Теория дифференциальных уравнений: определения и понятия

С этой темы мы рекомендуем начинать изучение теории дифференциальных уравнений. В одном разделе мы собрали все основные термины и определения, которые будут применяться при рассмотрении теоретической части. Для того, чтобы облегчить усвоение материала, мы приводим многочисленные примеры.

Дифференциальное уравнение

Определение 1

Дифференциальное уравнение – это уравнение, которое содержит неизвестную функцию под знаком производной или дифференциала.

Обыкновенное дифференциальное уравнение содержит неизвестную функцию, которая является функцией одной переменной. Если же переменных несколько, то мы имеем дело с уравнением в частных производных.

Имеет значение также порядок дифференциального уравнения, за который принимают максимальный порядок производной неизвестной функции дифференциального уравнения.

Пример 1

Обыкновенные дифференциальные уравнения $1$ -го, $2$ -го и $5$ -го порядков:

$1) y' + 1 = 0; 2) \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + y = x \cdot \sin x; 3) y^{(5)} + y^{(3)} = a \cdot y, α \in R$

Пример 2

Уравнения в частных производных $2$ -го порядка:

$1) \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} = v^{2} \cdot (\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}), u = u (x, y, z, t), v \in R; 2) \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} - \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} = 0, u = u (x, y)$

С порядками ДУ разобрались. Далее мы будем в основном рассматривать обыкновенные дифференциальные уравнения $n$ -ого порядка вида $F (x, y, y', y'', . . ., y^{(n)}) = 0$ или $F (x, y, \frac{d y}{d x}, \frac{d^{2} y}{d x^{2}}, . . ., \frac{d^{n} y}{d x^{n}}) = 0$ , в которых $Ф (x, y) = 0$ - это заданная неявно функция. В тех случаях, когда это будет возможно, неявную функцию мы будем записывать в ее явном представлении $y = f (x)$ .

Интегрирование дифференциального уравнения

Определение 2

Интегрирование дифференциального уравнения – это процесс решения этого уравнения.

Решением дифференциального уравнения является функция $Ф (x, y) = 0$ , которая задана неявно и которая обращает данное уравнение в тождество. В некоторых случаях нам нужно будет неявно заданную функцию $у$ выражать через аргумент $х$ явно.

Искать решение дифференциального уравнения мы всегда будем на интервале $Х$ , который задается заранее.

В каких случаях мы будем учитывать интервал $Х$ ? Обычно в условии задач он не упоминается. В этих случаях мы буде искать решение уравнения $F (x, y, y', y'', . . ., y^{(n)})$ для всех $х$ , при которых искомая функция $у$ и исходное уравнение будут иметь смысл.

Определение 3

Интеграл дифференциального уравнения – это название решения дифференциального уравнения.

Пример 3

Функции $y = \int x d x$ или $y = \frac{x^{2}}{2} + 1$ можно назвать решением дифференциального уравнения $y' = x$ .

У одного дифференциального уравнения может быть множество решений.

Пример 4

Функция $y = \frac{x^{3}}{3}$ является решением ДУ $y' = x^{2}$ . Если мы подставим полученную функцию в исходное выражение, то получим тождество $y' = (\frac{x^{3}}{3}) = \frac{1}{3} \cdot 3 x^{2} = x^{2}$ .

Вторым решением данного дифференциального уравнения является $y = \frac{x^{3}}{3} + 1$ . Подстановка полученной функции в уравнение также превращает его в тождество.

Общее решение ДУ

Определение 4

Общее решение ДУ – это все множество решений данного дифференциального уравнения.

Также общее решение часто носит название общего интеграла ДУ.

Пример 5

Общее решение дифференциального уравнения $y' = x^{2}$ имеет вид $y = \int x^{2} d x$ или $y = \frac{x^{3}}{3} + C$ , где $C$ – произвольная постоянная. Из общего интеграла ДУ $y = \frac{x^{3}}{3} + C$ мы можем прийти к двум решениям, которые мы привели в прошлом примере. Для этого нам нужно подставить значения $С = 0$ и $C = 1$ .

Частное решение ДУ

Определение 5

Частное решение ДУ – это такое решение, которое удовлетворяет условиям, заданным изначально.

Пример 6

Для ДУ $y' = x^{2}$ частным решением, которое будет удовлетворять условию $y (1) = 1$ , будет $y = \frac{x^{3}}{3} + \frac{2}{3}$ . Действительно, $y' = {(\frac{x^{3}}{3} + \frac{2}{3})}^{'} = x^{2}$ и $y (1) = \frac{1^{3}}{3} + \frac{2}{3} = 1$ .

К числу основных задач из теории дифференциальных уравнений относятся:

задачи Коши;
задачи нахождения общего решения ДУ при заданном интервале $Х$ ;
краевые задачи.

Особенностью задач Коши является наличие начальных условий, которым должно удовлетворять полученное частное решение ДУ. Начальные условия задаются следующим образом:

$f (x_{0}) = f_{0}; f' (x_{0}) = f_{1}; f'' (x_{0}) = f_{2}; . . .; f^{(n - 1)} (x_{0}) = f_{n - 1}$

где $f_{0}; f_{1}; f_{2}; . . .; f_{n - 1}$ - это некоторые числа.

Особенностью краевых задач является наличие дополнительных условий в граничных точках $x_{0}$ и $x_{1}$ , которым должно удовлетворять решение ДУ второго порядка: $f (x_{0}) = f_{0}, f (x_{1}) = f_{1}$ , где $f_{0}$ и $f_{1}$ - заданные числа. Такие задачи также часто называют граничными задачами.

Линейное обыкновенное ДУ $n$ -ого порядка имеет вид:

$f_{n} (x) \cdot y^{(n)} + f_{n - 1} (x) \cdot y^{(n - 1)} + . . . + f_{1} (x) \cdot y' + f_{0} (x) \cdot y = f (x)$

При этом коэффициенты $f_{0} (x); f_{1} (x); f_{2} (x); . . .; f_{n} (x)$ - это непрерывные функции аргумента $х$ на интервале интегрирования.

Уравнение $f_{n} (x) \cdot y^{(n)} + f_{n - 1} (x) \cdot y^{(n - 1)} + . . . + f_{1} (x) \cdot y' + f_{0} (x) \cdot y = f (x)$ будет называться линейным однородным дифференциальным уравнением в том случае, если $f (x) \equiv 0$ . Если нет, то мы будем иметь дело с линейным неоднородным ДУ.

В линейных однородных ДУ коэффициенты $f_{0} (x) = f_{0}; f_{1} (x) = f_{1}; f_{2} (x) = f_{2}; . . .; f_{n} (x) = f_{n}$ могут быть постоянными функциями (некоторыми числами), то мы будем говорить о ЛОДУ с постоянными коэффициентами или ЛНДУ с постоянными коэффициентами. В ЛОДУ с постоянными коэффициентами $f (x) \equiv 0$ , в ЛНДУ с постоянными коэффициентами $f (x)$ ненулевая.

Характеристическое уравнение ЛНДУ $n$ -ой степени с постоянными коэффициентами

Определение 6

Характеристическое уравнение ЛНДУ $n$ -ой степени с постоянными коэффициентами – это уравнение $n$ -ой степени вида $f_{n} \cdot k^{n} + f_{n - 1} \cdot k^{n - 1} + . . . + f_{1} \cdot k + f_{0} = 0$ .