Формулы понижения степени в тригонометрии

Тригонометрические формулы обладают рядом свойств, одно из которых это применение формул понижения степени. Они способствуют упрощению выражений при помощи уменьшения степени.

Формулы понижения степени, их доказательство

Ниже приводится таблица формул понижения степени со $2$ по $4$ для $\sin$ и $\cos$ угла. После ознакомления с ними зададим общую формулу для всех степеней.

$$\begin{gathered} {\sin }^2\alpha =\frac{1-\cos 2\alpha }{2} \\ {\cos }^2\alpha =\frac{1+\cos 2\alpha }{2} \\ {\sin }^3=\frac{3·\sin \alpha -\sin 3\alpha }{4} \\ {\sin }^4=\frac{3-4·\cos 2\alpha +\cos 4\alpha }{8} \\ {\cos }^4 \alpha =\frac{3+4·\cos 2\alpha +\cos 4\alpha }{8} \end{gathered}$$

Данные формулы предназначены для понижения степени.

Существует формулы двойного угла у косинуса и синуса, из которых и следуют формулы понижения степени $\cos 2\alpha =1-2·{\sin }^2\alpha$ и $\cos 2\alpha =2·{\cos }^2\alpha -1$. Равенства разрешаются относительно квадрата синуса и косинуса, которые предоставляются как ${\sin }^2\alpha =\frac{1-\cos 2\alpha }{2}$ и ${\cos }^2\alpha =\frac{1+\cos 2\alpha }{2}$.

Формулы понижения степеней тригонометрических функций перекликаются с формулами синуса и косинуса половинного угла.

Имеет место применение формулы тройного угла  $\sin 3\alpha =3·\sin \alpha -4·{\sin }^3\alpha$и $\cos 3\alpha =-3·\cos \alpha +4·{\cos }^3\alpha$.

Если решать равенство относительно синуса и косинуса в кубе, получим формулы понижения степеней для синуса и косинуса:

${\sin }^3\alpha =\frac{3-4·\cos 2\alpha +\cos 4\alpha }{8}$ и ${\cos }^3\alpha =\frac{3·\cos \alpha +\cos 3\alpha }{4}$.

Формулы четвертой степени тригонометрических функций выглядят так: ${\sin }^4\alpha =\frac{3-4·\cos 2\alpha +\cos 4\alpha }{8}$ и ${\cos }^4\alpha =\frac{3+4·\cos 2\alpha +\cos 4\alpha }{8}$.

Чтобы понизить степени эти выражений, можно действовать в 2 этапа, то есть дважды понижать, тогда это выглядит таким образом:

$$\begin{gathered} {\sin }^4\alpha =({\sin }^2\alpha {)}^2=(\frac{1-\cos 2\alpha }{2}{)}^2=\frac{1-2·\cos 2\alpha +{\cos }^{2}2\alpha }{4}= \\ =\frac{1-2·\cos 2\alpha +{\displaystyle \frac{1+\cos 4\alpha }{2}}}{4}=\frac{3-4·\cos 2\alpha +\cos 4\alpha }{8}; \\ {\cos }^4\alpha =({\cos }^2\alpha {)}^2=(\frac{1+\cos 2\alpha }{2}{)}^2=\frac{1+2·\cos 2\alpha +{\cos }^{2}2\alpha }{4}= \\ ==\frac{1+2·\cos 2\alpha +{\displaystyle \frac{1+\cos 4\alpha }{2}}}{4}=\frac{3+4·\cos 2\alpha +\cos 4\alpha }{8} \end{gathered}$$

Методом подстановки мы упростили сложное выражение. Для того, чтобы записать общий вид формул понижения степени разделим их на с наличием четных и нечетных показателей. Четные показатели, где $n=2, 4, 6\dots$, выражение имеет вид ${\sin }^n\alpha =\frac{{C_{{\displaystyle \frac{n}{2}}}}^n}{2^n}+\frac{1}{2^{n-1}}·\underset{k=0}{\overset{{\displaystyle \frac{n}{2}}-1}{\sum (-1{)}^{\frac{n}{2}-k}}}·C_k^n·\cos \left(\right(n-2·k\left)\alpha \right)$ и ${\cos }^n\alpha =\frac{C_{\frac{n}{2}}^n}{2^n}+\frac{1}{2^{n-1}}\underset{k=0}{\overset{{\displaystyle \frac{n}{2}}-1}{\sum (-1{)}^{\frac{n}{2}-k}}}·C_k^n·\cos \left(\right(n-2·k\left)\alpha \right)$.

Нечетные показатели, где $n=3, 5, 7$…, выражение имеет вид

${\sin }^n\alpha =\frac{1}{2^{n-1}}·\underset{k=0}{\overset{{\displaystyle \frac{n-1}{2}}}{\sum (-1{)}^{\frac{n-1}{2}-k}}}·C_k^n·\cos \left(\right(n-2·k\left)\alpha \right)$ и ${\cos }^n\alpha =\frac{1}{2^{n-1}}\underset{k=0}{\overset{{\displaystyle \frac{n-1}{2}}}{\sum (-1{)}^{\frac{n-1}{2}-k}}}·C_k^n·\cos \left(\right(n-2·k\left)\alpha \right)$.

$C_p^q=\frac{p!}{q!·(p-q)!}$ - это число сочетаний из $p$ элементов по $q$.

Формулы понижения степени общего вида используются на любого выражения с высокой степенью для его упрощения. Рассмотрим пример для понижения кубического синуса. Третья степень нечетная, значит воспользуемся формулой ${\sin }^n\alpha =\frac{1}{2^{n-1}}·\underset{k=0}{\overset{{\displaystyle \frac{n-1}{2}}-k}{\sum (-1{)}^{{\displaystyle \frac{n-2}{2}}-k}}}·C_k^n·\sin \left(\right(n-2·k\left)\alpha \right)$ где значение $n$ присвоим $3$. Подставляя $n=3$ в выражение, получим

$$\begin{gathered} {\sin }^3\alpha =\frac{1}{2^{3-1}}·\underset{k=0}{\overset{{\displaystyle \frac{3-1}{2}-k}}{\sum (-1{)}^{{\displaystyle \frac{3-1}{2}}-k}}}·C_k^3·\sin \left(\right(3-2·k\left)\alpha \right)= \\ =\frac{1}{4}\underset{k=0}{\overset{1}{·\sum (-1{)}^{1-k}}}·C_k^3·\sin \left(\right(3-2·k\left)\alpha \right)= \\ =\frac{1}{4}·\left(\right(-1{)}^{1-0}·C_0^3·\sin \left(\right(3-2·0\left)\alpha \right) +(1{)}^{1-1}·C_1^3·\sin ((3-2·1)\alpha \left)\right)= \\ =\frac{1}{4}·\left(\right(-1{)}^1·\frac{3!}{0!·3!}·\sin 3\alpha +(-1{)}^0·\frac{3!}{1!·(3-1)!}·\sin \alpha )= \\ =\frac{1}{4}·(-\sin 3\alpha +3·\sin \alpha )=\frac{3·\sin \alpha -\sin 3\alpha }{4} \end{gathered}$$

Примеры применения формул понижения степени

Чтобы закрепить материал, необходимо детально разобрать его на примерах с использованием формулы понижения степени. Таким образом будет понятен принцип решения, подстановка и весь алгоритм.

Для решения сложных тригонометрических уравнений применяют формулы понижения степени. Они способны упростить выражение и сделать его намного удобным для вычислений или подстановки числовых значений.