Нахождение значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса

Содержание:

10 ноября 2023
8 минут
10418

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

В данной статье рассматриваются вопросы нахождения значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса заданного числа. Для начала вводятся понятия арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Рассматриваем основные их значения, по таблицам, в том числе и Брадиса, нахождение этих функций.

Значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса

Необходимо разобраться в понятиях «значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса».

Определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа помогут разобраться в вычислении заданных функций. Значение тригонометрических функций угла равняется числу $a$ , тогда автоматически считается величиной этого угла. Если $a$ – число, тогда это и есть значение функции.

Для четкого понимания рассмотрим пример.

Если имеем арккосинус угла равного $\frac{π}{3}$ , то значение косинуса отсюда равно $\frac{1}{2}$ по таблице косинусов. Данный угол расположен в промежутке от нуля до пи, значит, значение арккосинуса $\frac{1}{2}$ получим $π$ на $3$ . Такое тригонометрическое выражение записывается как $a r \cos (\frac{1}{2}) = \frac{π}{3}$ .

Величиной угла может быть как градус, так и радиан. Значение угла $\frac{π}{3}$ равняется углу в $60$ градусов (подробней разбирается в теме перевода градусов в радианы и обратно). Данный пример с арккосинусом $\frac{1}{2}$ имеет значение $60$ градусов. Такая тригонометрическая запись имеет вид $a r c \cos \frac{1}{2} = 60 °$

Основные значения arcsin, arccos, arctg и arctg

Благодаря таблице синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов, мы имеет точные значения угла при $0, \pm 30, \pm 45, \pm 60, \pm 90, \pm 120, \pm 135, \pm 150, \pm 180$ градусов. Таблица достаточно удобна и из нее можно получать некоторые значения для аркфункций, которые имеют название как основные значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

Таблица синусов основных углов предлагает такие результаты значений углов:

$\sin (- \frac{π}{2}) = - 1, \sin (- \frac{π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2}, \sin (- \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2}, \sin (- \frac{π}{6}) = - \frac{1}{2}, \sin 0 = 0, \sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}, \sin \frac{π}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \sin \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \sin \frac{π}{2} = 1$

Учитывая их, можно легко высчитать арксинус числа всех стандартных значений, начиная от $- 1$ и заканчивая $1$ , также значения от $- \frac{π}{2}$ до $+ \frac{π}{2}$ радианов, следуя его основному значению определения. Это и является основными значениями арксинуса.

Для удобного применения значений арксинуса занесем в таблицу. Со временем придется выучить эти значения, так как на практике приходится часто к ним обращаться. Ниже приведена таблица арксинуса с радианным и градусным значением углов.

$α$		$- 1$	$- \frac{\sqrt{3}}{2}$	$- \frac{\sqrt{2}}{2}$	$- \frac{1}{2}$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$a r c \sin α к а к у г о л$	$в р а д и а н а х$	$- \frac{π}{2}$	$- \frac{π}{3}$	$- \frac{π}{4}$	$- \frac{π}{6}$	$0$	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{3}$
$a r c \sin α к а к у г о л$	$в г р а д у с а х$	$- 90 °$	$- 60 °$	$- 45 °$	$- 30 °$	$0 °$	$30 °$	$45 °$	$60 °$
$a r c \sin α к а к ч и с л о$		$- \frac{π}{2}$	$- \frac{π}{3}$	$- \frac{π}{4}$	$- \frac{π}{6}$	$0$	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{3}$

Для получения основных значений арккосинуса необходимо обратиться к таблице косинусов основных углов. Тогда имеем:

$\cos 0 = 1, \cos \frac{π}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \cos \frac{π}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}, \cos \frac{π}{2} = 0, \cos \frac{2 π}{3} = - \frac{1}{2}, \cos \frac{3 π}{4} = - \frac{\sqrt{2}}{2}, \cos \frac{5 π}{6} = - \frac{\sqrt{3}}{2}, \cos π = - 1$

Следуя из таблицы, находим значения арккосинуса:

$a r c \cos (- 1) = π, \arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{5 π}{6}, arcocos (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 π}{4}, \arccos (- \frac{1}{2}) = \frac{2 π}{3}, \arccos 0 = \frac{π}{2}, \arccos \frac{1}{2} = \frac{π}{3}, \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{π}{4}, \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{π}{6}, \arccos 1 = 0$

Таблица арккосинусов.

$α$		$- 1$	$- \frac{\sqrt{3}}{2}$	$- \frac{\sqrt{2}}{2}$	$- \frac{1}{2}$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$
$a r c \cos α к а к у г о л$	$в р а д и а н а х$	$π$	$\frac{5 π}{6}$	$\frac{3 π}{4}$	$\frac{2 π}{3}$	$\frac{π}{2}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{6}$	$0$
$a r c \cos α к а к у г о л$	$в г р а д у с а х$	$180 °$	$150 °$	$135 °$	$120 °$	$90 °$	$60 °$	$45 °$	$30 °$	$0 °$
$a r c \cos α к а к ч и с л о$		$π$	$\frac{5 π}{6}$	$\frac{3 π}{4}$	$\frac{2 π}{3}$	$\frac{π}{2}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{6}$	$0$

Таким же образом, исходя из определения и стандартных таблиц, находятся значения арктангенса и арккотангенса, которые изображены в таблице арктангенсов и арккотангенсов ниже.

$α$		$- \sqrt{3}$	$- 1$	$- \frac{\sqrt{3}}{3}$	$0$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$
$a r c t g a к а к у г о л$	$в р а д и а н а х$	$- \frac{π}{3}$	$- \frac{π}{4}$	$- \frac{π}{6}$	$0$	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{3}$
$a r c t g a к а к у г о л$	$в г р а д у с а х$	$- 60 °$	$- 45 °$	$- 30 °$	$0 °$	$30 °$	$45 °$	$60 °$
$a r c t g a к а к ч и с л о$		$- \frac{π}{3}$	$- \frac{π}{4}$	$- \frac{π}{6}$	$0$	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{3}$

Нахождение значений по таблицам синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса

$a r c \sin, a r c \cos, a r c t g$ и $a r c c t g$

Для точного значения $a r c \sin, a r c \cos, a r c t g$ и $a r c c t g$ числа а необходимо знать величину угла. Об этом сказано в предыдущем пункте. Однако, точное значении функции нам неизвестно. Если необходимо найти числовое приближенное значение аркфункций, применяют таблицу синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса.

Такая таблица позволяет выполнять довольно точные вычисления, так как значения даются с четырьмя знаками после запятой. Благодаря этому числа выходят точными до минуты. Значения $a r c \sin, a r c \cos, a r c t g$ и $a r c c t g$ отрицательных и положительных чисел сводится к нахождению формул $a r c \sin, a r c \cos, a r c t g$ и $a r c c t g$ противоположных чисел вида $a r c \sin (- α) = - a r c \sin α$ , $a r c \cos (- α) = π - a r c \cos α$ , $a r c t g (- α) = - a r c t g α$ , $a r c c t g (- α) = π - a r c c t g α$ .

Рассмотрим решение нахождения значений $a r c \sin, a r c \cos, a r c t g$ и $a r c c t g$ с помощью таблицы Брадиса.

Если нам необходимо найти значение арксинуса $0, 2857$ , ищем значение, найдя таблицу синусов. Видим, что данному числу соответствует значение угла $\sin 16$ градусов и $36$ минут. Значит, арксинус числа $0, 2857$ – это искомый угол в $16$ градусов и $36$ минут. Рассмотрим на рисунке ниже.

Нахождение значений по таблицам синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса

Правее градусов имеются столбцы называемые поправки. При искомом арксинусе $0, 2863$ используется та самая поправка в $0, 0006$ , так как ближайшим числом будет $0, 2857$ . Значит, получим синус $16$ градусов $38$ минут и $2$ минуты, благодаря поправке. Рассмотрим рисунок с изображением таблицы Брадиса.

Нахождение значений по таблицам синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса

Бывают ситуации, когда искомого числа нет в таблице и даже с поправками его не найти, тогда отыскивается два самых близких значения синусов. Если искомое число 0,2861573, то числа 0,2860 и 0,2863 являются ближайшими его значениями. Этим числам соответствуют значения синуса 16 градусов 37 минут и 16 градусов и 38 минут. Тогда приближенное значение данного числа можно определить с точностью до минуты.

Нахождение значений по таблицам синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса

Таким образом находятся значения $a r c \sin, a r c \cos, a r c t g$ и $a r c c t g$ .

Нахождение значения arcsin, arccos, arctg и arcctg

Чтобы найти арксинус через известный арккосинус данного числа, нужно применить тригонометрические формулы $a r c \sin α + a r c \cos α = \frac{π}{2}$ , $a r c t g α + a r c c t g α = \frac{π}{2}$ (не обходимо просмотреть тему формул суммы арккосинуса и арксинуса, суммы арктангенса и арккотангенса).

При известном $a r c \sin α = - \frac{π}{12}$ необходимо найти значение $a r c \cos α$ , тогда необходимо вычислить арккосинус по формуле:

$a r c \cos α = \frac{π}{2} - a r c \sin α = \frac{π}{2} - (- \frac{π}{12}) = \frac{7 π}{12}$ .

Если необходимо найти значение арктангенса или арккотангенса числа $a$ с помощью известного арксинуса или арккосинуса, необходимо производить долгие вычисления, так как стандартных формул нет. Рассмотрим на примере.

Если дан арккосинус числа а равный $\frac{π}{10}$ , а вычислить арктангенс данного числа поможет таблица тангенсов. Угол $\frac{π}{10}$ радиан представляет собой $18$ градусов, тогда по таблице косинусов видим, что косинус $18$ градусов имеет значение $0, 9511$ , после чего заглядываем в таблицу Брадиса.

Нахождение значения arcsin, arccos, arctg и arcctg