Группировка слагаемых и множителей: правило, примеры

20 июня 2023
5 минут
1 569

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

В случае, если нам надо сложить три и более слагаемых, мы можем использовать метод тождественного преобразования, получивший название группировки слагаемых. Точно такой же метод существует и для умножения, если в примере заданы три множителя и больше. Целью этой статьи является разбор правил группировки в обоих случаях. Все теоретические положения будут проиллюстрированы примерами решений задач.

Что такое группировка слагаемых

Мы можем выполнять группировку как в буквенных, так и в числовых выражениях тогда, когда у нас есть $3$ слагаемых и более. Как нужно понимать этот термин?

Группировка слагаемых основана на совместном рассмотрении нескольких слагаемых в исходной сумме. Иначе говоря, это объединение нескольких слагаемых в одну группу.

Основное правило группировки слагаемых звучит так:

Определение 1

При выполнении группировки мы сначала переставляем слагаемые в исходной сумме таким образом, чтобы слагаемые одной группы были рядом, после чего заключаем их в скобки.

На чем базируется данное правило? В его основе лежат переместительное и сочетательное свойство сложения.

Разберем несколько примеров.

Пример 1

Допустим, у нас есть сумма $3 - х$ слагаемых $3 + 2 + 1$ , и нам нужно сгруппировать первое слагаемое со вторым. Перестановка в данном случае не потребуется, поскольку нужные слагаемые и так стоят рядом. Нам надо только добавить скобки в нужном месте: $(3 + 2) + 1$ . Вот и вся необходимая группировка, после которой можно переходить к вычислениям.

Возьмем пример чуть сложнее.

Пример 2

Итак, мы имеем сумму $4 - х$ слагаемых $1 + 8 + 2 + 9$ . Осуществим группировку в данном выражении, объединив первое и последнее, а также второе и третье слагаемое. Для этого нам надо переставить их так, чтобы нужные слагаемые расположились рядом друг с другом: $1 + 9 + 8 + 2$ . Все, что нам нужно сделать теперь, это добавить скобки в нужных местах: $(1 + 9) + (8 + 2)$ .

Точно так же мы действуем, если вместо числового выражения задано выражение с переменными. Так, если в условии стоит сумма вида $x + y^{3} + 3 \cdot y^{2} + 2 \cdot x^{2} + y + 12$ , то можно сделать группировку сначала всех слагаемых с $x$ , а потом всех с $y$ . В итоге у нас получится выражение вида $(x + 2 \cdot x^{2}) + (y^{3} + 3 \cdot y^{2} + y) + 12$ .

В целом группировка слагаемых– несложное действие. Некоторая трудность может быть в том, чтобы найти в исходном выражении саму сумму и отдельные слагаемые, из которых она состоит, особенно если выражение длинное и громоздкое. После нахождения слагаемых сгруппировать их будет легко.

Пример 3

К примеру, в выражении $(x + 1) \cdot (\frac{1}{x} - 2) + \frac{\sqrt{x^{2} + x + 1}}{4} + 3 \cdot (x - \frac{2}{3})$ можно найти три слагаемых: $(x + 1) \cdot (\frac{1}{x} - 2), \frac{\sqrt{x^{2} + x + 1}}{4}$ и $3 \cdot (x - \frac{2}{3})$ .

После нахождения всех элементов можно объединить в группу первое и третье слагаемое и получить следующее выражение:

$((x + 1) \cdot (\frac{1}{x} - 2) + 3 \cdot (x - \frac{2}{3})) + \frac{\sqrt{x^{2} + x + 1}}{4}$

Также три слагаемых можно выделить и в дроби $\frac{\sqrt{x^{2} + x + 1}}{4}$ . Они расположены под знаком корня. Для них тоже можно провести группировку.

Метод группировки необходим для рационального вычисления значений выражений. Кроме того, он широко используется для упрощения и многих других задач разной степени сложности.

Например, если нам надо найти значение выражения $\frac{1}{3} + \frac{2}{7} + \frac{2}{3} + \frac{3}{7}$ , то удобно будет воспользоваться группировкой и объединить дроби с одинаковыми знаменателями. Так вычисление станет проще и быстрее:

$\frac{1}{3} + \frac{2}{7} + \frac{2}{3} + \frac{3}{7} = (\frac{1}{3} + \frac{2}{3}) + (\frac{2}{7} + \frac{3}{7}) = 1 + \frac{5}{7} = 1 \frac{5}{7}$

Один из способов разложения многочлена на отдельные множители также основан на группировке слагаемых.

Что такое группировка множителей

Такая группировка проводится точно таким же образом, как и при сложении, единственная разница в том, что работать предстоит не с суммами, а с произведениями. Она основана на переместительном и сочетательном свойствах умножения.

Определение 2

Группировка множителей – это объединение в одну группу нескольких множителей.

Процесс вычисления в данном случае проводится так же: сначала мы переставляем нужные множители так, чтобы они оказались рядом, а потом расставляем скобки.

Пример 4

Например, возьмем произведение $3 \cdot a \cdot 7 \cdot b$ и выполним группировку отдельно буквенных и числовых множителей. Сначала переставим их, чтобы нужные множители стояли рядом, а затем выделим их скобками. В итоге у нас получится выражение вида $(3 \cdot 7) \cdot (a \cdot b)$ .