Ортогональные векторы и условие ортогональности

20 сентября 2023
3 минуты
10 074

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

В данной статье мы расскажем, что такое ортогональные векторы, какие существуют условия ортогональности, а также приведем подробные примеры для решения задач с ортогональными векторами.

Ортогональные векторы: определение и условие

Определение 1

Ортогональные векторы — это векторы $\bar{a} и \bar{b}$ , угол между которыми равен $90^{0}$ .

Примечание

Необходимое условие для ортогональности векторов — два вектора $\bar{a} и \bar{b}$ являются ортогональными (перпендикулярными), если их скалярное произведение равно нулю.

$\bar{a} \times \bar{b} = 0$

Примеры решения задач на ортогональность векторов

Плоские задачи на ортогональность векторов

Если дана плоская задача, то ортогональность для векторов $\bar{a} = {a_{x} \times a_{y}} и \bar{b} = {b_{x} \times b_{y}}$ записывают следующим образом:

$\bar{a} \times \bar{b} = a_{x} \times b_{x} + a_{y} \times b_{y} = 0$

Пример 1

Задача 1. Докажем, что векторы $\bar{a} = {1; 2} и \bar{b} = {2; - 1}$ ортогональны.

Как решить?

Находим скалярное произведение данных векторов:

$\bar{a} \times \bar{b} = 1 \times 2 + 2 \times (- 1) = 2 - 2 = 0$

Ответ: поскольку произведение равняется нулю, то векторы являются ортогональными.

Пример 2

Задача 2. Докажем, что векторы $\bar{a} = {3; - 1} и \bar{b} = {7; 5}$ ортогональны.

Как решить?

Находим скалярное произведение данных векторов:

$\bar{a} \times \bar{b} = 3 \times 7 + (- 1) \times 5 = 21 - 5 = 16$

Ответ: поскольку скалярное произведение не равняется нулю, то и векторы не являются ортогональными.

Пример 3

Задача 3. Найдем значение числа $n$ , при котором векторы $\bar{a} = {2; 4} и \bar{b} = {n; 1}$ будут ортогональными.

Как решить?

Найдем скалярное произведение данных векторов:

$\bar{a} \times \bar{b} = 2 \times n + 4 \times 1 = 2 n + 4 2 n + 4 = 0 2 n = - 4 n = - 2$

Ответ: векторы являются ортогональными при значении $n = 2$ .

Примеры пространственных задач на ортогональность векторов

При решении пространственной задачи на ортогональность векторов $\bar{a} = {1; 2; 0} и \bar{b} = {2; - 1; 10}$ условие записывается следующим образом: $\bar{a} \times \bar{b} = a_{x} \times b_{x} + a_{y} \times b_{y} + a_{z} \times b_{z} = 0$ .

Пример 4

Задача 4. Докажем, что векторы $\bar{a} = {1; 2; 0} и \bar{b} = {2; - 1; 10}$ являются ортогональными.

Как решить?

Находим скалярное произведение данных векторов:

$\bar{a} \times \bar{b} = 1 \times 2 + 2 \times (- 1) + 0 \times 10 = 2 - 2 = 0$

Ответ: поскольку произведение векторов равняется нулю, то они являются ортогональными.

Пример 5

Задача 5. Найдем значение числа $n$ , при котором векторы $\bar{a} = {2; 4; 1} и \bar{b} = {n; 1; - 8}$ будут являться ортогональными.

Как решить?

Находим скалярное произведение данных векторов:

$\bar{a} \times \bar{b} = 2 \times n + 4 \times 1 + 1 \times (- 8) = 2 n + 4 - 8 = 2 n - 4 2 n - 4 = 0 2 n = 4 n = 2$

Ответ: векторы $\bar{a} и \bar{b}$ будут ортогональными при значении $n = 2$ .