Формулы двойного угла в тригонометрии

Формулы двойного угла служат для выражения синусов, косинусов, тангенсов, котангенсов угла со значением $2\alpha$, используя тригонометрические функции угла $\alpha$. Данная статья познакомит со всеми формулами двойного угла с доказательствами. Будут рассмотрены примеры применения формул. В заключительной части будут показаны формулы тройного, четверного углов.

Список формул двойного угла

Для преобразования формул двойного угла следует помнить о том, что углы в тригонометрии имеют вид $n\alpha$ записи, где $n$ является натуральным числом, значение выражение записывается без скобок. Таким образом, считается, что запись $\sin n\alpha$имеет то же значение, что и $\sin \left(n\alpha \right)$. При обозначении ${\sin }^n \alpha$ имеем аналогичную запись$(\sin \alpha {)}^n$. Использование записи применимо для всех тригонометрических функций со степенями $n$.

Ниже приведены формулы двойного угла:

$$\begin{gathered} \sin 2\alpha =2·\sin \alpha ·\cos \alpha \\ \cos 2\alpha ={\cos }^2 \alpha -{\sin }^2 \alpha , \cos 2\alpha =1-2·{\sin }^2 \alpha , \cos 2\alpha =2·{\cos }^2 \alpha -1 \\ tg 2\alpha =\frac{2·tg \alpha }{1-t{g}^2 \alpha } \\ ctg 2\alpha -\frac{ct{g}^2 \alpha -1}{2·ctg \alpha } \end{gathered}$$

Отметим, что данные формулы $\sin$ и $\cos$ применимы с любым значением угла $\alpha$. Формула тангенса двойного угла справедлива при любом значении $\alpha$, где $tg 2\alpha$ имеет смысл, то есть $\alpha \ne \frac{\mathrm{\pi }}{4}+\frac{\mathrm{\pi }}{2}·z$, $z$ является любым целым числом. Котангенс двойного угла существует при любом $\alpha$, где $ctg 2\alpha$ определен на $\alpha \ne \frac{\pi }{2}·z$.

Косинус двойного угла имеет тройную запись двойного угла. Все они являются применимыми.

Доказательство формул двойного угла

Доказательство формул берет начало из формул сложения. Применим формулы синуса суммы:

$\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha ·\cos \beta +\cos \alpha ·\sin \beta$и косинуса суммы $\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha ·\cos \beta -\sin \alpha ·\sin \beta$. Предположим, что $\beta =\alpha$, тогда получим, что

$\sin (\alpha +\alpha )=\sin \alpha ·\cos \alpha +\cos \alpha ·\sin \alpha =2·\sin \alpha ·\cos \alpha$ и $\cos (\alpha +\alpha )=\cos \alpha ·\cos \alpha -\sin \alpha ·\sin \alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha$

Таким образом доказываются формулы синуса и косинуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2·\sin \alpha ·\cos \alpha$ и $\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha$.

Остальные формулы $\cos 2\alpha =1-2·{\sin }^2 \alpha$ и $\cos 2\alpha =2·{\cos }^2 \alpha -1$ приводят к виду $\cos 2\alpha =\cos 2\alpha ={\cos }^2 \alpha -{\sin }^2 \alpha$, при замене $1$ на сумму квадратов по основному тождеству${\sin }^2 \alpha +{\cos }^2 \alpha =1$. Получаем, что ${\sin }^2 \alpha +{\cos }^2 \alpha =1$.  Так $1-2·{\sin }^2 \alpha ={\sin }^2 \alpha +{\cos }^2 \alpha -2·{\sin }^2 \alpha ={\cos }^2 \alpha -{\sin }^2 \alpha$ и $2·{\cos }^2 \alpha -1=2·{\cos }^2 \alpha -({\sin }^2 \alpha + {\cos }^2 \alpha )={\cos }^2 \alpha -{\sin }^2 \alpha .$

Для доказательства формул двойного угла тангенса и котангенса применим равенства $tg 2\alpha =\frac{\sin 2\alpha }{\cos 2\alpha }$ и $ctg 2\alpha =\frac{\cos 2\alpha }{\sin 2\alpha }$. После преобразования получим, что $tg 2\alpha =\frac{\sin 2\alpha }{\cos 2\alpha }=\frac{2·\sin \alpha ·\cos \alpha }{{\cos }^2 \alpha -{\sin }^2 \alpha }$ и $ctg 2\alpha =\frac{\cos 2\alpha }{\sin 2\alpha }=\frac{{\cos }^2 \alpha -{\sin }^2 \alpha }{2·\sin \alpha ·\cos \alpha }$. Разделим выражение на ${\cos }^2 \alpha$, где ${\cos }^2 \alpha \ne 0$ с любым значением $\alpha$, когда $tg \alpha$ определен. Другое выражение поделим на ${\sin }^{2 }\alpha$, где ${\sin }^2 \alpha \ne 0$ с любыми значениями $\alpha$, когда $ctg 2\alpha$ имеет смысл. Чтобы доказать формулу двойного угла для тангенса и котангенса, подставим и получим:

$$\begin{gathered} tg 2\alpha =\frac{\sin 2\alpha }{\cos 2\alpha }=\frac{2·\sin \alpha ·\cos \alpha }{{\cos }^2 \alpha -{\sin }^2 \alpha }=\frac{{\displaystyle \frac{2·\sin \alpha ·\cos \alpha }{{\cos }^2 \alpha }}}{{\displaystyle \frac{{\cos }^2 \alpha -{\sin }^2 \alpha }{{\cos }^2 \alpha }}}=\frac{2·{\displaystyle \frac{{\sin }^2 \alpha }{{\cos }^2 \alpha }}}{1-{\displaystyle \frac{{\sin }^2 \alpha }{{\cos }^2 \alpha }}}=\frac{2·tg \alpha }{1-t{g}^2 \alpha } \\ ctg 2\alpha =\frac{\cos 2\alpha }{\sin 2\alpha }=\frac{{\cos }^2 \alpha -{\sin }^2 \alpha }{2·\sin \alpha ·\cos }=\frac{{\displaystyle \frac{{\cos }^2 \alpha -{\sin }^2 \alpha }{{\sin }^2 \alpha }}}{{\displaystyle \frac{2·\sin \alpha ·\cos \alpha }{{\sin }^2 \alpha }}}=\frac{{\displaystyle \frac{{\cos }^2 \alpha }{{\sin }^2 \alpha }-1}}{2·\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }}=\frac{ct{g}^2 \alpha -1}{2·ctg \alpha } \end{gathered}$$

Примеры использования формул двойного угла

Данный пункт показывает несколько примеров решения с формулами двойного угла. Конкретные примеры помогут глубже понять изучаемый материал. Чтобы убедиться в справедливости формул $2\alpha$ для $\alpha =30°$, применим значения тригонометрических функций для этих углов. Если $\alpha =30°$, тогда $2\alpha =60°$. Проверим значения $\sin 60°=2·\sin 30°·\cos 30°, \cos 60°={\cos }^2 30°-{\sin }^2 30°$.

Подставив значения, получим $tg 60°= \frac{2·tg 30°}{1-t{g}^2 30°}$ и $ctg 60°=\frac{ct{g}^{2}30°-1}{2·ctg 30°}.$.

Известно, что $\sin 30°=\frac{1}{2}, \cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}, tg 30°=\frac{\sqrt{3}}{3}, ctg 30°=\sqrt{3}$ и

$\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}, \cos 60°=\frac{1}{2}, tg 60°=\sqrt{3}, ctg 60°=\frac{\sqrt{3}}{3}$, тогда отсюда видим, что

$$\begin{gathered} 2·\sin 30°·\cos 30°=2·\frac{1}{2}·\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}, {\cos }^{2}30°-{\sin }^{2}30°=(\frac{\sqrt{3}}{2}{)}^2-(\frac{1}{2}{)}^2=\frac{1}{2}, \\ \frac{2·tg 30°}{1-t{g}^{2}30°}=\frac{2·{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}}{1-\left({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}\right)}=\sqrt{3} \end{gathered}$$ 

и  $\frac{ct{g}^{2}30°-1}{2·ctg 30°}=\frac{(\sqrt{3}{)}^2-1}{2·\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

Проведя вычисления, можно сделать вывод, что справедливость для $\alpha =30°$ подтверждена.

Основное использование тригонометрических формул двойного угла – это преобразования тригонометрических выражений. Рассмотрим пример применения двойного угла, года имеем угол, отличный от $2\alpha$. В примере допускается применение формулы двойного угла $\frac{3\pi }{5}$. Тогда его необходимо преобразовать, в результате чего получим $\alpha =\frac{3\pi }{5}:2=\frac{3\pi }{10}$. Отсюда следует, что формула двойного угла для косинуса будет иметь вид$\cos \frac{3\pi }{5}={\cos }^2\frac{3\pi }{10}-{\sin }^2\frac{3\pi }{10}$.

Формулы тройного, четверного и т.д. угла

Таким же образом выводятся формулы тройного, четверного и т.д. углов. Формулы тройного угла можно вывести из формул сложения двойного угла.

$$\begin{gathered} \sin 3\alpha =\sin (2\alpha +\alpha )=\sin 2\alpha ·\cos \alpha +\cos 2\alpha ·\sin \alpha =2·\sin \alpha ·\cos \alpha ·\cos \alpha + ({\cos }^2 \alpha -{\sin }^2\alpha )·\sin \alpha = \\ =3·\sin \alpha ·{\cos }^2\alpha -{\sin }^3 \alpha \end{gathered}$$

При замене ${\cos }^2\alpha$ на $1-{\sin }^2\alpha$ из формулы $\sin 3\alpha =3·\sin \alpha ·{\cos }^2\alpha -{\sin }^3\alpha$, она будет иметь вид $\sin 3\alpha =3·\sin \alpha -4·{\sin }^3 \alpha$.

Так же приводится формула косинуса тройного угла:

$$\begin{gathered} \cos 3\alpha =\cos (2\alpha +\alpha )=\cos 2\alpha ·\cos \alpha -\sin 2\alpha ·\sin \alpha = \\ =({\cos }^2 \alpha -{\sin }^2 \alpha )·\cos \alpha -2·\sin \alpha ·\cos \alpha ·\sin \alpha ={\cos }^3\alpha -3·{\sin }^2\alpha ·\cos \alpha \end{gathered}$$

При замене ${\sin }^2 \alpha$ на $1-{\cos }^2 \alpha$ получим формулу вида $\cos 3\alpha =-3·\cos \alpha +4·{\cos }^3 \alpha$.

При помощи полученных формул преобразуем формулу тройного угла для тангенса и котангенса тройного угла:

$$\begin{gathered} tg 3\alpha =\frac{\sin 3\alpha }{\cos 3\alpha }=\frac{3·\sin \alpha ·{\cos }^2 \alpha -{\sin }^3 \alpha }{{\cos }^3\alpha -3·{\sin }^2\alpha ·\cos \alpha }=\frac{{\displaystyle \frac{3·\sin \alpha ·{\cos }^2\alpha -{\sin }^3\alpha }{{\cos }^3\alpha }}}{{\displaystyle \frac{{\cos }^3\alpha -3·{\sin }^2\alpha ·\cos \alpha }{{\cos }^3\alpha }}}= \\ =\frac{3·{\displaystyle \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }}-{\displaystyle \frac{{\sin }^3\alpha }{{\cos }^3\alpha }}}{1-3·{\displaystyle \frac{{\sin }^2 \alpha }{{\cos }^2 \alpha }}}=\frac{3·tg \alpha -t{g}^3\alpha }{1-3·t{g}^2\alpha }; \\ ctg 3\alpha =\frac{\cos 3\alpha }{\sin 3\alpha }=\frac{{\cos }^3 \alpha -3·{\sin }^2\alpha ·\cos \alpha }{3·\sin \alpha ·{\cos }^2\alpha -{\sin }^3\alpha }=\frac{{\displaystyle \frac{{\cos }^3\alpha -3·{\sin }^2\alpha ·\cos \alpha }{{\sin }^3\alpha }}}{{\displaystyle \frac{3·\sin \alpha ·{\cos }^2\alpha -{\sin }^3\alpha }{{\sin }^3\alpha }}}= \\ =\frac{{\displaystyle \frac{{\cos }^3\alpha }{{\sin }^3\alpha }}-3·{\displaystyle \frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }}}{3·{\displaystyle \frac{{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }}-1}=\frac{ct{g}^3\alpha -3·ctg\alpha }{3·ct{g}^2\alpha -1} \end{gathered}$$

Чтобы выводить формулы четвертой степени, имеет смысл представить $4\alpha$ как $2·2\alpha$, тогда имеет место использование формулы двойного угла два раза. Для выводы формулы $5$ степени, представляем $5\alpha$ в виде $3\alpha +2\alpha$, что позволит применить формулы тройного и двойного углов для ее преобразования. Таким же образом делаются преобразования разных степеней тригонометрических функций. Их применение достаточно редкое в тригонометрии.