Свойства деления натуральных чисел

В рамках этой статьи мы изучим общие представления, связанные с делением натуральных чисел. Их принято называть свойствами процесса деления. Мы разберем основные из них, поясним их значение и подкрепим свои рассуждения примерами.

Деление двух равных натуральных чисел

Чтобы понять, как разделить одно натуральное число на другое, равное ему, нужно вернуться к пониманию смысла самого процесса деления. От того, какой смысл мы придаем делителю, зависит конечный результат. Разберем два возможных варианта.

Итак, мы имеем a предметов ($a$ – произвольно взятое натуральное число). Распределим предметы по группам поровну, при этом число групп должно быть равно a. Очевидно, что в каждой группе при этом будет всего один предмет.

Переформулируем немного иначе: как распределить a предметов в группы по a предметов в каждой? Сколько групп получится в итоге? Конечно, всего одна.

Подведем итоги и выведем первое свойство деления натуральных чисел одинаковой величины:

Разберем для наглядности два примера:

Как видно, от конкретных цифр тут ничего не зависит, результат будет один и тот же при условии равенства делимого и делителя.

Деление натурального числа на единицу

Как и в предыдущем пункте, начнем с задач. Допустим, что у нас имеются любые предметы в количестве, равном $a$. Необходимо разделить их на некоторое количество частей по одному предмету в каждой. Понятно, что у нас выйдет $a$ частей.

А если мы спросим: сколько предметов будет в группе, если в нее поместить a предметов? Ответ очевиден – $a$.

Таким образом, мы подходим к формулированию свойства деления натуральных чисел на $1$:

Разберем $2$ примера:

Отсутствие переместительного свойства для деления натуральных чисел

В случае с умножением мы свободно можем поменять множители местами и получить тот же результат, однако на деление это правило не распространяется. Менять местами делимое и делитель можно только в случае, если они являются равными натуральными числами (это свойство мы уже рассматривали в первом пункте). То есть можно сказать, что переместительное свойство распространяется только на случай, если в делении участвуют равные натуральные числа.

В остальных случаях менять местами делимое с делителем нельзя, поскольку это приведет к искажению результата. Объясним подробнее, почему.

Разделять любые натуральные числа на другие, также произвольно взятые, мы можем не всегда. Например, если делимое меньше делителя, то такой пример решить мы не можем (как делить натуральные числа с остатком, мы разберем в отдельном материале). Иными словами, если некоторое натуральное число, равное $a$, мы можем разделить на $b$? И их значения при этом не равны, то $a$ будет больше $b$, а запись $b:a$ смысла иметь не будет. Выведем правило:

Деление суммы 2-х натуральных чисел на другое натуральное число

Чтобы лучше объяснить это правило, возьмем наглядные примеры.

У нас есть группа детей, между которыми надо поровну разделить мандарины. Фрукты сложены в два пакета. Возьмем условие, что количество мандаринов таково, что можно поделить их на всех детей без остатка. Можно пересыпать мандарины в один общий пакет, а потом поделить и раздать. А можно поделить сначала фрукты из одного пакета, а потом из другого. Очевидно, что и в том, и в другом случае никто не будет в обиде и все будет разделено поровну. Следовательно, мы можем сказать:

У нас получилось равенство, в правой части которого первым выполняется деление, а вторым – сложение (вспомним, как правильно выполнять арифметические действия по порядку).

Докажем справедливость получившегося равенства на примере.

Сумма натуральных чисел, которая стоит в примере в качестве делимого, может быть не только $2$, но и $3$ и больше. Это свойство в комбинации с сочетательным свойством сложения натуральных чисел дает нам возможность выполнять и такие подсчеты.

Деление разности 2-х натуральных чисел на другое натуральное число

Подобным образом можно вывести правило для разности натуральных чисел, которую мы будем делить на другое натуральное число:

Докажем справедливость этого правила на примере.

Деление произведения двух натуральных чисел на другое натуральное число

Вспомним о том, какая связь существует между делением и умножением, тогда свойство деления произведения на натуральное число, равное одному из множителей, будет нам очевидно. Выведем правило:

А как быть в случае, если делитель не равен ни одному из множителей, которые образуют делимое? Тогда здесь действует другое правило:

Мы получили весьма неочевидное на первый взгляд утверждение. Однако если учесть, что умножение натуральных чисел, по сути, сводится к сложению равных по значению слагаемых (см. материал об умножении натуральных чисел), то можно вывести этой свойство из другого, о котором мы говорили чуть выше.

Запишем это правило в буквенном виде (значения всех переменных – натуральные числа).

Если $a$ мы можем разделить на $c$, то будет верно $(a·b):c=(a:c) ·b$.

Если $b$ делится на $c$, то верно $(a·b):c=a·(b:c)$.

Если и $a$, и $b$ делятся на $c$, то можем приравнять одно равенство к другому: $(a·b):c=(a:c) ·b=a·(b:c)$.

С учетом рассмотренного выше свойства деления произведения на другое натуральное число будут верны равенства $(8·6):2= (8:2) ·6$ и $(8·6):2=8· (6:2)$.

Мы можем записать их в виде двойного равенства: $(8·6):2= (8:2) ·6=8· (6:2)$.

Деление натурального числа на произведение 2-х других натуральных чисел

И вновь мы начнем с примера. У нас есть некоторое количество призов, обозначим его $a$. Их надо поровну распределить между участниками команд. Обозначим число участников буквой $c$, а команд – буквой $b$. При этом возьмём такие значения переменных, при которых запись деления будет иметь смысл. Задачу можно решить двумя разными способами. Рассмотрим оба.

1.  Можно вычислить общее количество участников, умножив $b$ на $c$, после чего разделить все призы на полученное число. В буквенном виде это решение можно записать как $a:(b·c)$.

2. Можно поделить сначала призы на количество команд, а потом распределить их внутри каждой команды. Запишем это как $(a:b):c$.

Очевидно, что оба способа дадут нам идентичные ответы. Поэтому оба равенства мы можем приравнять друг к другу: $a:(b·c)=(a:b):c$. Это и будет буквенная запись свойства деления, которое мы рассматриваем в этом пункте. Сформулируем правило:

Деление нуля на натуральное число

Что такое нуль? Ранее мы условились, что он означает отсутствие чего-либо. Нуль мы не относим к натуральным числам. Получается, что, если мы разделим нуль на натуральное число, это будет равнозначно попытке разделить пустоту на части. Понятно, что в итоге мы все равно получим «ничто», на сколько бы частей мы его не делили. Выводим отсюда правило:

Деление натурального числа на нуль

Это действие выполнить нельзя. Давайте выясним, почему именно.

Возьмем произвольное число $a$ и предположим, что его можно разделить на $0$ и получить в итоге некое число $b$. Запишем это как $a:0=b$. Теперь вспомним, как связано между собой умножение и деление, и выведем равенство $b·0=a$, которое также должно быть справедливым.

Но ранее мы уже поясняли свойство умножения натуральных чисел на ноль. Согласно ему $b·0=0$. Если сопоставить полученные равенства, у нас получится, что $a=0$, а это противоречит исходному условию (ведь нуль не является натуральным числом). Выходит, что у нас получилось противоречие, которое доказывает невозможность такого действия.