Возведение алгебраической дроби в степень: правило, примеры

Содержание:

29 июня 2023
4 минуты
2255

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Тема сводится к тому, что нам необходимо производить умножение одинаковых дробей. Данная статья расскажет, какое необходимо использовать правило, чтобы верно возводить алгебраические дроби в натуральную степень.

Правило возведения алгебраической дроби в степень, его доказательство

Перед тем, как начать возводить в степень, необходимо углубить знания при помощи статьи про степень с натуральным показателем, где имеется произведение одинаковых множителей, которые находятся в основании степени, причем их количество определено показателем. К примеру, число $2^{3} = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ .

При возведении в степень чаще всего используем правило. Для этого в отдельности возводят в степень числитель и отдельно знаменатель. Рассмотрим на примере ${(\frac{2}{3})}^{2} = \frac{2^{2}}{3^{2}} = \frac{4}{9}$ . Правило применимо для возведения дроби в натуральную степень.

При возведении алгебраической дроби в натуральную степень получаем новую, где числитель имеет степень исходной дроби, а знаменатель – степень знаменателя. Это все имеет вид ${(\frac{a}{b})}^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}$ , где $а$ и $b$ являются произвольными многочленами, $b$ является ненулевым, а $n$ натуральным числом.

Доказательство данного правила записывается в виде дроби, которую необходимо возвести в степень, основываясь на самом определении с натуральным показателем. Тогда получаем умножение дробей вида ${(\frac{a}{b})}^{n} = \frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} \cdot . . . \cdot \frac{a}{b} = \frac{a \cdot a \cdot . . . \cdot a}{b \cdot b \cdot . . . \cdot b} = \frac{a^{n}}{b^{n}}$

Примеры, решения

Правило возведения алгебраической дроби в степень производится последовательно: сначала числитель , потом знаменатель. Когда в числителе и знаменателе имеется многочлен, тогда само задание сведется к возведению заданного многочлена в степень. После чего будет указана новая дробь, которая равна исходной.

Пример 1

Произвести возведение дроби $\frac{x^{2}}{3 \cdot y \cdot z^{3}}$ в квадрат.

Решение

Необходимо зафиксировать степень ${(\frac{x^{2}}{3 \cdot y \cdot z^{3}})}^{2}$ . По правилу возведения алгебраической дроби в степень получаем равенство вида ${(\frac{x^{2}}{3 \cdot y \cdot z^{3}})}^{2} = \frac{{(x^{2})}^{2}}{{(3 \cdot y \cdot z^{3})}^{2}}$ . Теперь необходимо произвести преобразование полученной дроби к виду алгебраической, выполняя возведение в степень. Тогда получим выражение вида

$\frac{{(x^{2})}^{2}}{{(3 \cdot y \cdot z^{3})}^{2}} = \frac{x^{2 \cdot 2}}{3^{2} \cdot y^{2} \cdot {(z^{3})}^{2}} = \frac{x^{4}}{9 \cdot y^{2} \cdot z^{6}}$

Все случаи возведения в степень не предполагают подробного разъяснения, поэтому сам решение имеет краткую запись. То есть, получаем, что

${(\frac{x^{2}}{3 \cdot y \cdot z^{3}})}^{2} = \frac{{(x^{2})}^{2}}{{(3 \cdot y \cdot z^{3})}^{2}} = \frac{x^{4}}{9 \cdot y^{2} \cdot z^{6}}$

Ответ: ${(\frac{x^{2}}{3 \cdot y \cdot z^{3}})}^{2} = \frac{x^{4}}{9 \cdot y^{2} \cdot z^{6}}$ .

Если числитель и знаменатель имеют многочлены, тогда необходимо возводить всю дробь в степень, после чего применять формулы сокращенного умножения для его упрощения.

Пример 2

Возвести дробь $\frac{2 \cdot x - 1}{x^{2} + 3 \cdot x \cdot y - y}$ в квадрат.

Решение

Из правила имеем, что

${(\frac{2 \cdot x - 1}{x^{2} + 3 \cdot x \cdot y - y})}^{2} = \frac{{(2 \cdot x - 1)}^{2}}{{(x^{2} + 3 \cdot x \cdot y - y)}^{2}}$

Чтобы преобразовать выражение, необходимо воспользоваться формулой квадрата суммы трех слагаемых в знаменателе, а в числителе – квадратом разности, что позволит упростить выражение. Получим:

$\frac{{(2 \cdot x - 1)}^{2}}{{(x^{2} + 3 \cdot x \cdot y - y)}^{2}} = = \frac{{(2 \cdot x)}^{2} - 2 \cdot (2 \cdot x) \cdot 1 + 1^{2}}{{(x^{2})}^{2} + {(3 \cdot x \cdot y)}^{2} + {(- y)}^{2} + 2 \cdot x^{2} \cdot 3 \cdot x \cdot y + 2 \cdot x^{2} \cdot (- y) + 2 \cdot 3 \cdot x \cdot y \cdot (- y)} = = \frac{4 \cdot x^{2} - 4 \cdot x + 1}{x^{4} + 9 \cdot x^{2} \cdot y^{2} + y^{2} + 6 \cdot x^{3} \cdot y - 2 \cdot x^{2} \cdot y - 6 \cdot x \cdot y^{2}}$

Ответ: $\frac{{(2 \cdot x - 1)}^{2}}{{(x^{2} + 3 \cdot x \cdot y - y)}^{2}} = \frac{4 \cdot x^{2} - 4 \cdot x + 1}{x^{4} + 9 \cdot x^{2} \cdot y^{2} + y^{2} + 6 \cdot x^{3} \cdot y - 2 \cdot x^{2} \cdot y - 6 \cdot x \cdot y^{2}}$

Заметим, что при возведении в натуральную степень дробь, которую не можем сократить, получаем также несократимую дробь. Это не упрощает ее для дальнейшего решения. Когда заданная дробь может быть сокращена, тогда при возведении в степень получаем, что необходимо выполнение сокращения алгебраической дроби, во избежание выполнения сокращения после того, как возведем в степень.