Деление одночлена на одночлен: примеры, правило

30 июня 2023
5 минут
812

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Стандартные действия над одночленами - сложение, умножение, вычитание и деление. В данной статье мы рассмотрим, как делить одночлен на одночлен. Узнаем, всегда ли можно разделить одночлен на одночлен, приведем правило и покажем примеры.

Когда можно разделить одночлен на одночлен?

В самом общем случае результатом деления одночлена на одночлен является рациональная дробь. В редких случаях в результате получается еще один одночлен. Для того, чтобы в результате деления одночленов получился одночлен, нужно соблюдение нескольких условий. Перечислим их ниже, уточнив, что многочлены записаны в стандартном виде.

1. При делении одночлена на одночлен, который тождественно равен отличному от нуля числу, получается одночлен. К примеру, при делении одночлена $3 x^{2} y$ на $1$ , получается одночлен $3 x^{2} y$ . Если этот же одночлен разделить на $- \frac{2}{5}$ , мы получим одночлен $- 7 \frac{1}{2} x^{2} y$ .

2. Делимый одночлен и одночлен и одночлен-делитель в своих записях должны иметь множители со всеми общими переменными. При этом показатели степеней этих переменных в делимом должны быть не меньше, чем в делителе. Так, одночлен $- 2 x^{3} y z^{5}$ можно разделить на одночлен $4 y z^{3}$ , так как первый одночлен содержит в своей записи переменные $y$ и $z$ , а их степени $1$ и $5$ не меньше, чем соответствующие степени $1$ и $3$ этих переменных в одночлене-делимом.

В остальных случаях результатом деления одночлена на одночлен является рациональная дробь. Отметим также, что деление на одночлен, тождественно равный нулю, в принципе невозможно.

Деление одночлена на одночлен. Правило

Деление одночленов выполняется с учетом свойств умножения и деления двух чисел на число и наоборот. Сформулируем правило:

Правило деления одночлена на одночлен

Одночлены нужно привести к стандартному виду, если они заданы в нестандартном виде.
При делении одночлены заключаются в скобки, а между ними ставится знак деления.
Одинаковые переменные (однородные члены) и числа группируются.
Выполняется деление с использованием правила деления степеней с одинаковыми основаниями и чисел.

Выполнение всех этих шагов в результате дает частное деления двух одночленов - рациональную дробь или новый одночлен.

Отношение одночленов также можно изначально записать в виде рациональной дроби и сократить ее. В результате также будет получено искомое частное.

Примеры деления одночленов

Рассмотрим практические примеры с использованием приведенного правила.

Пример 1. Деление одночлена на одночлен

Выполним деление одночленов $16 a b^{7}$ и $- 4 b^{3}$ .

В соответствии с первым пунктом статьи убедимся, что в результате должен получится одночлен. Действительно, одночлен-делимое $16 a b^{7}$ содержит переменную $b$ . Причем ее степень больше, чем степень той же переменной в одночлене-делителе.

Начнем деление по пунктам правила.

Первый шаг уже выполнен, так как одночлены записаны в стандартном виде.

Запишем частное: $(16 a b^{7}) \div (- 4 b^{3})$ .

Группируем числа: $(16 a b^{7}) \div (- 4 b^{3}) = (16 \div (- 4)) \cdot a \cdot (b^{7} \div b^{3})$ .

Воспользуемся свойствами деления степеней с одинаковыми основаниями и запишем ответ:

$(16 \div (- 4)) \cdot a \cdot (b^{7} \div b^{3}) = (- 4) \cdot a \cdot b^{4} = - 4 a b^{4}$ .

Теперь представим запись в виде рациональной дроби.

$\frac{16 a b^{7}}{- 4 b^{3}} = \frac{16}{- 4} \cdot a \cdot \frac{b^{7}}{b^{3}} = - 4 a b^{4}$ .

Для закрепления навыка рассмотрим еще пару примеров.

Пример 2. Деление одночлена на одночлен

Разделим $0, 4 x \cdot y^{3} \cdot x^{2} \cdot 0, 8 z^{5} \cdot x$ на $x \cdot 0, 12 \cdot x$ .

Сначала приведем многочлены к стандартному виду:

$0, 4 x \cdot y^{3} \cdot x^{2} \cdot 0, 9 z^{5} \cdot x = 0, 36 x^{4} y^{3} z^{5}$ ;

$x \cdot 0, 12 \cdot x = 0, 12 x^{2}$ .

Теперь запишем деление: $(0, 36 x^{4} y^{3} z^{5}) \div (0, 12 x^{2})$ .

Можно посчитать как в предыдущем примере, но удобнее сразу записать частное в виде дроби:

$\frac{0, 36 x^{4} y^{3} z^{5}}{0, 12 x^{2}}$

Сократим эту дробь и получим ответ:

$\frac{0, 36 x^{4} y^{3} z^{5}}{0, 12 x^{2}} = \frac{0, 36}{0, 12} \cdot \frac{x^{4}}{x^{2}} \cdot y^{3} z^{5} = 3 x^{2} y^{3} z^{5}$ .

Пример 3. Деление одночлена на одночлен

Вычислим: $- 3 x y \div 2 x^{5} z$ .

Ответ:

$\frac{- 3 x y}{2 x^{5} z} = - \frac{3 y}{2 x^{4} z}$ .