, что, подставив в уравнение вместо $x$ его корни, преобразуем уравнение в справедливое числовое равенство.

Для _{$x_1$} и _{$-x_1$} запишем: $x_1^2=-\frac{c}{a}$ , а для $x_2$ - $x_2^2=-\frac{c}{a}$  . Опираясь на свойства числовых равенств, почленно вычтем одно верное равенство из другого, что даст нам: $x_1^2-x_2^2=0$. Используем свойства действий с числами, чтобы переписать последнее равенство как $(x_1-x_2)·(x_1+x_2)=0$. Известно, что произведение двух чисел есть нуль тогда и только тогда, когда хотя бы одно из чисел является нулем. Из сказанного следует, что $x_1-x_2=0$ и/или $x_1+x_2=0$, что то же самое, $x_2=x_1$ и/или $x_2=-x_1$. Возникло очевидное противоречие, ведь  вначале было условлено, что корень уравнения $x_2$ отличается от _{$x_1$} и _{$-x_1$}. Так, мы доказали, что уравнение  не имеет иных корней, кроме $x=\sqrt{-\frac{c}{a}}$ и $x=-\sqrt{-\frac{c}{a}}$.

Резюмируем все рассуждения выше.

Приведем примеры решения уравнений $a·x^2+c=0$.

Решение уравнения a·x²+b·x=0

Разберем третий вид неполных квадратных уравнений, когда $c=0$. Чтобы найти решение неполного квадратного уравнения $a·x^2+b·x=0$, воспользуемся методом разложения на множители. Разложим на множители многочлен, который находится в левой части уравнения, вынеся за скобки общий множитель $x$. Этот шаг даст возможность преобразовать исходное неполное квадратное уравнение в равносильное ему $x·(a·x+b)=0$. А это уравнение, в свою очередь,  равносильно совокупности уравнений $x=0$ и $a·x+b=0$. Уравнение $a·x+b=0$ линейное, и корень его: $x=-\frac{b}{a}$.

Закрепим материал примером.

Дискриминант, формула корней квадратного уравнения

Для нахождения решения квадратных уравнений существует формула корней:

Запись $x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2·a}$ по сути означает, что $x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2·a}, x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2·a}$.

Нелишним будет понимать, как была выведена указанная формула и каким образом ее применять.

Вывод формулы корней квадратного уравнения

Пускай перед нами стоит задача решить квадратное уравнение $a·x^2+b·x+c=0$. Осуществим ряд равносильных преобразований:

• разделим обе части уравнения на число a, отличное от нуля, получим приведенное квадратное уравнение: $x^2+\frac{b}{a}·x+\frac{c}{a}=0$;
• выделим полный квадрат в левой  части получившегося уравнения:
  $$\begin{gathered} x^2+\frac{b}{a}·x+\frac{c}{a}=x^2+2·\frac{b}{2·a}·x+{\left(\frac{b}{2·a}\right)}^2-{\left(\frac{b}{2·a}\right)}^2+\frac{c}{a}= \\ ={\left(x+\frac{b}{2·a}\right)}^2-{\left(\frac{b}{2·a}\right)}^2+\frac{c}{a} \end{gathered}$$
  После этого уравнения примет вид: ${\left(x+\frac{b}{2·a}\right)}^2-{\left(\frac{b}{2·a}\right)}^2+\frac{c}{a}=0$;
• теперь возможно сделать перенос двух последних слагаемых в правую часть, сменив знак на противоположный, после чего получаем: ${\left(x+\frac{b}{2·a}\right)}^2={\left(\frac{b}{2·a}\right)}^2-\frac{c}{a}$;
• наконец, преобразуем выражение, записанное в правой части последнего равенства:
  ${\left(\frac{b}{2·a}\right)}^2-\frac{c}{a}=\frac{b^2}{4·a^2}-\frac{c}{a}=\frac{b^2}{4·a^2}-\frac{4·a·c}{4·a^2}=\frac{b^2-4·a·c}{4·a^2}$.

Таким образом, мы пришли к уравнению ${\left(x+\frac{b}{2·a}\right)}^2=\frac{b^2-4·a·c}{4·a^2}$, равносильному исходному уравнению $a·x^2+b·x+c=0$.

Решение подобных уравнений мы разбирали в предыдущих пунктах (решение неполных квадратных уравнений). Уже полученный опыт дает возможность сделать вывод касательно корней уравнения ${\left(x+\frac{b}{2·a}\right)}^2=\frac{b^2-4·a·c}{4·a^2}$:

• при $\frac{b^2-4·a·c}{4·a^2}<0$ уравнение не имеет действительных решений;
• при $\frac{b^2-4·a·c}{4·a^2}=0$ уравнение имеет вид ${\left(x+\frac{b}{2·a}\right)}^2=0$, тогда $x+\frac{b}{2·a}=0$.

Отсюда очевиден единственный корень $x=\frac{-b}{2·a}$;

• при $\frac{b^2-4·a·c}{4·a^2}>0$ верным будет: $x+\frac{b}{2·a}=\sqrt{\frac{b^2-4·a·c}{4·a^2}}$ или $x=\frac{b}{2·a}-\sqrt{\frac{b^2-4·a·c}{4·a^2}}$, что то же самое, что $x+\frac{-b}{2·a}=\sqrt{\frac{b^2-4·a·c}{4·a^2}}$ или $x=\frac{-b}{2·a}-\sqrt{\frac{b^2-4·a·c}{4·a^2}}$,  т.е. уравнение имеет два корня.

Возможно сделать вывод, что наличие или отсутствие корней уравнения ${\left(x+\frac{b}{2·a}\right)}^2=\frac{b^2-4·a·c}{4·a^2}$ (а значит и исходного уравнения) зависит от знака выражения $\frac{b^2-4·a·c}{4·a^2}$, записанного в правой части. А знак этого выражения задается знаком числителя, (знаменатель $4·a^2$ всегда будет положителен), то есть, знаком выражения $b^2-4·a·c$. Этому выражению $b^2-4·a·c$ дано название - дискриминант квадратного уравнения и определена в качестве его обозначения буква $D$. Здесь можно записать суть дискриминанта – по его значению и знаку делают вывод, будет ли квадратное уравнение иметь действительные корни, и, если будет, то каково количество корней - один или два.

Вернемся к уравнению ${\left(x+\frac{b}{2·a}\right)}^2=\frac{b^2-4·a·c}{4·a^2}$. Перепишем его, используя обозначение дискриминанта:  ${\left(x+\frac{b}{2·a}\right)}^2=\frac{D}{4·a^2}$.

Вновь сформулируем выводы:

Так, результатом наших рассуждений стало выведение формулы корней квадратного уравнения:

$x=\frac{-b+\sqrt{D}}{2·a}, x=\frac{-b-\sqrt{D}}{2·a}$, дискриминант $D$ вычисляется по формуле $D=b^2-4·a·c$.

Данные формулы дают возможность при дискриминанте больше нуля определить оба действительных корня. Когда дискриминант равен нулю, применение обеих формул даст один и тот же корень, как единственное решение квадратного уравнения. В случае, когда дискриминант отрицателен, попытавшись использовать формулу корня квадратного уравнения, мы столкнемся с необходимостью извлечь квадратный корень из отрицательного числа, что выведет нас за рамки действительных чисел. При отрицательном дискриминанте у квадратного уравнения не будет действительных корней, но возможна пара комплексно сопряженных корней, определяемых теми же полученными нами формулами корней.

Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корней

Решить квадратное уравнение возможно, сразу задействуя формулу корней, но в основном так поступают при необходимости найти комплексные корни.

В основной же массе случаев обычно подразумевается поиск не комплексных, а действительных корней квадратного уравнения. Тогда оптимально перед тем, как использовать формулы корней квадратного уравнения, сначала определить дискриминант и удостовериться, что он не является отрицательным (в ином случае сделаем вывод, что у уравнения нет действительных корней), а после приступить к вычислению значения корней.

Рассуждения выше дают возможность сформулировать  алгоритм решения квадратного уравнения.

Отметим, что, когда дискриминант есть нуль, можно использовать формулу $x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2·a}$, она даст тот же результат, что и формула $x=\frac{-b}{2·a}$.

Рассмотрим примеры.

Примеры решения квадратных уравнений

Приведем решение примеров при различных значениях дискриминанта.

В школьной программе стандартно нет требования искать комплексные корни, поэтому, если в ходе решения дискриминант определен как отрицательный, сразу записывается ответ, что действительных корней нет.

Формула корней для четных вторых коэффициентов

Формула корней $x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2·a}$ $(D=b^2-4·a·c)$ дает возможность получить еще одну формулу, более компактную, позволяющую находить решения квадратных уравнений с четным коэффициентом при $x$ (либо с коэффициентом вида $2·n$, к примеру, $2 ·\sqrt{ 3}$ или $14·\ln 5=2·7·\ln 5$). Покажем, как выводится эта формула.

Пусть перед нами стоит задача найти решение квадратного уравнения $a·x^2+2·n·x+c=0$. Действуем по алгоритму: определяем дискриминант$D=(2·n{)}^2-4·a·c=4·n^2-4·a·c=4·(n^2-a·c)$, а затем используем формулу корней:

$$\begin{gathered} x=\frac{-2·n\pm \sqrt{D}}{2·a}, \\ x=\frac{-2·n\pm \sqrt{4·\left(n^2-a·c\right)}}{2·a}, \\ x=\frac{-2·n\pm 2\sqrt{n^2-a·c}}{2·a}, \\ x=\frac{-n\pm \sqrt{n^2-a·c}}{a}. \end{gathered}$$

Пусть выражение $n^2-a·c$ будет обозначено как $D_1$ (иногда его обозначают $D\text{'}$). Тогда формула корней рассматриваемого квадратного уравнения со вторым коэффициентом $2·n$ примет вид:

 $x=\frac{-n\pm \sqrt{D_1}}{a}$, где $D_1=n^2-a·c$.

Легко увидеть, что что $D=4·D_1$, или $D_1=\frac{D}{4}$. Иначе говоря, $D_1$ – это четверть дискриминанта. Очевидно, что знак $D_1$ такой же, как знак $D$, а значит знак $D_1$ также может служить индикатором наличия или отсутствия корней квадратного уравнения.

Упрощение вида квадратных уравнений

Иногда существует возможность оптимизировать вид исходного уравнения, что позволит упростить процесс вычисления корней.

К примеру, квадратное уравнение $12·x^2-4·x-7=0$ явно удобнее для решения, чем $1200·x^2-400·x-700=0$.

Чаще упрощение вида квадратного уравнения производится действиями умножения или деления его обеих частей на некое число. К примеру, выше мы показали упрощенную запись уравнения $1200·x^2-400·x-700=0$, полученную делением обеих его частей на $100$.

Такое преобразование возможно, когда коэффициенты квадратного уравнения не являются взаимно простыми числами. Тогда обычно осуществляют деление обеих частей уравнения на наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов.

Как пример используем квадратное уравнение $12·x^2-42·x+48=0$. Определим НОД абсолютных величин его коэффициентов: НОД$(12, 42, 48)=$НОД(НОД$(12, 42), 48$)$=$НОД$(6, 48)=6$. Произведем деление обеих частей исходного квадратного уравнения на 6 и получим равносильное ему квадратное уравнение $2·x^2-7·x+8=0$.

Умножением обеих частей квадратного уравнения обычно избавляются от дробных коэффициентов. При этом умножают на наименьшее общее кратное знаменателей его коэффициентов. К примеру, если каждую часть квадратного уравнения $\frac{1}{6}·x^2+\frac{2}{3}·x-3=0$ перемножить с НОК$(6, 3, 1)=6$, то оно станет записано в более простом виде $x^2+4·x-18=0$.

Напоследок отметим, что почти всегда избавляются от минуса при первом коэффициенте квадратного уравнения, изменяя знаки каждого члена уравнения, что достигается путем умножения (или деления) обеих частей на $-1$. К примеру, от квадратного уравнения $-2·x^2-3·x+7=0$ можно перейти к упрощенной его версии $2·x^2+3·x-7=0$.

Связь между корнями и коэффициентами

Уже известная нам формула корней квадратных уравнений $x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2·a}$ выражает корни уравнения через его числовые коэффициенты. Опираясь на данную формулу, мы имеем возможность задать другие зависимости между корнями и коэффициентами.

Самыми известными и применимыми являются формулы теоремы Виета:

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ и $x_2=\frac{c}{a}$.

В частности, для приведенного квадратного уравнения сумма корней есть второй коэффициент с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. К примеру, по виду квадратного уравнения $3·x^2-7·x+22=0$ возможно сразу определить, что сумма его корней равна $\frac{7}{3}$, а произведение корней - $\frac{22}{3}$.

Также можно найти ряд прочих связей между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Например, сумма квадратов корней квадратного уравнения может быть выражена через коэффициенты:

$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2{)}^2-2·x_1·x_2={\left(-\frac{b}{a}\right)}^2-2·\frac{c}{a}=\frac{b^2}{a^2}-\frac{2·c}{a}=\frac{b^2-2·a·c}{a^2}$.