Возведение одночлена в степень, правило, примеры

13 сентября 2023
5 минут
2 648

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Определение умножения одночлена на одночлен полагает возведение одночлена в степень. В данной статье рассмотрим решение примеров с натуральным показателем со всеми нюансами.

Правило произведения одночлена в степень

Для возведения одночлена в степень необходимо разделить все действие на несколько этапов.

Рассмотрим на решении многочлена стандартного вида $2 \cdot x \cdot y^{5}$ . При возведении в $3$ степень получим, что $(2 \cdot x \cdot y^{5})^{3}$ . При подробном рассмотрении видно, что он состоит из множителей вида $2$ , $x$ и $y^{5}$ . Тогда можно проводить тождественное преобразование с применением свойств степени.

На начальном этапе получаем, что $(2 \cdot x \cdot y^{5})^{3} = 2^{3} \cdot x^{3} \cdot (y^{5})^{3}$ , после чего производим замену $(y^{5})^{3}$ на $y^{15}$ , тогда получим выражение вида $2^{3} \cdot x^{3} \cdot (y^{5})^{3} = 2^{3} \cdot x^{3} \cdot y^{15}$ . Можно поработать с возведением в степень числа 2. Получаем, что $2^{3} = 8$ можно заменить на $8 \cdot x^{3} \cdot y^{15}$ ^.Это и есть многочлен стандартного вида.

Определение 1

Существуют правила возведения одночлена в степень:

произвести запись выражения;
применение свойства возведения произведения в степень;
применение свойства возведения степени в степень и вычислить степень чисел.

Определение 2

Результат возведения одночлена в степень является новым одночленом. При стандартном его виде при возведении также получим многочлен стандартного вида.

Примеры

Рассмотрим примеры решения на возведение многочленов в степень.

Пример 1

Возвести в степень многочлены $(x \cdot y)^{10}$ , $(- \frac{1}{4} \cdot x)$ , $(- 0, 3 \cdot a^{2} \cdot b^{3} \cdot c^{4})^{3}$ .

Решение

Чтобы возвести в степень необходимо задействовать правило возведения в степень вида $(x \cdot y)^{10} = x^{10} \cdot y^{10}$ , тогда видим, что полученное выражение не имеет степеней в степени. Тогда нужно переходить к следующему шагу. Получим, что

${(- 1 \frac{1}{4} \cdot x)}^{2} = {(- 1 \frac{1}{4})}^{2} \cdot x^{2}$

Последнее выражение имеет дробь вида ${(- 1 \frac{1}{4})}^{2}$ , которую необходимо заменить. Тогда ${(- 1 \frac{1}{4})}^{2} = {(- 1 \frac{1}{4})}^{2} \cdot x^{2} = 1 \frac{9}{16} \cdot x^{2}$ , то ${(- 1 \frac{1}{4})}^{2} \cdot x^{2} = 1 \frac{9}{16} \cdot x^{2}$

Краткая запись выглядит таким образом:

${(- 1 \frac{1}{4} \cdot x)}^{2} = {(- 1 \frac{1}{4})}^{2} \cdot x^{2} = 1 \frac{9}{16} \cdot x^{2}$

Теперь необходимо выполнить возведение произведения в степень:

$(- 0, 3 \cdot a^{2} \cdot b^{3} \cdot c^{4})^{3} = (- 0, 3)^{3} \cdot (a 2)^{3} \cdot (b 3)^{3} \cdot (c 4)^{3}$ .

После использования свойства степени получаем, что нужно произвести вычисление $(- 0, 3)^{3}$ . Видно, что

$(a^{2})^{3} = a^{2} \cdot 3 = a^{6}, (b^{3})^{3} = b^{3} \cdot 3 = b^{9}, (c^{4})^{3} = c^{4} \cdot 3 = c^{12}$

$(- 0, 3)^{3} = (- 0, 3) \cdot (- 0, 3) \cdot (- 0, 3) = - 0, 027$ , тогда получим, что $- 0, 027 \cdot a^{6} \cdot b^{9} \cdot c^{12}$ .

Краткое решение изображается таким образом: $(- 0, 3 \cdot a^{2} \cdot b^{3} \cdot c^{4})^{3} = (- 0, 3)^{3} \cdot (a^{2})^{3} \cdot (b^{3})^{3} \cdot (c^{4})^{3} = - 0, 027 \cdot a^{6} \cdot b^{9} \cdot c^{12}$ .

Ответ: $(x \cdot y)^{10} = x^{10} \cdot y^{10}$ , $(- 1 \frac{1}{4} \cdot x) = 1 \frac{9}{16} \cdot x^{2}$ и $(- 0, 3 \cdot a^{2} \cdot b^{3} \cdot c^{4})^{3} = - 0, 027 \cdot a^{6} \cdot b^{9} \cdot c^{12}$

Следующий пример покажет возведение в степень одночлена нестандартного вида.

Пример 2

Возвести в квадрат многочлен вида $2 \cdot x^{3} \cdot 5 \cdot x$ .

Решение

По условию имеем, что многочлен записан не в стандартном виде. Значит, необходимо произвести возведение в квадрат. Тогда получим выражение вида $(2 \cdot x^{3} \cdot 5 \cdot x)^{2} = 2^{2} \cdot (x^{3})^{2} \cdot 5^{2} \cdot x^{2} = 4 \cdot x^{6} \cdot 25 \cdot x^{2}$ . При полученном одночлене следует перейти к стандартному виду $100 \cdot x^{8}$ .

Исходное выражение запишем как $2 \cdot x^{3} \cdot 5 \cdot x = 10 \cdot x^{4}$ , после чего выполним возведение во $2$ степень. Получим: $(10 \cdot x^{4})^{2} = 10^{2} \cdot (x^{4})^{2} = 100 \cdot x^{8}$ .

Понятно, что результат эквивалентен. То есть для решения можно приводить выражение к стандартному виду либо решать как дано по условию, результат будет один.

Ответ: $(2 \cdot x^{3} \cdot 5 \cdot x)^{2} = 100 \cdot x^{8}$ .

При возведении в степень имеется нюанс при наличии минуса перед многочленом. Если имеем выражение типа $- a^{4} \cdot b^{7} \cdot c^{2}$ , тогда получаем, что $- 1$ является коэффициентом многочлена. Допускается его запись в явном виде.

Пример 3

Возвести в степень $(- x^{2} \cdot y^{4})^{3}$ .

Решение

По условию имеем, что $- 1$ является коэффициентом выражения, тогда необходимо сделать запись в явном виде: $(- x^{2} \cdot y^{4})^{3} = (- 1 \cdot x^{2} \cdot y^{4})^{3}$ . Действуя по правилам возведения в степень, получаем, что выражение принимает вид $(- 1 \cdot x^{2} \cdot y^{4})^{3} = (- 1)^{3} \cdot (x^{2})^{3} \cdot (y^{4})^{3} = - 1 \cdot x^{6} \cdot y^{12}$ . Наличие коэффициента $- 1$ записывается просто как $- x^{6} \cdot y^{12}$

Искомое выражение имеет вид $(- x^{2} \cdot y^{4})^{3} = (- 1 \cdot x^{2} \cdot y^{4})^{3} = (- 1)^{3} \cdot (x^{2})^{3} \cdot (y^{4})^{3} = - 1 \cdot x^{6} \cdot y^{12} = - x^{6} \cdot y^{12}$ .

Ответ: $(- x^{2} \cdot y^{4})^{3} = - x^{6} \cdot y^{12}$ .