Схема Горнера

Содержание:

28 декабря 2023
6 минут
955

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

В этой статье мы расскажем об удобной схеме решения примеров на деление многочленов. Если нам нужно вычислить коэффициент частного $P_{n} (x) = a_{n} a^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + . . . + a_{1} x + a_{0}$ и остаток от деления многочлена на линейный двучлен $x - s$ , то удобно будет воспользоваться схемой (методом) Горнера.

Она заключается в создании особой таблицы и занесении в нее исходных данных:

$s_{i}$	коэффициенты многочленов
	$a_{n}$	$a_{n - 1}$	$a_{n - 2}$	$. . .$	$a_{0}$
$s$	$a_{n} = b_{n}$	$a_{n - 1} + b_{n} \cdot s = b_{n - 1}$	$a_{n - 2} + b_{n - 1} \cdot s = b_{n - 2}$	$. . .$	$a_{0} + b_{1} \cdot s = b_{0}$

Числа $b_{n}, b_{n - 1}, b_{n - 2}, . . ., b_{1}$ и будут нужными нам коэффициентами от деления $P_{n} (x) = a_{n} a^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + . . . + a_{1} x + a_{0}$ на $x - s$ . Остаток обозначен здесь как $b_{0}$ . Иначе можно записать решение так:

Схема Горнера

Теперь покажем , как именно применять эту схему на практике.

Пример 1

Условие: разделите многочлен $2 x^{4} - 3 x^{3} - x^{2} + 4 x + 13$ на линейный двучлен $х - 1$ , используя схему Горнера.

Решение

Заполним таблицу. У нас есть $s$ , равный единице, и коэффициенты $a_{4} = 2, a_{3} = - 3, a_{2} = - 1, a_{1} = 4, a_{0} = 13$ .

$s_{i}$	коэффициенты многочленов
	$a_{4} = 2$	$a_{3} = - 3$	$a_{2} = 1$	$a_{1} = 4$	$a_{0} = 13$
$s = 1$	$a_{4} = 2 = b_{4}$	$a_{3} + b_{4} \cdot s = = - 3 + 2 \cdot 1 = = - 1 = b_{3}$	$a_{2} + b_{3} \cdot s = = - 1 + (- 1) \cdot 1 = = - 2 = b_{2}$	$a_{1} + b_{2} \cdot s = 4 + (- 2) \cdot 1 = = 2 = b_{1}$	$a_{0} + b_{1} \cdot s = = 13 + 2 \cdot 1 = = 15 = b_{0}$

Ответ: получили частное, равное $b_{4} x^{3} + b_{3} x^{2} + b_{2} x + b_{1} = 2 x^{3} - x^{2} - 2 x + 2$ , и остаток $b_{0} = 15$ .

Во второй задаче мы обойдемся без подробных комментариев.

Пример 2

Условие: определите, можно ли разделить многочлен $2 x^{3} - 11 x^{2} + 12 x + 9$ на двучлен $x + \frac{1}{2}$ без остатка. Вычислите частное.

Решение

Заполним таблицу согласно схеме Горнера.

$s_{i}$	коэффициенты многочленов
	$2$	$- 11$	$12$	$9$
$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 11 + 2 \cdot (- \frac{1}{2}) = - 12$	$12 + (- 12) \cdot (- \frac{1}{2}) = 18$	$9 + 18 \cdot (- \frac{1}{2}) = 0$

В последней ячейке мы видим нулевой остаток, следовательно, разделить исходный многочлен на двучлен можно.

Ответ: частное будет представлять из себя многочлен $2 x^{2} - 12 x + 18$ .

Если $b_{0} = 0$ , то можно говорить о делимости многочлена $P_{n} (x) = a_{n} a^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + . . . + a_{1} x + a_{0}$ на двучлен $x - s$ , и мы имеем корень исходного многочлена, равный $s$ . Используя следствие из теоремы Безу, можем представить этот многочлен в виде произведения:

$P_{n} (x) = a_{n} a^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + . . . + a_{1} x + a_{0} = = (x - s) (b_{n} x^{n + 1} + b_{n - 1} x^{n - 2} + . . . + b_{1})$

Благодаря этому схема Горнера хорошо подходит для тех случаев, когда нужно отыскать целые корни уравнений высших степеней, имеющих целые коэффициенты, или же разложить многочлен на простые множители.

Пример 3

Условие: решите уравнение $x^{3} - 7 x - 6 = 0$ . Разложите многочлен слева на отдельные множители.

Решение

Мы знаем, что целые корни уравнения (если они есть) нужно искать среди делителей свободного члена. Запишем их отдельно $1, - 1, 2, - 2, 3, - 3, 6, - 6$ и проверим, используя схему Горнера.

$x_{i}$	коэффициенты многочленов
	$a_{3} = 1$	$a_{2} = 0$	$a_{1} = - 7$	$a_{0} = - 6$
$1$	$1$	$0 + 1 \cdot 1 = 1$	$- 7 + 1 \cdot 1 = - 6$	$- 6 + (- 6) \cdot 1 = - 12$

Из данных таблицы видно, что единица не будет входить в число корней данного уравнения.

Дополним таблицу еще одним возможным корнем.

$x_{i}$	коэффициенты многочленов
	$a_{3} = 1$	$a_{2} = 0$	$a_{1} = - 7$	$a_{0} = - 6$
$1$	$1$	$0 + 1 \cdot 1 = 1$	$- 7 + 1 \cdot 1 = - 6$	$- 6 + (- 6) \cdot 1 = - 12$
$- 1$	$1$	$0 + 1 \cdot (- 1) = - 1$	$- 7 + (- 1) \cdot (- 1) = - 6$	$- 6 + (- 6) \cdot (- 1) = 0$

А вот $- 1$ подходит, значит, мы можем представить исходный многочлен как $x^{3} - 7 x - 6 = (x + 1) (x^{2} - x - 6)$ .

Проверяем делители дальше. Начнем с $- 1$ , поскольку возможно повторение корней, но в качестве коэффициентов будем брать значения последней строки:

$x_{i}$	коэффициенты многочленов
	$a_{3} = 1$	$a_{2} = 0$	$a_{1} = - 7$	$a_{0} = - 6$
$1$	$1$	$0 + 1 \cdot 1 = 1$	$- 7 + 1 \cdot 1 = - 6$	$- 6 + (- 6) \cdot 1 = - 12$
$- 1$	$1$	$0 + 1 \cdot (- 1) = - 1$	$- 7 + (- 1) \cdot (- 1) = - 6$	$- 6 + (- 6) \cdot (- 1) = 0$
$- 1$	$1$	$- 1 + 1 \cdot (- 1) = - 2$	$- 6 + (- 2) \cdot (- 1) = - 4$

Из этого следует, что $- 1$ не будет кратным (повторяющимся) корнем. Берем следующий вариант и вычисляем:

$x_{i}$	коэффициенты многочленов
	$a_{3} = 1$	$a_{2} = 0$	$a_{1} = - 7$	$a_{0} = - 6$
$1$	$1$	$0 + 1 \cdot 1 = 1$	$- 7 + 1 \cdot 1 = - 6$	$- 6 + (- 6) \cdot 1 = - 12$
$- 1$	$1$	$0 + 1 \cdot (- 1) = - 1$	$- 7 + (- 1) \cdot (- 1) = - 6$	$- 6 + (- 6) \cdot (- 1) = 0$
$- 1$	$1$	$- 1 + 1 \cdot (- 1) = - 2$	$- 6 + (- 2) \cdot (- 1) = - 4$
$2$	$1$	$- 1 + 1 \cdot 2 = 1$	$- 6 + 1 \cdot 2 = - 4$

Число $2$ не входит в число корней уравнения. Дополним таблицу Горнера для $х = - 2$ :

$x_{i}$	коэффициенты многочленов
	$a_{3} = 1$	$a_{2} = 0$	$a_{1} = - 7$	$a_{0} = - 6$
$1$	$1$	$0 + 1 \cdot 1 = 1$	$- 7 + 1 \cdot 1 = - 6$	$- 6 + (- 6) \cdot 1 = - 12$
$- 1$	$1$	$0 + 1 \cdot (- 1) = - 1$	$- 7 + (- 1) \cdot (- 1) = - 6$	$- 6 + (- 6) \cdot (- 1) = 0$
$- 1$	$1$	$- 1 + 1 \cdot (- 1) = - 2$	$- 6 + (- 2) \cdot (- 1) = - 4$
$2$	$1$	$- 1 + 1 \cdot 2 = 1$	$- 6 + 1 \cdot 2 = - 4$
$- 2$	$1$	$- 1 + 1 \cdot (- 2) = - 3$	$- 6 + (- 3) \cdot (- 2) = 0$

Минус два будет корнем исходного уравнения. Мы можем записать многочлен так:

$x^{3} - 7 x - 6 = (x + 1) (x^{2} - x - 6) = = (x + 1) (x + 2) (x - 3)$

Третий и последний корень уравнения будет равен трем. Закончим заполнение таблицы, взяв значения последней полученной строки в качестве коэффициентов:

$x_{i}$	коэффициенты многочленов
	$a_{3} = 1$	$a_{2} = 0$	$a_{1} = - 7$	$a_{0} = - 6$
$1$	$1$	$0 + 1 \cdot 1 = 1$	$- 7 + 1 \cdot 1 = - 6$	$- 6 + (- 6) \cdot 1 = - 12$
$- 1$	$1$	$0 + 1 \cdot (- 1) = - 1$	$- 7 + (- 1) \cdot (- 1) = - 6$	$- 6 + (- 6) \cdot (- 1) = 0$
$- 1$	$1$	$- 1 + 1 \cdot (- 1) = - 2$	$- 6 + (- 2) \cdot (- 1) = - 4$
$2$	$1$	$- 1 + 1 \cdot 2 = 1$	$- 6 + 1 \cdot 2 = - 4$
$- 2$	$1$	$- 1 + 1 \cdot (- 2) = - 3$	$- 6 + (- 3) \cdot (- 2) = 0$
$3$	$1$	$- 3 + 1 \cdot 3 = 0$

Из этого можно сделать вывод, что последняя полученная таблица, заполненная по методу Горнера, и будет решением нашего примера. Эту задачу можно было решить и делением многочлена на линейный двучлен столбиком, однако показанная здесь схема нагляднее и проще.

Ответ: $х = - 1, х = - 2, х = 3$ , $x^{3} - 7 x - 6 = (x + 1) (x + 2) (x - 3)$ .