Произведение синусов и косинусов: формулы, примеры

В данной статье рассмотрены формулы произведения синусов, косинусов, а также формулы произведения синуса на косинус. Допустим, есть необходимость вычислить произведение синусов или косинусов углов $\alpha$ и $\beta$. Формулы произведения позволяют перейти от произведения к сумме или разности синусов и косинусов углов $\alpha +\beta$ и $\alpha -\beta$.

Приведем формулы произведения синуса на синус, косинуса на косинус и синуса на косинус.

Формулы произведения. Список

Приведем формулировки, а затем и сами формулы.

1. Произведение синусов углов $\alpha$ и $\beta$ равно полуразности косинуса угла $\alpha -\beta$ и косинуса угла $\alpha +\beta$.
2. Произведение косинусов углов $\alpha$ и $\beta$ равно полусумме косинуса угла $\alpha -\beta$ и косинуса угла $\alpha +\beta$.
3. Произведение синуса угла $\alpha$ на косинус угла $\beta$ равно полусумме синуса угла $\alpha -\beta$ и синуса угла $\alpha +\beta$.

Вывод формул

Вывод описанных выше формул проводится с помощью формул сложения и на основе свойства равенства. Согласно этому свойству, если левую и правую части верного равенства сложить соответственно с левой и правой частями другого верного равенста, то в результате получится еще одно верное равенство. Покажем вывод формул произведения.

Сначала запишем формулы косинуса суммы и косинуса разности:

$$\begin{gathered} \cos \left(\alpha +\beta \right)=\cos \alpha ·\cos \beta -\sin \alpha ·\sin \beta \\ \cos \left(\alpha -\beta \right)=\cos \alpha ·\cos \beta +\sin \alpha ·\sin \beta \end{gathered}$$

Сложим эти равенства и получим:

$$\begin{gathered} \cos \left(\alpha +\beta \right)+\cos \left(\alpha -\beta \right)=\cos \alpha ·\cos \beta -\sin \alpha ·\sin \beta +\cos \alpha ·\cos \beta +\sin \alpha ·\sin \beta \\ \cos \left(\alpha +\beta \right)+\cos \left(\alpha -\beta \right)=2·\cos \alpha ·\cos \beta \end{gathered}$$

Отсюда

$\cos \alpha ·\cos \beta =\frac{1}{2}\left(\cos \left(\alpha +\beta \right)+\cos \left(\alpha -\beta \right)\right)$

Формула произведения косинусов доказана.

Перепишем формулу косинуса суммы следующим образом:

$-\cos (\alpha +\beta )=-\cos \alpha ·\cos \beta +\sin \alpha ·\sin \beta$

Добавим к равенству формулу $\cos \left(\alpha -\beta \right)=\cos \alpha ·\cos \beta +\sin \alpha ·\sin \beta$.

Получим:

$$\begin{gathered} -\cos (\alpha +\beta )+\cos \left(\alpha -\beta \right)=-\cos \alpha ·\cos \beta +\sin \alpha ·\sin \beta +\cos \alpha ·\cos \beta +\sin \alpha ·\sin \beta \\ -\cos (\alpha +\beta )+\cos \left(\alpha -\beta \right)=2·\sin \alpha ·\sin \beta \\ \sin \alpha ·\sin \beta =\frac{1}{2}(\cos \left(\alpha -\beta \right)-\cos (\alpha +\beta \left)\right) \end{gathered}$$

Таким образом, выведена формула произведения синусов.

Теперь возьмем формулу синуса суммы, формулу синуса разности, и сложим их левые и правые части

$$\begin{gathered} \sin \left(\alpha +\beta \right)=\sin \alpha ·\cos \beta +\cos \alpha ·\sin \beta \\ \sin \left(\alpha -\beta \right)=\sin \alpha ·\cos \beta -\cos \alpha ·\sin \beta \\ \sin \left(\alpha +\beta \right)+\sin \left(\alpha -\beta \right)=\sin \alpha ·\cos \beta +\cos \alpha ·\sin \beta +\sin \alpha ·\cos \beta -\cos \alpha ·\sin \beta \\ \sin \left(\alpha +\beta \right)+\sin \left(\alpha -\beta \right)=2\sin \alpha ·\cos \beta \\ \sin \alpha ·\cos \beta =\frac{1}{2}(\sin \left(\alpha +\beta \right)+\sin \left(\alpha -\beta \right)) \end{gathered}$$

Формула произведения синуса на косинус выведена.

Примеры использования

Приведем примеры использования формул произведения синусов, косинусов и синусов на косинус при решении задач. 

Пусть $\alpha =60°, \beta =30°$. Возьмем формулу произведения синусов и подставим в нее конкретные значения.

$$\begin{gathered} \sin \alpha ·\sin \beta =\frac{1}{2}(\cos \left(\alpha -\beta \right)-\cos \left(\alpha +\beta \right)) \\ \sin 60°·\sin 30° =\frac{1}{2}(\cos \left(60°-30°\right)-\cos \left(60°+30°\right)) \\ \sin 60°·\sin 30°=\frac{1}{2}(\cos \left(30°\right)-\cos \left(90°\right)) \\ \sin 60°·\sin 30°=\frac{1}{2}(\frac{\sqrt{3}}{2}-0)=\frac{\sqrt{3}}{4} \end{gathered}$$

Теперь вычислим значение выражения, обратившись к таблице основных значений тригонометрических функций.

$\sin 60°·\sin 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}·\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}$.

 Таким образом, мы проверили формулу на практике и убедились, что формула справедлива.

Также формулы произведения используются преобразования тригонометрических выражений.