Операции над векторами в прямоугольной системе координат

Нужно выполнить сложение $\overrightarrow{a}=(2, \frac{\sqrt{3}-1}{3})$ и $\overrightarrow{b}=(-1,-\frac{1}{\sqrt{3}})$. Чему равны координаты произведения вектора $\overrightarrow{a}$ на $\sqrt{3}$.

Решение 

Из определения имеем, что сумма векторов равна сумме их координат соответственно, тогда $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(2+(-1),\frac{\sqrt{3}-1}{3}+(-\frac{1}{\sqrt{3}}\left)\right)=(1, -\frac{1}{3})$.

Числовое значение умножается на каждую координату: $\sqrt{3}·\overrightarrow{a}=(\sqrt{3}·2, \sqrt{3}·\frac{\sqrt{3}-1}{3})=\left(2\sqrt{3},\frac{3-\sqrt{3}}{3}\right)$.

Ответ: $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(1, -\frac{1}{3}), \sqrt{3}·\overrightarrow{a}=(2\sqrt{3}, \frac{3-\sqrt{3}}{3})$

Заданы векторы $\overrightarrow{a}=(0, 1, -2), \overrightarrow{b}=(-1, -1, 3), \overrightarrow{c}=(4, -3, 2)$.

Каковы координаты вектора $2·\overrightarrow{a}+3·(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})=2·\overrightarrow{a}+3·\overrightarrow{b}+(-3)·\overrightarrow{c}$.

Решение 

Применяя свойства векторов, получим: $2·\overrightarrow{a}+3·(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})=2·\overrightarrow{a}+3·\overrightarrow{b}+(-3)·\overrightarrow{c}$.

Подставляем значения координат и получаем: $2·\overrightarrow{a}+3·\overrightarrow{b}+(-3)·\overrightarrow{c}=2·(0,1,-2)+3·(-1,-1, 3)+(-3)·(4,-3, 2)=$

$=(2·0, 2·1, 2·(-2\left)\right)+(3·(-1), 3·(-1), 3·3)+\left(\right(-3)·4,(-3)·(-3)·2)=$

$=(0, 2, -4)+(-3, -3, 9) + (-12, 9 -6)=$

$=(0+(-3)+(-12), 2+(-3)+9, -4+9+(-6\left)\right)=(-15, 8, -1)$

Можно решить другим способом.

Обратим внимание на разложение $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{c}$ :

$\overrightarrow{a}=0·\overrightarrow{i}+1·\overrightarrow{j}+(-2)·\overrightarrow{k}=\overrightarrow{j}-2·\overrightarrow{k}$

$\overrightarrow{b}=(-1)·\overrightarrow{i}+(-1)·\overrightarrow{j}+3 ·\overrightarrow{k}=-\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}+3·\overrightarrow{k}$

$\overrightarrow{c}=4·\overrightarrow{i}+(-3)·\overrightarrow{j}+2·\overrightarrow{k}=4·\overrightarrow{i}-3·\overrightarrow{j}+2·\overrightarrow{k}$

Исходя из свойств векторов, видим, что: $$\begin{gathered} 2·\overrightarrow{a}+3·(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})=2·(\overrightarrow{j}-2·\overrightarrow{k})+3·(-\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}+3·\overrightarrow{k}-(4·\overrightarrow{i}-3·\overrightarrow{j}+2·\overrightarrow{k}\left)\right)= \\ =2·\overrightarrow{j}-4·\overrightarrow{k}+3·(-5·\overrightarrow{i}+2·\overrightarrow{j}+1·\overrightarrow{k})=-15·\overrightarrow{i}+8·\overrightarrow{j}-\overrightarrow{k} \end{gathered}$$

 Значит, координаты вектора $2·\overrightarrow{a}+3·(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})$ равны $(-15, 8, -1)$.

Ответ: $2·\overrightarrow{a}+2·(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})=(-15, 8, -1)$