Формулы сокращенного умножения: таблица, примеры использования

Содержание:

06 сентября 2023
9 минут
16782

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Формулы сокращенного умножения (ФСУ) применяются для возведения в степень и умножения чисел и выражений. Часто формулы фсу позволяют произвести вычисления более компактно и быстро.

В данной статье мы кратко перечислим основные формулы сокращенного умножения по алгебре, сгруппируем их в правильную таблицу, рассмотрим примеры использования этих формул, а также остановимся на принципах доказательств формул сокращенного умножения.

Формулы сокращенного умножения. Таблица

Впервые тема ФСУ рассматривается в рамках курса "Алгебра" за 7 класс. Приведем ниже 7 основных формул, которые придется изучать и запоминать.

Формулы сокращенного умножения

формула квадрата суммы: ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$
квадратная формула разности: ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$
формула куба суммы: ${(a + b)}^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$
формула куба разности: ${(a - b)}^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$
формула разности квадратов: $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$
формула суммы кубов: $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$
формула разности кубов: $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$

Английскими буквами a, b, c во всех формулах сокращенного умножения (в выражениях) могут быть любые числа, переменные или выражения. Для удобства использования лучше выучить семь основных формул или уравнений наизусть. Чтобы вам было проще учить, сведем их в таблицу сокращенного умножения и приведем ниже, обведя рамкой. Это будет ваш своеобразный онлайн гайд, важный и нужный.

Формулы сокращенного умножения. Таблица

Первые четыре формулы сокращенного умножения на математическом языке позволяют правильно вычислять соответственно квадрат суммы или кубическую сумму, или разности двух выражений.

Пятая формула скор умножения вычисляет разность квадратов выражений путем произведения их суммы и разности.

Шестая и седьмая формулы сокращенного умн. - соответственно умножение суммы и разности выражений на неполный квадрат разности и неполный квадрат суммы.

Формулу сокращенного умножения иногда еще называют тождествами сокращенного умножения. В этом нет ничего удивительного, так как каждое равенство представляет собой тождество.

Чтобы решить практические примеры, часто в качестве помощи используют формулы сокращенного умножения с переставленными местами левыми и правыми частями. Это особенно удобно, когда имеет место разложение многочлена на множители.

Формулы сокращенного умножения. Таблица

Также есть формулы сокращенного умножения под корнем.

Дополнительные формулы сокращенного умножения

Не будем ограничиваться курсом 7 класса уроков по алгебре и математике и добавим в нашу таблицу ФСУ еще несколько формул.

Во-первых, рассмотрим формулу бинома Ньютона.

${(a + b)}^{n} = C_{n}^{0} \cdot a^{n} + C_{n}^{1} \cdot a^{n - 1} \cdot b + C_{n}^{2} \cdot a^{n - 2} \cdot b^{2} + . . + C_{n}^{n - 1} \cdot a \cdot b^{n - 1} + C_{n}^{n} \cdot b^{n}$

Здесь $C_{n}^{k}$ - биномиальные коэффициенты, которые стоят в строке под номером n в треугольнике паскаля. Биномиальные коэффициенты вычисляются по формуле:

$C_{n}^{k} = \frac{(n)!}{(k)! \cdot (n - k)!} = \frac{n (n - 1) (n - 2) . . (n - (k - 1))}{(k)!}$

Другими словами, ФСУ для квадрата и куба разности и суммы - это частный случай формулы бинома Ньютона при n=2 и n=3соответственно.

Но что, если слагаемых в сумме, которую нужно возвести в степень, больше, чем два? Полезной будет формула квадрата суммы трех, четырех и более слагаемых.

$a_{1} + a_{2} + . . + {a_{n}}^{2} = {a_{1}}^{2} + {a_{2}}^{2} + . . + {a_{n}}^{2} + 2 a_{1} a_{2} + 2 a_{1} a_{3} + . . + 2 a_{1} a_{n} + 2 a_{2} a_{3} + 2 a_{2} a_{4} + . . + 2 a_{2} a_{n} + 2 a_{n} - 1 a_{n}$

Как читается эта формула? Квадрат суммы n слагаемых равен сумме квадратов всех слагаемых и удвоенных произведений всех возможных пар этих слагаемых.

Еще одна формула, которая может пригодиться - формула разности n-ых степеней двух слагаемых.

$a^{n} - b^{n} = (a - b) (a^{n - 1} + a^{n - 2} b + a^{n - 3} b^{2} + . . + a^{2} b^{n - 2} + b^{n - 1})$

Эту формулу обычно разделяют на две формулы - соответственно для четных и нечетных степеней.

Для четных показателей 2m:

$a^{2 m} - b^{2 m} = (a^{2} - b^{2}) (a^{2 m - 2} + a^{2 m - 4} b^{2} + a^{2 m - 6} b^{4} + . . + b^{2 m - 2})$

Для нечетных показателей 2m+1:

$a^{2 m + 1} - b^{2 m + 1} = (a^{2} - b^{2}) (a^{2 m} + a^{2 m - 1} b + a^{2 m - 2} b^{2} + . . + b^{2 m})$

Формулы разности квадратов и разности кубов, как вы догадались, являются частными случаями этой формулы при $n = 2$ и $n = 3$ соответственно. Для разности кубов $b$ также заменяется на $- b$ .

Как читать формулы сокращенного умножения?

Дадим соответствующие формулировки для каждой формулы, но сначала разберемся с принципом чтения формул. Удобнее всего делать это на примере формулы сокращенного умножения. Возьмем самую первую формулу квадрата суммы двух чисел.

${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ .

Говорят: квадрат суммы двух выражений $a$ и $b$ равен сумме квадрата первого выражения, удвоенного произведения выражений и квадрата второго выражения.

Все остальные формулы читаются аналогично. Для квадрата разности ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ запишем:

квадрат разности двух выражений $a$ и $b$ равен сумме квадратов этих выражений минус удвоенное произведение первого и второго выражения.

Прочитаем формулу ${(a + b)}^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ . Куб суммы двух выражений $a$ и $b$ равен сумме кубов этих выражений, утроенного произведения квадрата первого выражения на второе и утроенного произведения квадрата второго выражения на первое выражение.

Переходим к чтению формулы для разности кубов ${(a - b)}^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$ . Куб разности двух выражений $a$ и $b$ равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе, плюс утроенное произведение квадрата второго выражения на первое выражение, минус куб второго выражения.

Пятая формула $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ (разность квадратов) читается так: разность квадратов двух выражений равна произведению разности и суммы двух выражений.

Выражения типа $a^{2} + a b + b^{2}$ и $a^{2} - a b + b^{2}$ для удобства называют соответственно неполным квадратом суммы и неполным квадратом их разности.

С учетом этого, формулы суммы и разности кубов прочитывать нужно так:

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.

Доказательство ФСУ

Доказать ФСУ довольно просто. Основываясь на свойствах умножения, проведем умножение частей формул в скобках.

Для примера рассмотрим формулу квадрата разности.

${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ .

Чтобы возвести выражение во вторую степень, нужно это выражение умножить само на себя.

${(a - b)}^{2} = (a - b) (a - b)$ .

Раскроем скобки:

$(a - b) (a - b) = a^{2} - a b - b a + b^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ .

Формула доказана. Остальные ФСУ доказываются аналогично.

Где можно применять ФСУ на примерах

Цель использования формул сокращенного умнож-я - быстрое и краткое умножение и возведение выражений в степень. Однако, это не вся сфера применения ФСУ. Они широко используются при сокращении выражений, сокращении дробей, когда нужно раскладывать многочлены на множители. Приведем примеры.

Пример задачи 1. ФСУ

Сделаем выражение упрощенным $9 y - (1 + 3 y)^{2}$ .

Применим формулу суммы квадратов по правилу и получим следующую форму:

$9 y - (1 + 3 y)^{2} = 9 y - (1 + 6 y + 9 y^{2}) = 9 y - 1 - 6 y - 9 y^{2} = 3 y - 1 - 9 y^{2}$

Пример 2. ФСУ

Сократим дробь $\frac{8 x^{3} - z^{6}}{4 x^{2} - z^{4}}$ .

Замечаем, что выражение в числителе - разность кубов, а в знаменателе - разность квадратов.

$\frac{8 x^{3} - z^{6}}{4 x^{2} - z^{4}} = \frac{(2 x - z) (4 x^{2} + 2 x z + z^{4})}{(2 x - z) (2 x + z)}$ .

Сокращаем и получаем:

$\frac{8 x^{3} - z^{6}}{4 x^{2} - z^{4}} = \frac{(4 x^{2} + 2 x z + z^{4})}{(2 x + z)}$

Также ФСУ помогают быстрым способом вычислять значения выражений. Главное - уметь заметить, где применить формулу. Покажем это на примере.

Возведем в квадрат число $79$ . Вместо громоздких вычислений, запишем:

$79 = 80 - 1; 79^{2} = {(80 - 1)}^{2} = 6400 - 160 + 1 = 6241 .$

Казалось бы, сложное вычисление проведено быстро всего лишь с использованием метода математических формул умножения, приведенных сокращенно, и таблицы умножения.

Еще один важный момент - выделение квадрата двучлена. Выражение $4 x^{2} + 4 x - 3$ можно преобразовать в вид ${(2 x)}^{2} + 2 \cdot 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2} - 4 = {(2 x + 1)}^{2} - 4$ . Такие преобразования широко используются в интегрировании.