Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik.
Нахождение вектора, перпендикулярного данному вектору, примеры и решения
Содержание:
- 28 февраля 2023
- 11 минут
- 5534
Данная статья раскрывает смысл перпендикулярности двух векторов на плоскости в трехмерном пространстве и нахождение координат вектора, перпендикулярному одному или целой паре векторов. Тема применима для задач, связанных с уравнениями прямых и плоскостей.
Мы рассмотрим необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов, решим по методу нахождения вектора, перпендикулярному заданному, затронем ситуации по отысканию вектора, который перпендикулярен двум векторам.
Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов
Применим правило о перпендикулярных векторах на плоскости и в трехмерном пространстве.
Что это значит, и в каких ситуациях необходимо знать про их перпендикулярность?
Установление перпендикулярности возможно через чертеж. При отложении вектора на плоскости от заданных точек можно геометрически измерить угол между ними. Перпендикулярность векторов если и будет установлена, то не совсем точно. Чаще всего данные задачи не позволяют делать это при помощи транспортира, поэтому данный метод применим только в случае, когда ничего больше о векторах неизвестно.
Большинство случаев доказательства перпендикулярности двух ненулевых векторов на плоскости или в пространстве производится с помощью необходимого и достаточного условия перпендикулярности двух векторов.
Условие перпендикулярности на координатной плоскости
Раздел скалярного произведения в координатах демонстрирует неравенство , справедливое для векторов с координатами и , на плоскости и для векторов и в пространстве. Необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух векторов в координатной плоскости имеет вид , для трехмерного пространства .
Применим на практике и рассмотрим на примерах.
Имеются случаи, когда вопрос о перпендикулярности невозможен даже при необходимом и достаточном условии. При известных данных о трех сторонах треугольника на двух векторах, возможно, найти угол между векторами и проверить его.
Нахождение вектора, перпендикулярного данному
Важно научиться находить координаты вектора, перпендикулярного заданному. Это возможно как на плоскости, так и в пространстве при условии перпендикулярности векторов.
Нахождение вектора, перпендикулярного данному в плоскости.
Ненулевой вектор может иметь бесконечное количество перпендикулярных векторов на плоскости. Изобразим это на координатной прямой.
Задан ненулевой вектор , лежащий на прямой а. Тогда заданный , расположенный на любой прямой, перпендикулярной прямой а, становится перпендикулярным и. Если вектору перпендикулярен вектор или любой из векторов при равной любому действительному числу кроме нуля, то нахождение координат вектора , перпендикулярному , сводится к бесконечному множеству решений. Но необходимо найти координаты вектора, перпендикулярного . Для этого необходимо записать условие перпендикулярности векторов в такой форме . Имеем и , являющиеся искомыми координатами перпендикулярного вектора. Когда , значение является ненулевым, а вычислим из неравенства . При и присваиваем любое значение кроме нуля, а находим из выражения .
Если ставится вопрос о трехмерном пространстве, задача решается по такому же принципу. При заданном векторе существует бесконечное множество перпендикулярных векторов. Зафиксирует это на координатной трехмерной плоскости. Дана , лежащая на прямой . Перпендикулярную прямой плоскость обозначаем . В этом случае любой ненулевой вектор из плоскости перпендикулярен .
Необходимо найти координаты , перпендикулярного ненулевому вектору .
Пусть задан с координатами и . Чтобы найти их, необходимо применить определение условия перпендикулярности двух векторов. Равенство должно выполняться. Из условия - ненулевой, значит, одна из координат имеет значение не равное нулю. Предположим, что , ( или ). Следовательно, имеем право разделить на эту координату все неравенство , получим выражение. Присваиваем координатам и любое значение, вычисляем значение , исходя из формулы, . Искомый перпендикулярный вектор будет иметь значение .
Рассмотрим доказательство на примере.
Нахождение координат вектора, перпендикулярного двум заданным векторам
Нужно найти координаты вектора в трехмерном пространстве. Он перпендикулярен не коллинеаренным векторам и . При условии коллинеарности векторов и в задаче достаточно будет найти вектор, перпендикулярный или .
При решении применяется понятие векторного произведения векторов.
Векторным произведением векторов и называют вектор, одновременно перпендикулярный и и . Для решения данной задачи применяется векторное произведение . Для трехмерного пространства имеет вид
Разберем подробнее векторное произведение на примере задачи.
Навигация по статьям