Преобразование рациональных выражений: виды преобразований, примеры

Преобразовать рациональное выражение $3·\frac{x}{x·y-1}-2·\frac{x}{x·y-1}$.

Решение

Видно, что такое рациональное выражение – это разность $3·\frac{x}{x·y-1}$ и $2·\frac{x}{x·y-1}$. Замечаем, что знаменатель у них идентичный. Это значит, что приведение подобных слагаемых примет вид

$3·\frac{x}{x·y-1}-2·\frac{x}{x·y-1}=\frac{x}{x·y-1}·\left(3-2\right)=\frac{x}{x·y-1}$

Ответ: $3·\frac{x}{x·y-1}-2·\frac{x}{x·y-1}=\frac{x}{x·y-1}$.

Выполнить преобразование $2·x·y^4·(-4)·x^2:(3·x-x)$.

Решение

Первоначально выполняем действия в скобках $3·x-x=2·x$. Данное выражение представляем в виде $2·x·y^4·(-4)·x^2:(3·x-x)=2·x·y^4·(-4)·x^2:\left(2·x\right)$. Мы приходим к выражению, которое содержит действия с одной ступенью, то есть имеет сложение и вычитание.

Избавляемя от скобок при помощи применения свойства деления. Тогда получаем, что $2·x·y^4·(-4)·x^2:\left(2·x\right)=2·x·y^4·(-4)·x^2:2:x$.

Группируем числовые множители с переменной $x$, после этого можно выполнять действия со степенями. Получаем, что

$2·x·y^4·(-4)·x^2:2:x=(2·(-4):2)·(x·x^2:x)·y^4=-4·x^2·y^4$

Ответ: $2·x·y^4·(-4)·x^2:(3·x-x)=-4·x^2·y^4$.

Преобразовать выражение вида $\frac{x·(x+3)-(3·x+1)}{{\displaystyle \frac{1}{2}·x·4+2}}$.

Решение

Для начала преобразовываем числитель и знаменатель. Тогда получаем выражение вида $(x·(x+3)-(3·x+1\left)\right):\left(\frac{1}{2}·x·4+2\right)$, причем действия в скобках делают в первую очередь. В числителе выполняются действия и группируются множители. После чего получаем выражение вида $\frac{x·(x+3)-(3·x+1)}{{\displaystyle \frac{1}{2}·x·4+2}}=\frac{x^2+3·x-3·x-1}{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}·4\right)·x+2}=\frac{x^2-1}{2·x+2}$.

Преобразуем в числителе формулу разности квадратов, тогда получаем, что

$\frac{x^2-1}{2·x+2}=\frac{(x-1)·(x+1)}{2·(x+1)}=\frac{x-1}{2}$

Ответ:  $\frac{x·(x+3)-(3·x+1)}{{\displaystyle \frac{1}{2}·x·4+2}}=\frac{x-1}{2}$.

Представить в виде рациональной дроби $\frac{a+5}{a·(a-3)}-\frac{a^2-25}{a+3}·\frac{1}{a^2+5·a}$.

Решение

Данное выражение можно представить в виде $\frac{a^2-25}{a+3}·\frac{1}{a^2+5·a}$. Умножение выполняется в первую очередь по правилам.

Следует начать с умножения, тогда получим, что

$\frac{a^2-25}{a+3}·\frac{1}{a^2+5·a}=\frac{\left(a-5\right)·(a+5)}{a+3}·\frac{1}{a·(a+5)}=\frac{\left(a-5\right)·(a+5)·1}{(a+3)·a·(a+5)}=\frac{a-5}{(a+3)·a}$

Производим представление полученного результата с исходное. Получим, что

$\frac{a+5}{a·(a-3)}-\frac{a^2-25}{a+3}·\frac{1}{a^2+5·a}=\frac{a+5}{a·\left(a-3\right)}-\frac{a-5}{\left(a+3\right){\displaystyle ·}{\displaystyle a}}$

Теперь выполняем вычитание:

$$\begin{gathered} \frac{a+5}{a·\left(a-3\right)}-\frac{a-5}{\left(a+3\right){\displaystyle ·}{\displaystyle a}}=\frac{\left(a+5\right)·\left(a+3\right)}{a·(a-3)·(a+3)}-\frac{(a-5)·(a-3)}{(a+3)·a·(a-3)}= \\ =\frac{\left(a+5\right)·\left(a+3\right)-(a-5)·(a-3)}{a·(a-3)·(a+3)}=\frac{a^2+3·a+5·a+15-(a^2-3·a-5·a+15)}{a·(a-3)·(a+3)}= \\ =\frac{16·a}{a·(a-3)·(a+3)}=\frac{16}{\left(a-3\right)·(a+3)}=\frac{16}{a^2-9} \end{gathered}$$

После чего очевидно, что исходное выражение примет вид $\frac{16}{a^2-9}$.

Ответ: $\frac{a+5}{a·(a-3)}-\frac{a^2-25}{a+3}·\frac{1}{a^2+5·a}=\frac{16}{a^2-9}$.

Представить $\frac{{\displaystyle \frac{x}{x+1}+1}}{{\displaystyle \frac{2·x-1}{1+x}}}$  в виде рациональной дроби.

Решение

Заданное выражение записывается как дробь, в числителе которой имеется $\frac{x}{x+1}+1$, а  в знаменателе $\frac{2·x-1}{1+x}$. Необходимо произвести преобразования $\frac{x}{x+1}+1$. Для этого нужно выполнить сложение дроби и числа. Получаем, что $\frac{x}{x+1}+1=\frac{x}{x+1}+\frac{1}{1}=\frac{x}{x+1}+\frac{1·(x+1)}{1·(x+1)}=\frac{x}{x+1}+\frac{x+1}{x+1}=\frac{x+x+1}{x+1}=\frac{2·x+1}{x+1}$

Следует, что $\frac{{\displaystyle \frac{x}{x+1}+1}}{{\displaystyle \frac{2·x-1}{1+x}}}=\frac{{\displaystyle \frac{2·x+1}{x+1}}}{{\displaystyle \frac{2·x-1}{1+x}}}$

Получившаяся дробь может быть записана как $\frac{2·x+1}{x+1}:\frac{2·x-1}{1+x}$.

После деления придем к  рациональной дроби вида

$\frac{2·x+1}{x+1}:\frac{2·x-1}{1+x}=\frac{{\displaystyle 2·x+1}}{{\displaystyle x+1}}·\frac{1+x}{2·x-1}=\frac{\left(2·x+1\right){\displaystyle ·}{\displaystyle (}{\displaystyle 1}{\displaystyle +}{\displaystyle x}{\displaystyle )}}{(x+1)·(2·x-1)}=\frac{2·x+1}{2·x-1}$

Можно решить это иначе.

Вместо деления на $\frac{2·x-1}{1+x}$ производим умножение на обратную ей $\frac{1+x}{2·x-1}$. Применим распределительное свойство и получаем, что

$$\begin{gathered} \frac{{\displaystyle \frac{x}{x+1}+1}}{{\displaystyle \frac{2·x-1}{1+x}}}=\left(\frac{x}{x+1}+1\right):\frac{2·x-1}{1+x}=\left(\frac{x}{x+1}+1\right)·\frac{1+x}{2·x-1}= \\ =\frac{x}{x+1}·\frac{1+x}{2·x-1}+1·\frac{1+x}{2·x-1}=\frac{x·\left(1+x\right)}{(x+1)·\left(2·x-1\right)}+\frac{1+x}{2·x-1}= \\ =\frac{x}{2·x-1}+\frac{1+x}{2·x-1}=\frac{x+1+x}{2·x-1}=\frac{2·x+1}{2·x-1} \end{gathered}$$

Ответ: $\frac{{\displaystyle \frac{x}{x+1}+1}}{{\displaystyle \frac{2·x-1}{1+x}}}=\frac{2·x+1}{2·x-1}$.