Определение одночлена: сопутствующие понятия, примеры

3 января 2024
6 минут
1 881

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Одночлены являются одним из основных видов выражений, изучаемых в рамках школьного курса алгебры. В этом материале мы расскажем, что это за выражения, определим их стандартный вид и покажем примеры, а также разберемся с сопутствующими понятиями, такими как степень одночлена и его коэффициент.

Что такое одночлен

В школьных учебниках обычно дается следующее определение этого понятия:

Определение 1

К одночленам относятся числа, переменные, а также их степени с натуральным показателем и разные виды произведений, составленные из них.

Исходя из этого определения, мы можем привести примеры таких выражений. Так, все числа $2, 8, 3004, 0, - 4, - 6, 0, 78, \frac{1}{4}, - 4 \frac{3}{7}$ будут относиться к одночленам. Все переменные, например, $x, a, b, p, q, t, y, z$ тоже будут по определению одночленами. Сюда же можно отнести степени переменных и чисел, например, $6^{3}, (- 7, 41)^{7}, x^{2}$ и $t^{15}$ , а также выражения вида $65 \cdot x, 9 \cdot (- 7) \cdot x \cdot y^{3} \cdot 6, x \cdot x \cdot y^{3} \cdot x \cdot y^{2} \cdot z$ и т.д. Обратите внимание, что в состав одночлена может входить как одно число или переменная, так и несколько, причем они могут быть упомянуты несколько раз в составе одного многочлена.

Такие виды чисел, как целые, рациональные, натуральные тоже относятся к одночленам. Также сюда можно включить действительные и комплексные числа. Так, выражения вида $(2 + 3 \cdot i) \cdot x \cdot z^{4}, \sqrt{2} \cdot x, 2 \cdot π \cdot x 3$ тоже будут одночленами.

Что такое стандартный вид одночлена и как привести выражение к нему

Для удобства работы все одночлены сначала приводят к особому виду, называемому стандартным. Сформулируем конкретно, что же это значит.

Определение 2

Стандартным видом одночлена называют такой его вид, в которой он представляет из себя произведение числового множителя и натуральных степеней разных переменных. Числовой множитель, также называемый коэффициентом одночлена, обычно записывают первым с левой стороны.

Для наглядности подберем несколько одночленов стандартного вида: $6$ (это одночлен без переменных), $4 \cdot a, - 9 \cdot x^{2} \cdot y^{3}, 2 \frac{3}{5} \cdot x^{7}$ . Сюда же можно отнести выражение $x \cdot y$ (здесь коэффициент будет равен $1$ ), $- x^{3}$ (тут коэффициент равен $- 1$ ).

Теперь приведем примеры одночленов, которые нужно привести к стандартному виду: $4 \cdot a \cdot a^{2} \cdot a^{3}$ (здесь нужно объединить одинаковые переменные), $5 \cdot x \cdot (- 1) \cdot 3 \cdot y^{2}$ (тут нужно объединить слева числовые множители).

Обычно в случае, когда одночлен имеет несколько переменных, записанных буквами, буквенные множители записывают в алфавитном порядке. Например, предпочтительнее запись $6 \cdot a \cdot b^{4} \cdot c \cdot z^{2}$ , чем $b^{4} \cdot 6 \cdot a \cdot z^{2} \cdot c$ . Однако порядок может быть и другим, если этого требует цель вычисления.

Привести к стандартному виду можно любой одночлен. Для этого нужно выполнить все необходимые тождественные преобразования.

Понятие степени одночлена

Очень важным является сопутствующее понятие степени одночлена. Запишем определение данного понятия.

Определение 3

Степенью одночлена, записанного в стандартном виде, является сумма показателей степеней всех переменных, которые входят в его запись. Если ни одной переменной в нем нет, а сам одночлен отличен от $0$ , то его степень будет нулевой.

Сам нуль принято считать одночленом с неопределенной степенью.

Приведем примеры степеней одночлена.

Пример 1

Так, одночлен $a$ имеет степень, равную $1$ , поскольку $a = a^{1}$ . Если у нас есть одночлен $7$ ,то он будет иметь нулевую степень, поскольку в нем нет переменных и он отличен от $0$ . А вот запись $7 \cdot a^{2} \cdot x \cdot y^{3} \cdot a^{2}$ будет одночленом $8$ -й степени, ведь сумма показателей всех степеней переменных, включенных в него, будет равна $8$ : $2 + 1 + 3 + 2 = 8$ .

Одночлен, приведенный к стандартному виду, и исходный многочлен будут иметь одинаковую степень.

Пример 2

Покажем, как подсчитать степень одночлена $3 \cdot x^{2} \cdot y^{3} \cdot x \cdot (- 2) \cdot x^{5} \cdot y$ . В стандартном виде его можно записать как $- 6 \cdot x^{8} \cdot y^{4}$ . Вычисляем степень: $8 + 4 = 12$ . Значит, степень исходного многочлена также равна $12$ .

Понятие коэффициента одночлена

Если у нас есть одночлен, приведенный к стандартному виду, который включает в себя хотя бы одну переменную, то мы говорим о нем как о произведении с одним числовым множителем. Этот множитель называют числовым коэффициентом, или коэффициентом одночлена. Запишем определение.

Определение 4

Коэффициентом одночлена называют числовой множитель одночлена, приведенного к стандартному виду.

Возьмем для примера коэффициенты различных одночленов.

Пример 3

Так, в выражении $8 \cdot a^{3}$ коэффициентом будет число $8$ , а в $(- 2, 3) \cdot x \cdot y \cdot z$ им будет $- 2, 3$ .

Особое внимание надо уделить коэффициентам, равным единице и минус единице. Как правило, в явном виде их не указывают. Считается, что в одночлене стандартного вида, в котором нет числового множителя, коэффициент равен $1$ , например, в выражениях $a, x \cdot z^{3}, a \cdot t \cdot x$ , поскольку их можно рассматривать как как $1 \cdot a, x \cdot z^{3}$ – как $1 \cdot x \cdot z^{3}$ и т.д.

Точно так же в одночленах, в которых нет числового множителя и которые начинаются со знака минус, мы можем считать коэффициентом $- 1$ .

Пример 4

Например, такой коэффициент будет у выражений $- x, - x^{3} \cdot y \cdot z^{3}$ , поскольку они могут быть представлены как $- x = (- 1) \cdot x, - x^{3} \cdot y \cdot z^{3} = (- 1) \cdot x^{3} \cdot y \cdot z^{3}$ и т.д.

Если у одночлена вообще нет ни одного буквенного множителя, то говорить о коэффициенте можно и в этом случае. Коэффициентами таких одночленов-чисел будут сами эти числа. Так, например, коэффициент одночлена $9$ будет равен $9$ .