Основные тригонометрические формулы и тождества sin, cos, tg, ctg

Содержание:

26 ноября 2023
6 минут
11780

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Основные формулы тригонометрии - это формулы, устанавливающие связи между основными тригонометрическими функциями. Синус, косинус, тангенс и котангенс связаны между собой множеством соотношений. Ниже приведем основные тригонометрические формулы, а для удобства сгруппируем их по назначению. С использованием данных тригонометрических формул можно находить и решать практически любую задачу из стандартного курса тригонометрии. Сразу отметим, что ниже приведены лишь все тригонометрические формулы, а не их вывод, которому будут посвящены отдельные статьи.

Основные тождества тригонометрии

Тригонометрические тождества дают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, позволяя выразить одну функцию через другую (посредством преобразования).

Тригонометрические тождества

$\sin^{2} a + \cos^{2} a = 1 t g α = \frac{\sin α}{\cos α}, c t g α = \frac{\cos α}{\sin α} t g α \cdot c t g α = 1 t g^{2} α + 1 = \frac{1}{\cos^{2} α}, c t g^{2} α + 1 = \frac{1}{\sin^{2} α}$

Эти тождества напрямую вытекают из определений единичной окружности, синуса (sin), косинуса (cos), тангенса (tg) и котангенса (ctg) и их свойств.

Основные формулы приведения в тригонометрии

Формулы приведения позволяют переходить от работы с произвольными и сколь угодно большими углами к работе с углами в пределах от 0 до 90 градусов, то есть, преобразовывать их.

Формулы приведения

$\sin (α + 2 π z) = \sin α, \cos (α + 2 π z) = \cos α t g (α + 2 π z) = t g α, c t g (α + 2 π z) = c t g α \sin (- α + 2 π z) = - \sin α, \cos (- α + 2 π z) = \cos α t g (- α + 2 π z) = - t g α, c t g (- α + 2 π z) = - c t g α \sin (\frac{π}{2} + α + 2 π z) = \cos α, \cos (\frac{π}{2} + α + 2 π z) = - \sin α t g (\frac{π}{2} + α + 2 π z) = - c t g α, c t g (\frac{π}{2} + α + 2 π z) = - t g α \sin (\frac{π}{2} - α + 2 π z) = \cos α, \cos (\frac{π}{2} - α + 2 π z) = \sin α t g (\frac{π}{2} - α + 2 π z) = c t g α, c t g (\frac{π}{2} - α + 2 π z) = t g α \sin (π + α + 2 π z) = - \sin α, \cos (π + α + 2 π z) = - \cos α t g (π + α + 2 π z) = t g α, c t g (π + α + 2 π z) = c t g α \sin (π - α + 2 π z) = \sin α, \cos (π - α + 2 π z) = - \cos α t g (π - α + 2 π z) = - t g α, c t g (π - α + 2 π z) = - c t g α \sin (\frac{3 π}{2} + α + 2 π z) = - \cos α, \cos (\frac{3 π}{2} + α + 2 π z) = \sin α t g (\frac{3 π}{2} + α + 2 π z) = - c t g α, c t g (\frac{3 π}{2} + α + 2 π z) = - t g α \sin (\frac{3 π}{2} - α + 2 π z) = - \cos α, \cos (\frac{3 π}{2} - α + 2 π z) = - \sin α t g (\frac{3 π}{2} - α + 2 π z) = c t g α, c t g (\frac{3 π}{2} - α + 2 π z) = t g α$

Формулы приведения являются следствием периодичности тригонометрических функций.

Все формулы сложения в тригонометрии

Формулы сложения в тригонометрии позволяют выразить тригонометрическую функцию суммы или разности углов через тригонометрические функции этих углов.

Тригонометрические формулы сложения

$\sin (α \pm β) = \sin α \cdot \cos β \pm \cos α \cdot \sin β \cos (α + β) = \cos α \cdot \cos β - \sin α \cdot \sin β \cos (α - β) = \cos α \cdot \cos β + \sin α \cdot \sin β t g (α \pm β) = \frac{t g α \pm t g β}{1 \pm t g α \cdot t g β} c t g (α \pm β) = \frac{- 1 \pm c t g α \cdot c t g β}{c t g α \pm c t g β}$

На основе формул сложения выводятся тригонометрические формулы кратного угла.

Формулы кратного угла: двойного, тройного и т.д.

Формулы двойного и тройного угла

$\sin 2 α = 2 \cdot \sin α \cdot \cos α \cos 2 α = \cos^{2} α - \sin^{2} α, \cos 2 α = 1 - 2 \sin^{2} α, \cos 2 α = 2 \cos^{2} α - 1 t g 2 α = \frac{2 \cdot t g α}{1 - t g^{2} α} с t g 2 α = \frac{с t g^{2} α - 1}{2 \cdot с t g α} \sin 3 α = 3 \sin α \cdot \cos^{2} α - \sin^{3} α, \sin 3 α = 3 \sin α - 4 \sin^{3} α \cos 3 α = \cos^{3} α - 3 \sin^{2} α \cdot \cos α, \cos 3 α = - 3 \cos α + 4 \cos^{3} α t g 3 α = \frac{3 t g α - t g^{3} α}{1 - 3 t g^{2} α} c t g 3 α = \frac{c t g^{3} α - 3 c t g α}{3 c t g^{2} α - 1}$

Формулы половинного угла

Формулы половинного угла в тригонометрии являются следствием формул двойного угла и выражают соотношения между основными функциями половинного угла и косинусом целого угла.

Формулы половинного угла

$\sin^{2} \frac{α}{2} = \frac{1 - \cos α}{2} \cos^{2} \frac{α}{2} = \frac{1 + \cos α}{2} t g^{2} \frac{α}{2} = \frac{1 - \cos α}{1 + \cos α} c t g^{2} \frac{α}{2} = \frac{1 + \cos α}{1 - \cos α}$

Формулы понижения степени

$\sin^{2} α = \frac{1 - \cos 2 α}{2} \cos^{2} α = \frac{1 + \cos 2 α}{2} \sin^{3} α = \frac{3 \sin α - \sin 3 α}{4} \cos^{3} α = \frac{3 \cos α + \cos 3 α}{4} \sin^{4} α = \frac{3 - 4 \cos^{2} α + \cos 4 α}{8} \cos^{4} α = \frac{3 + 4 \cos^{2} α + \cos 4 α}{8}$

Часто при расчетах действовать с громоздкими степенями неудобно. Формулы понижения степени позволяют понизить степень тригонометрической функции со сколь угодно большой до первой. Приведем их общий вид:

Общий вид формул понижения степени

для четных n решение

$\sin^{n} α = \frac{C_{\frac{n}{2}}^{n}}{2^{n}} + \frac{1}{2^{n - 1}} \sum_{k = 0}^{\frac{n}{2} - 1} (- 1)^{\frac{n}{2} - k} \cdot C_{k}^{n} \cdot \cos ((n - 2 k) α) \cos^{n} α = \frac{C_{\frac{n}{2}}^{n}}{2^{n}} + \frac{1}{2^{n - 1}} \sum_{k = 0}^{\frac{n}{2} - 1} C_{k}^{n} \cdot \cos ((n - 2 k) α)$

для нечетных n

$\sin^{n} α = \frac{1}{2^{n - 1}} \sum_{k = 0}^{\frac{n - 1}{2}} (- 1)^{\frac{n - 1}{2} - k} \cdot C_{k}^{n} \cdot \sin ((n - 2 k) α) \cos^{n} α = \frac{1}{2^{n - 1}} \sum_{k = 0}^{\frac{n - 1}{2}} C_{k}^{n} \cdot \cos ((n - 2 k) α)$

Сумма и разность тригонометрических функций

Разность и сумму тригонометрических функций можно представить в виде произведения. Разложение на множители разностей синусов и косинусов очень удобно для применения при решении тригонометрических уравнений и упрощении выражений.

Сумма и разность тригонометрических функций

$\sin α + \sin β = 2 \sin \frac{α + β}{2} \cdot \cos \frac{α - β}{2} \sin α - \sin β = 2 \sin \frac{α - β}{2} \cdot \cos \frac{α + β}{2} \cos α + \cos β = 2 \cos \frac{α + β}{2} \cdot \cos \frac{α - β}{2} \cos α - \cos β = - 2 \sin \frac{α + β}{2} \cdot \sin \frac{α - β}{2}, \cos α - \cos β = 2 \sin \frac{α + β}{2} \cdot \sin \frac{β - α}{2}$

Произведение тригонометрических функций

Если формулы суммы и разности функций позволяют перейти к их произведению или умножению, то формулы произведения (здесь нужно умножать) тригонометрических функций осуществляют обратный переход - от произведения к сумме. Рассматриваются формулы произведения синусов, косинусов и синуса на косинус.

Формулы произведения тригонометрических функций

$\sin α \cdot \sin β = \frac{1}{2} \cdot (\cos (α - β) - \cos (α + β)) \cos α \cdot \cos β = \frac{1}{2} \cdot (\cos (α - β) + \cos (α + β)) \sin α \cdot \cos β = \frac{1}{2} \cdot (\sin (α - β) + \sin (α + β))$

Универсальная тригонометрическая подстановка

Все основные тригонометрические функции - тангенс, котангенс, синус, косинус - могут быть выражены через тангенс половинного угла.

Универсальная тригонометрическая подстановка

$\sin α = \frac{2 t g \frac{α}{2}}{1 + t g^{2} \frac{α}{2}} \cos α = \frac{1 - t g^{2} \frac{α}{2}}{1 + t g^{2} \frac{α}{2}} t g α = \frac{2 t g \frac{α}{2}}{1 - t g^{2} \frac{α}{2}} c t g α = \frac{1 - t g^{2} \frac{α}{2}}{2 t g \frac{α}{2}}$

Курсовая работа по математике

от 5 дней/ от 2160 р.

Реферат по математике

от 1 дня/ от 840 р.

Решение задач по математике

от 1 дня/ от 150 р.