Операции над векторами в прямоугольной системе координат

Содержание:

03 мая 2023
3 минуты
434

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Если задана плоскость $O x y$ с векторами $\vec{a} = (a_{x}, a_{y})$ и $\vec{b} = (b_{x}, b_{y})$ , то мы можем разложить их по координатным векторам $\vec{i}$ и $\vec{j}$ . Тогда это будет иметь вид $\vec{a} = a_{x} \cdot \vec{i} + a_{y} \cdot \vec{j}$ и $\vec{b} = b_{x} \cdot \vec{i} + b_{y} \cdot \vec{j}$ . Чтобы найти сумму $\vec{a}$ и $\vec{b}$ и произведение $\vec{a}$ на $λ$ , рассмотрим:

$\vec{a} + \vec{b} = a_{x} \cdot \vec{i} + a_{y} \cdot \vec{j} + b_{x} \cdot \vec{i} + b_{y} \vec{\cdot j} = (a_{x} + b_{x}) \cdot \vec{i} + (a_{y} + b_{y}) \cdot \vec{j}$

$λ \cdot \vec{a} = λ \cdot (a_{x} \cdot \vec{i} + a_{y} \cdot \vec{j}) = (λ \cdot a_{x}) \cdot \vec{i} + (λ \cdot a_{y}) \cdot \vec{j}$

Это равенство справедливо по свойству операций над векторами.

Определение 1

Разложение векторов – это $\vec{a} + \vec{b}$ и $λ \cdot \vec{a}$ , представленное в частях неравенства по $\vec{i}$ и $\vec{j}$ координатам. Координаты векторов $\vec{a} + \vec{b}$ и $λ \cdot \vec{a}$ равны соответственно $(a_{x} + b_{x}, a_{y} + b_{y})$ и $(λ \cdot a_{x,} λ \cdot a_{y})$ .

Таким же образом $\vec{a} = (a_{x}, a_{y}, a_{z})$ и $\vec{b} = (b_{x}, b_{y}, b_{z})$ записываются как $\vec{a} + \vec{b} = a_{x} \cdot \vec{i} + a_{y} \cdot \vec{j} + a_{z} \cdot \vec{k} + b_{x} \cdot \vec{i} + b_{y} \cdot \vec{j} + b_{z} \cdot \vec{k} = (a_{x} + b_{x}) \cdot \overset{⇀}{i} + (a_{y} + b_{y}) \cdot \vec{j} + (a_{z} + b_{z}) \cdot \vec{k} λ \cdot \vec{a} = λ \cdot (a_{x} \cdot \vec{i} + a_{y} \cdot \vec{j} + a_{z} \cdot \vec{k}) = (λ \cdot a_{x}) \cdot \vec{i} + (λ \cdot a_{y}) \cdot \vec{j} + (λ \cdot a_{z}) \cdot \vec{k}$

а значит $\vec{a} + \vec{b} = (a_{x} + b_{x}, a_{y} + b_{y}, a_{z} + b_{z}), λ \cdot \vec{a} = (λ \cdot a_{x}, λ \cdot a_{y}, λ \cdot a_{z})$

Отсюда делаем вывод, что координаты векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равны сумме соответствующих координат векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ , координаты произведения вектора $\vec{a}$ на $λ$ приравниваются к соответствующим координатам вектора $\vec{a}$ , умноженным на число в заданной системе координат.

При необходимости нахождения координат суммы нескольких векторов, необходимо сложить координаты каждого вектора соответственно. Рассмотрим примеры.

Пример 1

Нужно выполнить сложение $\vec{a} = (2, \frac{\sqrt{3} - 1}{3})$ и $\vec{b} = (- 1, - \frac{1}{\sqrt{3}})$ . Чему равны координаты произведения вектора $\vec{a}$ на $\sqrt{3}$ .

Решение

Из определения имеем, что сумма векторов равна сумме их координат соответственно, тогда $\vec{a} + \vec{b} = (2 + (- 1), \frac{\sqrt{3} - 1}{3} + (- \frac{1}{\sqrt{3}})) = (1, - \frac{1}{3})$ .

Числовое значение умножается на каждую координату: $\sqrt{3} \cdot \vec{a} = (\sqrt{3} \cdot 2, \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3} - 1}{3}) = (2 \sqrt{3}, \frac{3 - \sqrt{3}}{3})$ .

Ответ: $\vec{a} + \vec{b} = (1, - \frac{1}{3}), \sqrt{3} \cdot \vec{a} = (2 \sqrt{3}, \frac{3 - \sqrt{3}}{3})$

Пример 2

Заданы векторы $\vec{a} = (0, 1, - 2), \vec{b} = (- 1, - 1, 3), \vec{c} = (4, - 3, 2)$ .

Каковы координаты вектора $2 \cdot \vec{a} + 3 \cdot (\vec{b} - \vec{c}) = 2 \cdot \vec{a} + 3 \cdot \vec{b} + (- 3) \cdot \vec{c}$ .

Решение

Применяя свойства векторов, получим: $2 \cdot \vec{a} + 3 \cdot (\vec{b} - \vec{c}) = 2 \cdot \vec{a} + 3 \cdot \vec{b} + (- 3) \cdot \vec{c}$ .

Подставляем значения координат и получаем: $2 \cdot \vec{a} + 3 \cdot \vec{b} + (- 3) \cdot \vec{c} = 2 \cdot (0, 1, - 2) + 3 \cdot (- 1, - 1, 3) + (- 3) \cdot (4, - 3, 2) =$

$= (2 \cdot 0, 2 \cdot 1, 2 \cdot (- 2)) + (3 \cdot (- 1), 3 \cdot (- 1), 3 \cdot 3) + ((- 3) \cdot 4, (- 3) \cdot (- 3) \cdot 2) =$

$= (0, 2, - 4) + (- 3, - 3, 9) + (- 12, 9 - 6) =$

$= (0 + (- 3) + (- 12), 2 + (- 3) + 9, - 4 + 9 + (- 6)) = (- 15, 8, - 1)$

Можно решить другим способом.

Обратим внимание на разложение $\vec{a}, \vec{b}$ и $\vec{c}$ :

$\vec{a} = 0 \cdot \vec{i} + 1 \cdot \vec{j} + (- 2) \cdot \vec{k} = \vec{j} - 2 \cdot \vec{k}$

$\vec{b} = (- 1) \cdot \vec{i} + (- 1) \cdot \vec{j} + 3 \cdot \vec{k} = - \vec{i} - \vec{j} + 3 \cdot \vec{k}$

$\vec{c} = 4 \cdot \vec{i} + (- 3) \cdot \vec{j} + 2 \cdot \vec{k} = 4 \cdot \vec{i} - 3 \cdot \vec{j} + 2 \cdot \vec{k}$

Исходя из свойств векторов, видим, что: $2 \cdot \vec{a} + 3 \cdot (\vec{b} - \vec{c}) = 2 \cdot (\vec{j} - 2 \cdot \vec{k}) + 3 \cdot (- \vec{i} - \vec{j} + 3 \cdot \vec{k} - (4 \cdot \vec{i} - 3 \cdot \vec{j} + 2 \cdot \vec{k})) = = 2 \cdot \vec{j} - 4 \cdot \vec{k} + 3 \cdot (- 5 \cdot \vec{i} + 2 \cdot \vec{j} + 1 \cdot \vec{k}) = - 15 \cdot \vec{i} + 8 \cdot \vec{j} - \vec{k}$