Решение уравнений высших степеней

Содержание:

21 апреля 2023
8 минут
3246

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

В общем случае уравнение, имеющее степень выше $4$ , нельзя разрешить в радикалах. Но иногда мы все же можем найти корни многочлена, стоящего слева в уравнении высшей степени, если представим его в виде произведения многочленов в степени не более $4$ -х. Решение таких уравнений базируется на разложении многочлена на множители, поэтому советуем вам повторить эту тему перед изучением данной статьи.

Чаще всего приходится иметь дело с уравнениями высших степеней с целыми коэффициентами. В этих случаях мы можем попробовать найти рациональные корни, а потом разложить многочлен на множители, чтобы потом преобразовать его в уравнение более низкой степени, которое будет просто решить. В рамках этого материала мы рассмотрим как раз такие примеры.

Уравнения высшей степени с целыми коэффициентами

Все уравнения, имеющие вид $a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + . . . + a_{1} x + a_{0} = 0$ , мы можем привести к уравнению той же степени с помощью умножения обеих частей на ${(a_{n})}^{n - 1}$ и осуществив замену переменной вида $y = a_{n} x$ :

$a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + . . . + a_{1} x + a_{0} = 0 {(a_{n})}^{n} \cdot x^{n} + a_{n - 1} \cdot {(a_{n})}^{n - 1} \cdot x^{n - 1} + \dots + a_{1} \cdot (a_{n})^{n - 1} \cdot x + a_{0} \cdot (a_{n})^{n - 1} = 0 y = a_{n} x \Rightarrow y^{n} + b_{n - 1} y^{n - 1} + \dots + b_{1} y + b_{0} = 0$

Те коэффициенты, что получились в итоге, также будут целыми. Таким образом, нам нужно будет решить приведенное уравнение n-ной степени с целыми коэффициентами, имеющее вид $x^{n} + a_{n} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0$ .

Схема решения уравнения

Вычисляем целые корни уравнения. Если уравнение имеет целые корни, нужно искать их среди делителей свободного члена $a_{0}$ . Выпишем их и будем подставлять в исходное равенство по очереди, проверяя результат. Как только мы получили тождество и нашли один из корней уравнения, то можем записать его в виде $(x - x_{1}) \cdot P_{n - 1} (x) = 0$ . Здесь $x_{1}$ является корнем уравнения, а $P_{n - 1} (x)$ представляет собой частное от деления $x^{n} + a_{n} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}$ на $(x - x_{1})$ .

Подставляем остальные выписанные делители в $P_{n - 1} (x) = 0$ , начав с $x_{1}$ , поскольку корни могут повторяться. После получения тождества корень $x_{2}$ считается найденным, а уравнение может быть записано в виде $(x - x_{1}) (x - x_{2}) \cdot P_{n - 2} (x) = 0$ .Здесь $P_{n - 2} (x)$ будет частным от деления $P_{n - 1} (x)$ на $(x - x_{2})$ .

Продолжаем и дальше перебирать делители. Найдем все целые корни и обозначим их количество как $m$ . После этого исходное уравнение можно представить как $(x - x_{1}) (x - x_{2}) \cdot \dots \cdot (x - x_{m}) \cdot P_{n - m} (x) = 0$ . Здесь $P_{n - m} (x)$ является многочленом $n$ - $m$ -ной степени. Для подсчета удобно использовать схему Горнера.

Если у нас исходное уравнение имеет целые коэффициенты, мы не можем получить в итоге дробные корни.

У нас в итоге получилось уравнение $P_{n - m} (x) = 0$ , корни которого могут быть найдены любым удобным способом. Они могут быть иррациональными или комплексными.

Покажем на конкретном примере, как применяется такая схема решения.

Пример 2

Условие: решите уравнение $x^{4} - x^{3} - 5 x^{2} + 12 = 0$ .

Решение

У свободного члена есть делители $1, - 1, 2, - 2, 3, - 3, 4, - 4, 6, - 6, 12, - 12$ .

Проверяем их по порядку:

$1^{4} - 1^{3} - 5 \cdot 1^{2} + 12 = 7 \neq 0 (- 1)^{4} - (- 1)^{3} - 5 \cdot (- 1)^{2} + 12 = 9 \neq 0 2^{4} \cdot 2^{3} - 5 \cdot 2^{2} + 12 = 0$

Значит, $x = 2$ будет корнем уравнения. Разделим $x^{4} - x^{3} - 5 x^{2} + 12$ на $х - 2$ , воспользовавшись схемой Горнера:

$x_{i}$	коэффициенты многочлена
	$1$	$- 1$	$- 5$	$0$	$12$
$2$	$1$	$- 1 + 1 \cdot 2 = 1$	$- 5 + 1 \cdot 2 = - 3$	$0 - 3 \cdot 2 = 3$	$12 - 6 \cdot 2 = 0$

В итоге мы получим $(x - 2) (x^{3} + x^{2} - 3 x - 6) = 0$ .

Проверяем делители дальше, но уже для равенства $x^{3} + x^{2} - 3 x - 6 = 0$ , начиная с двойки.

$2^{3} + 2^{2} - 3 \cdot 2 - 6 = 0$

Значит, $2$ опять будет корнем. Разделим $x^{3} + x^{2} - 3 x - 6 = 0$ на $x - 2$ :

$x_{i}$	коэффициенты многочлена
	$1$	$1$	$- 3$	$- 6$
$2$	$1$	$1 + 1 \cdot 2 = 3$	$- 3 + 3 \cdot 2 = 3$	$- 6 + 3 \cdot 2 = 0$

В итоге получим $(x - 2)^{2} \cdot (x^{2} + 3 x + 3) = 0$ .

Проверка оставшихся делителей смысла не имеет, поскольку равенство $x^{2} + 3 x + 3 = 0$ быстрее и удобнее решить с помощью дискриминанта.

Решим квадратное уравнение:

$x^{2} + 3 x + 3 = 0 D = 3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3 = - 3 < 0$

Получаем комплексно сопряженную пару корней: $x = - \frac{3}{2} \pm i \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Ответ: $x = - \frac{3}{2} \pm i \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Пример 3

Условие: найдите для уравнения $x^{4} + \frac{1}{2} x^{3} - \frac{5}{2} x - 3 = 0$ действительные корни.

Решение

$x^{4} + \frac{1}{2} x^{3} - \frac{5}{2} x - 3 = 0 2 x^{4} + x^{3} - 5 x - 6 = 0$

Выполняем домножение $2^{3}$ обеих частей уравнения:

$2 x^{4} + x^{3} - 5 x - 6 = 0 2^{4} \cdot x^{4} + 2^{3} x^{3} - 20 \cdot 2 \cdot x - 48 = 0$

Заменяем переменные $y = 2 x$ :

$2^{4} \cdot x^{4} + 2^{3} x^{3} - 20 \cdot 2 \cdot x - 48 = 0 y^{4} + y^{3} - 20 y - 48 = 0$

В итоге у нас получилось стандартное уравнение $4$ -й степени, которое можно решить по стандартной схеме. Проверим делители, разделим и получим в итоге, что оно имеет $2$ действительных корня $y = - 2, y = 3$ и два комплексных. Решение целиком здесь мы не будем приводить. В силу замены действительными корнями данного уравнения будут $x = \frac{y}{2} = \frac{- 2}{2} = - 1$ и $x = \frac{y}{2} = \frac{3}{2}$ .