Нахождение площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x), x=g(y)

Теорема

Пусть функции $y = f_{1} (x)$ $y = f_{1} (x)$ и $y = f_{2} (x)$ $y = f_{2} (x)$ определены и непрерывны на отрезке $[a; b]$ $[a; b]$ , причем $f_{1} (x) \leq f_{2} (x)$ $f_{1} (x) \leq f_{2} (x)$ для любого значения $x$ $x$ из $[a; b]$ $[a; b]$ . Тогда формула для вычисления площади фигуры $G$ $G$ , ограниченной линиями $x = a, x = b, y = f_{1} (x)$ $x = a, x = b, y = f_{1} (x)$ и $y = f_{2} (x)$ $y = f_{2} (x)$ будет иметь вид $S (G) = \int_{a}^{b} (f_{2} (x) - f_{1} (x)) d x$ $S (G) = \int_{a}^{b} (f_{2} (x) - f_{1} (x)) d x$ .

Похожая формула будет применима для площади фигуры, ограниченной линиями $y = c, y = d, x = g_{1} (y)$ $y = c, y = d, x = g_{1} (y)$ и $x = g_{2} (y)$ $x = g_{2} (y)$ : $S (G) = \int_{c}^{d} (g_{2} (y) - g_{1} (y) d y$ $S (G) = \int_{c}^{d} (g_{2} (y) - g_{1} (y) d y$ .

Доказательство

Разберем три случая, для которых формула будет справедлива.

Формула для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x) или x=g(y)

В первом случае, учитывая свойство аддитивности площади, сумма площадей исходной фигуры $G$ $G$ и криволинейной трапеции $G_{1}$ $G_{1}$ равна площади фигуры $G_{2}$ $G_{2}$ . Это значит, что

Формула для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x) или x=g(y)

Поэтому, $S (G) = S (G_{2}) - S (G_{1}) = \int_{a}^{b} f_{2} (x) d x - \int_{a}^{b} f_{1} (x) d x = \int_{a}^{b} (f_{2} (x) - f_{1} (x)) d x$ $S (G) = S (G_{2}) - S (G_{1}) = \int_{a}^{b} f_{2} (x) d x - \int_{a}^{b} f_{1} (x) d x = \int_{a}^{b} (f_{2} (x) - f_{1} (x)) d x$ .

Выполнить последний переход мы можем с использованием третьего свойства определенного интеграла.

Во втором случае справедливо равенство: $S (G) = S (G_{2}) + S (G_{1}) = \int_{a}^{b} f_{2} (x) d x + (- \int_{a}^{b} f_{1} (x) d x) = \int_{a}^{b} (f_{2} (x) - f_{1} (x)) d x$ $S (G) = S (G_{2}) + S (G_{1}) = \int_{a}^{b} f_{2} (x) d x + (- \int_{a}^{b} f_{1} (x) d x) = \int_{a}^{b} (f_{2} (x) - f_{1} (x)) d x$

Графическая иллюстрация будет иметь вид:

Формула для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x) или x=g(y)

Если обе функции неположительные, получаем: $S (G) = S (G_{2}) - S (G_{1}) = - \int_{a}^{b} f_{2} (x) d x - (- \int_{a}^{b} f_{1} (x) d x) = \int_{a}^{b} (f_{2} (x) - f_{1} (x)) d x$ $S (G) = S (G_{2}) - S (G_{1}) = - \int_{a}^{b} f_{2} (x) d x - (- \int_{a}^{b} f_{1} (x) d x) = \int_{a}^{b} (f_{2} (x) - f_{1} (x)) d x$ . Графическая иллюстрация будет иметь вид:

Формула для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x) или x=g(y)

Перейдем к рассмотрению общего случая, когда $y = f_{1} (x)$ $y = f_{1} (x)$ и $y = f_{2} (x)$ $y = f_{2} (x)$ пересекают ось $O x$ $O x$ .

Точки пересечения мы обозначим как $x_{i}, i = 1, 2, . . ., n - 1$ $x_{i}, i = 1, 2, . . ., n - 1$ . Эти точки разбивают отрезок $[a; b]$ $[a; b]$ на $n$ $n$ частей $[x_{i - 1}; x_{i}], i = 1, 2, . . ., n$ $[x_{i - 1}; x_{i}], i = 1, 2, . . ., n$ , где $α = x_{0} < x_{1} < x_{2} < . . . < x_{n - 1} < x_{n} = b$ $α = x_{0} < x_{1} < x_{2} < . . . < x_{n - 1} < x_{n} = b$ . Фигуру $G$ $G$ можно представить объединением фигур $G_{i}, i = 1, 2, . . ., n$ $G_{i}, i = 1, 2, . . ., n$ . Очевидно, что на своем интервале $G_{i}$ $G_{i}$ попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как $S (G_{i}) = \int_{x_{i - 1}}^{x_{i}} (f_{2} (x) - f_{1} (x)) d x, i = 1, 2, . . ., n$ $S (G_{i}) = \int_{x_{i - 1}}^{x_{i}} (f_{2} (x) - f_{1} (x)) d x, i = 1, 2, . . ., n$

Следовательно,

$S (G) = \sum_{i = 1}^{n} S (G_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} \int_{x_{i}}^{x_{i}} f_{2} (x) - f_{1} (x)) d x = = \int_{x_{0}}^{x_{n}} (f_{2} (x) - f (x)) d x = \int_{a}^{b} (f_{2} (x) - f_{1} (x)) d x$ $S (G) = \sum_{i = 1}^{n} S (G_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} \int_{x_{i}}^{x_{i}} f_{2} (x) - f_{1} (x)) d x = = \int_{x_{0}}^{x_{n}} (f_{2} (x) - f (x)) d x = \int_{a}^{b} (f_{2} (x) - f_{1} (x)) d x$

Последний переход мы можем осуществить с использованием пятого свойства определенного интеграла.

Проиллюстрируем на графике общий случай.

Формула для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x) или x=g(y)

Формулу $S (G) = \int_{a}^{b} (f_{2} (x) - f_{1} (x)) d x$ $S (G) = \int_{a}^{b} (f_{2} (x) - f_{1} (x)) d x$ можно считать доказанной.

Пример 1

Необходимо определить площадь фигуры, которая ограничена параболой $y = - x^{2} + 6 x - 5$ $y = - x^{2} + 6 x - 5$ и прямыми линиями $y = - \frac{1}{3} x - \frac{1}{2}$ $y = - \frac{1}{3} x - \frac{1}{2}$ , $x = 1, x = 4$ $x = 1, x = 4$ .

Решение

Изобразим линии на графике в декартовой системе координат.

Примеры вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x) или x=g(y)

На отрезке $[1; 4]$ $[1; 4]$ график параболы $y = - x^{2} + 6 x - 5$ $y = - x^{2} + 6 x - 5$ расположен выше прямой $y = - \frac{1}{3} x - \frac{1}{2}$ $y = - \frac{1}{3} x - \frac{1}{2}$ . В связи с этим, для получения ответа используем формулу, полученную ранее, а также способ вычисления определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница:

$S (G) = \int_{1}^{4} (- x^{2} + 6 x - 5 - (- \frac{1}{3} x - \frac{1}{2})) d x = = \int_{1}^{4} (- x^{2} + \frac{19}{3} x - \frac{9}{2}) d x = {(- \frac{1}{3} x^{3} + \frac{19}{6} x^{2} - \frac{9}{2} x)}_{1}^{4} = = - \frac{1}{3} \cdot 4^{3} + \frac{19}{6} \cdot 4^{2} - \frac{9}{2} \cdot 4 - (- \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{19}{6} \cdot 1^{2} - \frac{9}{2} \cdot 1) = = - \frac{64}{3} + \frac{152}{3} - 18 + \frac{1}{3} - \frac{19}{6} + \frac{9}{2} = 13$ $S (G) = \int_{1}^{4} (- x^{2} + 6 x - 5 - (- \frac{1}{3} x - \frac{1}{2})) d x = = \int_{1}^{4} (- x^{2} + \frac{19}{3} x - \frac{9}{2}) d x = {(- \frac{1}{3} x^{3} + \frac{19}{6} x^{2} - \frac{9}{2} x)}_{1}^{4} = = - \frac{1}{3} \cdot 4^{3} + \frac{19}{6} \cdot 4^{2} - \frac{9}{2} \cdot 4 - (- \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{19}{6} \cdot 1^{2} - \frac{9}{2} \cdot 1) = = - \frac{64}{3} + \frac{152}{3} - 18 + \frac{1}{3} - \frac{19}{6} + \frac{9}{2} = 13$

Ответ: $S (G) = 13$ $S (G) = 13$

Пример 2

Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена линиями $y = \sqrt{x + 2}, y = x, x = 7$ $y = \sqrt{x + 2}, y = x, x = 7$ .

Решение

В данном случае мы имеем только одну прямую линию, расположенную параллельно оси абсцисс. Это $x = 7$ $x = 7$ . Это требует от нас найти второй предел интегрирования самостоятельно.

Построим график и нанесем на него линии, данные в условии задачи.

Примеры вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x) или x=g(y)

Имея график перед глазами, мы легко можем определить, что нижним пределом интегрирования будет абсцисса точки пересечения графика прямой $y = x$ $y = x$ и полу параболы $y = \sqrt{x + 2}$ $y = \sqrt{x + 2}$ . Для нахождения абсциссы используем равенства:

$y = \sqrt{x + 2} О Д З : x \geq - 2 x^{2} = {(\sqrt{x + 2})}^{2} x^{2} - x - 2 = 0 D = (- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2) = 9 x_{1} = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = 2 \in О Д З x_{2} = \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = - 1 \notin О Д З$ $y = \sqrt{x + 2} О Д З : x \geq - 2 x^{2} = {(\sqrt{x + 2})}^{2} x^{2} - x - 2 = 0 D = (- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2) = 9 x_{1} = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = 2 \in О Д З x_{2} = \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = - 1 \notin О Д З$

Получается, что абсциссой точки пересечения является $x = 2$ $x = 2$ .

Обращаем ваше внимание на тот факт, что в общем примере на чертеже линии $y = \sqrt{x + 2}, y = x$ $y = \sqrt{x + 2}, y = x$ пересекаются в точке $(2; 2)$ $(2; 2)$ , поэтому такие подробные вычисления могут показаться излишними. Мы привели здесь такое подробное решение только потому, что в более сложных случаях решение может быть не таким очевидным. Это значит, что координаты пересечения линий лучше всегда вычислять аналитически.

На интервале $[2; 7]$ $[2; 7]$ график функции $y = x$ $y = x$ расположен выше графика функции $y = \sqrt{x + 2}$ $y = \sqrt{x + 2}$ . Применим формулу для вычисления площади:

$S (G) = \int_{2}^{7} (x - \sqrt{x + 2}) d x = {(\frac{x^{2}}{2} - \frac{2}{3} \cdot (x + 2)^{\frac{3}{2}})}_{2}^{7} = = \frac{7^{2}}{2} - \frac{2}{3} \cdot (7 + 2)^{\frac{3}{2}} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{2}{3} \cdot {(2 + 2)}^{\frac{3}{2}}) = = \frac{49}{2} - 18 - 2 + \frac{16}{3} = \frac{59}{6}$ $S (G) = \int_{2}^{7} (x - \sqrt{x + 2}) d x = {(\frac{x^{2}}{2} - \frac{2}{3} \cdot (x + 2)^{\frac{3}{2}})}_{2}^{7} = = \frac{7^{2}}{2} - \frac{2}{3} \cdot (7 + 2)^{\frac{3}{2}} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{2}{3} \cdot {(2 + 2)}^{\frac{3}{2}}) = = \frac{49}{2} - 18 - 2 + \frac{16}{3} = \frac{59}{6}$

Ответ: $S (G) = \frac{59}{6}$ $S (G) = \frac{59}{6}$

Пример 3

Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена графиками функций $y = \frac{1}{x}$ $y = \frac{1}{x}$ и $y = - x^{2} + 4 x - 2$ $y = - x^{2} + 4 x - 2$ .

Решение

Нанесем линии на график.

Примеры вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x) или x=g(y)

Определимся с пределами интегрирования. Для этого определим координаты точек пересечения линий, приравняв выражения $\frac{1}{x}$ $\frac{1}{x}$ и $- x^{2} + 4 x - 2$ $- x^{2} + 4 x - 2$ . При условии, что $x$ $x$ не равно нулю, равенство $\frac{1}{x} = - x^{2} + 4 x - 2$ $\frac{1}{x} = - x^{2} + 4 x - 2$ становится эквивалентным уравнению третьей степени $- x^{3} + 4 x^{2} - 2 x - 1 = 0$ $- x^{3} + 4 x^{2} - 2 x - 1 = 0$ с целыми коэффициентами. Освежить в памяти алгоритм по решению таких уравнений мы можете, обратившись к разделу «Решение кубических уравнений».

Корнем этого уравнения является $х = 1$ $х = 1$ : $- 1^{3} + 4 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 - 1 = 0$ $- 1^{3} + 4 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 - 1 = 0$ .

Разделив выражение $- x^{3} + 4 x^{2} - 2 x - 1$ $- x^{3} + 4 x^{2} - 2 x - 1$ на двучлен $x - 1$ $x - 1$ , получаем: $- x^{3} + 4 x^{2} - 2 x - 1 \Leftrightarrow - (x - 1) (x^{2} - 3 x - 1) = 0$ $- x^{3} + 4 x^{2} - 2 x - 1 \Leftrightarrow - (x - 1) (x^{2} - 3 x - 1) = 0$

Оставшиеся корни мы можем найти из уравнения $x^{2} - 3 x - 1 = 0$ $x^{2} - 3 x - 1 = 0$ :

$x^{2} - 3 x - 1 = 0 D = (- 3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1) = 13 x_{1} = \frac{3 + \sqrt{13}}{2} \approx 3.3; x_{2} = \frac{3 - \sqrt{13}}{2} \approx - 0.3$ $x^{2} - 3 x - 1 = 0 D = (- 3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1) = 13 x_{1} = \frac{3 + \sqrt{13}}{2} \approx 3.3; x_{2} = \frac{3 - \sqrt{13}}{2} \approx - 0.3$

Мы нашли интервал $x \in [1; \frac{3 + \sqrt{13}}{2}]$ $x \in [1; \frac{3 + \sqrt{13}}{2}]$ , на котором фигура $G$ $G$ заключена выше синей и ниже красной линии. Это помогает нам определить площадь фигуры:

$S (G) = \int_{1}^{\frac{3 + \sqrt{13}}{2}} (- x^{2} + 4 x - 2 - \frac{1}{x}) d x = {(- \frac{x^{3}}{3} + 2 x^{2} - 2 x - \ln x)}_{1}^{\frac{3 + \sqrt{13}}{2}} = = - \frac{{(\frac{3 + \sqrt{13}}{2})}^{3}}{3} + 2 \cdot {(\frac{3 + \sqrt{13}}{2})}^{2} - 2 \cdot (\frac{3 + \sqrt{13}}{2}) - \ln (\frac{3 + \sqrt{13}}{2}) - - (- \frac{1^{3}}{3} + 2 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 - \ln 1) = \frac{7 + \sqrt{13}}{3} - \ln \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$ $S (G) = \int_{1}^{\frac{3 + \sqrt{13}}{2}} (- x^{2} + 4 x - 2 - \frac{1}{x}) d x = {(- \frac{x^{3}}{3} + 2 x^{2} - 2 x - \ln x)}_{1}^{\frac{3 + \sqrt{13}}{2}} = = - \frac{{(\frac{3 + \sqrt{13}}{2})}^{3}}{3} + 2 \cdot {(\frac{3 + \sqrt{13}}{2})}^{2} - 2 \cdot (\frac{3 + \sqrt{13}}{2}) - \ln (\frac{3 + \sqrt{13}}{2}) - - (- \frac{1^{3}}{3} + 2 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 - \ln 1) = \frac{7 + \sqrt{13}}{3} - \ln \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$

Ответ: $S (G) = \frac{7 + \sqrt{13}}{3} - \ln \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$ $S (G) = \frac{7 + \sqrt{13}}{3} - \ln \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$

Пример 4

Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена кривыми $y = \sqrt[3]{x}, y = - \log_{2} x + 1$ $y = \sqrt[3]{x}, y = - \log_{2} x + 1$ и осью абсцисс.

Решение

Нанесем все линии на график. Мы можем получить график функции $y = - \log_{2} x + 1$ $y = - \log_{2} x + 1$ из графика $y = \log_{2} x$ $y = \log_{2} x$ , если расположим его симметрично относительно оси абсцисс и поднимем на одну единицу вверх. Уравнение оси абсцисс $у = 0$ $у = 0$ .

Примеры вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x) или x=g(y)

Обозначим точки пересечения линий.

Как видно из рисунка, графики функций $y = \sqrt[3]{x}$ $y = \sqrt[3]{x}$ и $y = 0$ $y = 0$ пересекаются в точке $(0; 0)$ $(0; 0)$ . Так получается потому, что $х = 0$ $х = 0$ является единственным действительным корнем уравнения $\sqrt[3]{x} = 0$ $\sqrt[3]{x} = 0$ .

$x = 2$ $x = 2$ является единственным корнем уравнения $- \log_{2} x + 1 = 0$ $- \log_{2} x + 1 = 0$ , поэтому графики функций $y = - \log_{2} x + 1$ $y = - \log_{2} x + 1$ и $y = 0$ $y = 0$ пересекаются в точке $(2; 0)$ $(2; 0)$ .

$x = 1$ $x = 1$ является единственным корнем уравнения $\sqrt[3]{x} = - \log_{2} x + 1$ $\sqrt[3]{x} = - \log_{2} x + 1$ . В связи с этим графики функций $y = \sqrt[3]{x}$ $y = \sqrt[3]{x}$ и $y = - \log_{2} x + 1$ $y = - \log_{2} x + 1$ пересекаются в точке $(1; 1)$ $(1; 1)$ . Последнее утверждение может быть неочевидным, но уравнение $\sqrt[3]{x} = - \log_{2} x + 1$ $\sqrt[3]{x} = - \log_{2} x + 1$ не может иметь более одного корня, так как функция $y = \sqrt[3]{x}$ $y = \sqrt[3]{x}$ является строго возрастающей, а функция $y = - \log_{2} x + 1$ $y = - \log_{2} x + 1$ строго убывающей.

Дальнейшее решение предполагает несколько вариантов.

Вариант №1

Фигуру $G$ $G$ мы можем представить как сумму двух криволинейных трапеций, расположенных выше оси абсцисс, первая из которых располагается ниже средней линии на отрезке $x \in [0; 1]$ $x \in [0; 1]$ , а вторая ниже красной линии на отрезке $x \in [1; 2]$ $x \in [1; 2]$ . Это значит, что площадь будет равна $S (G) = \int_{0}^{1} \sqrt[3]{x} d x + \int_{1}^{2} (- \log_{2} x + 1) d x$ $S (G) = \int_{0}^{1} \sqrt[3]{x} d x + \int_{1}^{2} (- \log_{2} x + 1) d x$ .

Вариант №2

Фигуру $G$ $G$ можно представить как разность двух фигур, первая из которых расположена выше оси абсцисс и ниже синей линии на отрезке $x \in [0; 2]$ $x \in [0; 2]$ , а вторая между красной и синей линиями на отрезке $x \in [1; 2]$ $x \in [1; 2]$ . Это позволяет нам найти площадь следующим образом:

$S (G) = \int_{0}^{2} \sqrt[3]{x} d x - \int_{1}^{2} (\sqrt[3]{x} - (- \log_{2} x + 1)) d x$ $S (G) = \int_{0}^{2} \sqrt[3]{x} d x - \int_{1}^{2} (\sqrt[3]{x} - (- \log_{2} x + 1)) d x$

В этом случае для нахождения площади придется использовать формулу вида $S (G) = \int_{c}^{d} (g_{2} (y) - g_{1} (y)) d y$ $S (G) = \int_{c}^{d} (g_{2} (y) - g_{1} (y)) d y$ . Фактически, линии, которые ограничивают фигуру, можно представить в виде функций от аргумента $y$ $y$ .

Разрешим уравнения $y = \sqrt[3]{x}$ $y = \sqrt[3]{x}$ и $- \log_{2} x + 1$ $- \log_{2} x + 1$ относительно $x$ $x$ :

$y = \sqrt[3]{x} \Rightarrow x = y^{3} y = - \log_{2} x + 1 \Rightarrow \log_{2} x = 1 - y \Rightarrow x = 2^{1 - y}$ $y = \sqrt[3]{x} \Rightarrow x = y^{3} y = - \log_{2} x + 1 \Rightarrow \log_{2} x = 1 - y \Rightarrow x = 2^{1 - y}$

Получим искомую площадь:

$S (G) = \int_{0}^{1} (2^{1 - y} - y^{3}) d y = {(- \frac{2^{1 - y}}{\ln 2} - \frac{y^{4}}{4})}_{0}^{1} = = - \frac{2^{1 - 1}}{\ln 2} - \frac{1^{4}}{4} - (- \frac{2^{1 - 0}}{\ln 2} - \frac{0^{4}}{4}) = - \frac{1}{\ln 2} - \frac{1}{4} + \frac{2}{\ln 2} = \frac{1}{\ln 2} - \frac{1}{4}$ $S (G) = \int_{0}^{1} (2^{1 - y} - y^{3}) d y = {(- \frac{2^{1 - y}}{\ln 2} - \frac{y^{4}}{4})}_{0}^{1} = = - \frac{2^{1 - 1}}{\ln 2} - \frac{1^{4}}{4} - (- \frac{2^{1 - 0}}{\ln 2} - \frac{0^{4}}{4}) = - \frac{1}{\ln 2} - \frac{1}{4} + \frac{2}{\ln 2} = \frac{1}{\ln 2} - \frac{1}{4}$

Ответ: $S (G) = \frac{1}{\ln 2} - \frac{1}{4}$ $S (G) = \frac{1}{\ln 2} - \frac{1}{4}$

Пример 5

Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена линиями $y = \sqrt{x}, y = \frac{2}{3} x - 3, y = - \frac{1}{2} x + 4$ $y = \sqrt{x}, y = \frac{2}{3} x - 3, y = - \frac{1}{2} x + 4$ .

Решение

Красной линией нанесем на график линию, заданную функцией $y = \sqrt{x}$ $y = \sqrt{x}$ . Синим цветом нанесем линию $y = - \frac{1}{2} x + 4$ $y = - \frac{1}{2} x + 4$ , черным цветом обозначим линию $y = \frac{2}{3} x - 3$ $y = \frac{2}{3} x - 3$ .

Примеры вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x) или x=g(y)

Отметим точки пересечения.

Найдем точки пересечения графиков функций $y = \sqrt{x}$ $y = \sqrt{x}$ и $y = - \frac{1}{2} x + 4$ $y = - \frac{1}{2} x + 4$ :

$\sqrt{x} = - \frac{1}{2} x + 4 О Д З : x \geq 0 x = {(- \frac{1}{2} x + 4)}^{2} \Rightarrow x = \frac{1}{4} x^{2} - 4 x + 16 \Leftrightarrow x^{2} - 20 x + 64 = 0 D = (- 20)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 64 = 144 x_{1} = \frac{20 + \sqrt{144}}{2} = 16; x_{2} = \frac{20 - \sqrt{144}}{2} = 4 П р о в е р к а : \sqrt{x_{1}} = \sqrt{16} = 4, - \frac{1}{2} x_{1} + 4 = - \frac{1}{2} \cdot 16 + 4 = - 4 \Rightarrow x_{1} = 16 н е я в л я е т с я р е ш е н и е м у р а в н е н и я \sqrt{x_{2}} = \sqrt{4} = 2, - \frac{1}{2} x_{2} + 4 = - \frac{1}{2} \cdot 4 + 4 = 2 \Rightarrow x_{2} = 4 я в л я е т с я р е ш е н и е м у р а в н и н и я \Rightarrow (4; 2) т о ч к а п е р е с е ч е н и я y = \sqrt{x} и y = - \frac{1}{2} x + 4$ $\sqrt{x} = - \frac{1}{2} x + 4 О Д З : x \geq 0 x = {(- \frac{1}{2} x + 4)}^{2} \Rightarrow x = \frac{1}{4} x^{2} - 4 x + 16 \Leftrightarrow x^{2} - 20 x + 64 = 0 D = (- 20)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 64 = 144 x_{1} = \frac{20 + \sqrt{144}}{2} = 16; x_{2} = \frac{20 - \sqrt{144}}{2} = 4 П р о в е р к а : \sqrt{x_{1}} = \sqrt{16} = 4, - \frac{1}{2} x_{1} + 4 = - \frac{1}{2} \cdot 16 + 4 = - 4 \Rightarrow x_{1} = 16 н е я в л я е т с я р е ш е н и е м у р а в н е н и я \sqrt{x_{2}} = \sqrt{4} = 2, - \frac{1}{2} x_{2} + 4 = - \frac{1}{2} \cdot 4 + 4 = 2 \Rightarrow x_{2} = 4 я в л я е т с я р е ш е н и е м у р а в н и н и я \Rightarrow (4; 2) т о ч к а п е р е с е ч е н и я y = \sqrt{x} и y = - \frac{1}{2} x + 4$

Найдем точку пересечения графиков функций $y = \sqrt{x}$ $y = \sqrt{x}$ и $y = \frac{2}{3} x - 3$ $y = \frac{2}{3} x - 3$ :

$\sqrt{x} = \frac{2}{3} x - 3 О Д З : x \geq 0 x = {(\frac{2}{3} x - 3)}^{2} \Leftrightarrow x = \frac{4}{9} x^{2} - 4 x + 9 \Leftrightarrow 4 x^{2} - 45 x + 81 = 0 D = (- 45)^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 81 = 729 x_{1} = \frac{45 + \sqrt{729}}{8} = 9, x_{2} \frac{45 - \sqrt{729}}{8} = \frac{9}{4} П р о в е р к а : \sqrt{x_{1}} = \sqrt{9} = 3, \frac{2}{3} x_{1} - 3 = \frac{2}{3} \cdot 9 - 3 = 3 \Rightarrow x_{1} = 9 я в л я е т с я р е ш е н и е м у р а в н е н и я \Rightarrow (9; 3) т о ч к а п е р е с е ч а н и я y = \sqrt{x} и y = \frac{2}{3} x - 3 \sqrt{x_{2}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}, \frac{2}{3} x_{1} - 3 = \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{4} - 3 = - \frac{3}{2} \Rightarrow x_{2} = \frac{9}{4} н е я в л я е т с я р е ш е н и е м у р а в н е н и я$ $\sqrt{x} = \frac{2}{3} x - 3 О Д З : x \geq 0 x = {(\frac{2}{3} x - 3)}^{2} \Leftrightarrow x = \frac{4}{9} x^{2} - 4 x + 9 \Leftrightarrow 4 x^{2} - 45 x + 81 = 0 D = (- 45)^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 81 = 729 x_{1} = \frac{45 + \sqrt{729}}{8} = 9, x_{2} \frac{45 - \sqrt{729}}{8} = \frac{9}{4} П р о в е р к а : \sqrt{x_{1}} = \sqrt{9} = 3, \frac{2}{3} x_{1} - 3 = \frac{2}{3} \cdot 9 - 3 = 3 \Rightarrow x_{1} = 9 я в л я е т с я р е ш е н и е м у р а в н е н и я \Rightarrow (9; 3) т о ч к а п е р е с е ч а н и я y = \sqrt{x} и y = \frac{2}{3} x - 3 \sqrt{x_{2}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}, \frac{2}{3} x_{1} - 3 = \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{4} - 3 = - \frac{3}{2} \Rightarrow x_{2} = \frac{9}{4} н е я в л я е т с я р е ш е н и е м у р а в н е н и я$

Найдем точку пересечения линий $y = - \frac{1}{2} x + 4$ $y = - \frac{1}{2} x + 4$ и $y = \frac{2}{3} x - 3$ $y = \frac{2}{3} x - 3$ :

$- \frac{1}{2} x + 4 = \frac{2}{3} x - 3 \Leftrightarrow - 3 x + 24 = 4 x - 18 \Leftrightarrow 7 x = 42 \Leftrightarrow x = 6 - \frac{1}{2} \cdot 6 + 4 = \frac{2}{3} \cdot 6 - 3 = 1 \Rightarrow (6; 1) т о ч к а п е р е с е ч е н и я y = - \frac{1}{2} x + 4 и y = \frac{2}{3} x - 3$ $- \frac{1}{2} x + 4 = \frac{2}{3} x - 3 \Leftrightarrow - 3 x + 24 = 4 x - 18 \Leftrightarrow 7 x = 42 \Leftrightarrow x = 6 - \frac{1}{2} \cdot 6 + 4 = \frac{2}{3} \cdot 6 - 3 = 1 \Rightarrow (6; 1) т о ч к а п е р е с е ч е н и я y = - \frac{1}{2} x + 4 и y = \frac{2}{3} x - 3$

Дальше мы можем продолжить вычисления двумя способами.

Способ №1

Представим площадь искомой фигуры как сумму площадей отдельных фигур.

Примеры вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x) или x=g(y)

Тогда площадь фигуры равна:

$S (G) = \int_{4}^{6} (\sqrt{x} - (- \frac{1}{2} x + 4)) d x + \int_{6}^{9} (\sqrt{x} - (\frac{2}{3} x - 3)) d x = = {(\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{x^{2}}{4} - 4 x)}_{4}^{6} + {(\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - \frac{x^{2}}{3} + 3 x)}_{6}^{9} = = \frac{2}{3} \cdot 6^{\frac{3}{2}} + \frac{6^{2}}{4} - 4 \cdot 6 - (\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} + \frac{4^{2}}{4} - 4 \cdot 4) + + \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{9^{2}}{3} + 3 \cdot 9 - (\frac{2}{3} \cdot 6^{\frac{3}{2}} - \frac{6^{2}}{3} + 3 \cdot 6) = = - \frac{25}{3} + 4 \sqrt{6} + (- 4 \sqrt{6} + 12) = \frac{11}{3}$ $S (G) = \int_{4}^{6} (\sqrt{x} - (- \frac{1}{2} x + 4)) d x + \int_{6}^{9} (\sqrt{x} - (\frac{2}{3} x - 3)) d x = = {(\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{x^{2}}{4} - 4 x)}_{4}^{6} + {(\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - \frac{x^{2}}{3} + 3 x)}_{6}^{9} = = \frac{2}{3} \cdot 6^{\frac{3}{2}} + \frac{6^{2}}{4} - 4 \cdot 6 - (\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} + \frac{4^{2}}{4} - 4 \cdot 4) + + \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{9^{2}}{3} + 3 \cdot 9 - (\frac{2}{3} \cdot 6^{\frac{3}{2}} - \frac{6^{2}}{3} + 3 \cdot 6) = = - \frac{25}{3} + 4 \sqrt{6} + (- 4 \sqrt{6} + 12) = \frac{11}{3}$

Способ №2

Площадь исходной фигуры можно представить как сумму двух других фигур.

Примеры вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x) или x=g(y)

Тогда решим уравнение линии относительно $x$ $x$ , а только после этого применим формулу вычисления площади фигуры.

$y = \sqrt{x} \Rightarrow x = y^{2} к р а с н а я л и н и я y = \frac{2}{3} x - 3 \Rightarrow x = \frac{3}{2} y + \frac{9}{2} ч е р н а я л и н и я y = - \frac{1}{2} x + 4 \Rightarrow x = - 2 y + 8 с и н я я л и н и я$ $y = \sqrt{x} \Rightarrow x = y^{2} к р а с н а я л и н и я y = \frac{2}{3} x - 3 \Rightarrow x = \frac{3}{2} y + \frac{9}{2} ч е р н а я л и н и я y = - \frac{1}{2} x + 4 \Rightarrow x = - 2 y + 8 с и н я я л и н и я$

Таким образом, площадь равна:

$S (G) = \int_{1}^{2} (\frac{3}{2} y + \frac{9}{2} - (- 2 y + 8)) d y + \int_{2}^{3} (\frac{3}{2} y + \frac{9}{2} - y^{2}) d y = = \int_{1}^{2} (\frac{7}{2} y - \frac{7}{2}) d y + \int_{2}^{3} (\frac{3}{2} y + \frac{9}{2} - y^{2}) d y = = {(\frac{7}{4} y^{2} - \frac{7}{4} y)}_{1}^{2} + {(- \frac{y^{3}}{3} + \frac{3 y^{2}}{4} + \frac{9}{2} y)}_{2}^{3} = \frac{7}{4} \cdot 2^{2} - \frac{7}{4} \cdot 2 - (\frac{7}{4} \cdot 1^{2} - \frac{7}{4} \cdot 1) + + (- \frac{3^{3}}{3} + \frac{3 \cdot 3^{2}}{4} + \frac{9}{2} \cdot 3) - (- \frac{2^{3}}{3} + \frac{3 \cdot 2^{2}}{4} + \frac{9}{2} \cdot 2) = = \frac{7}{4} + \frac{23}{12} = \frac{11}{3}$ $S (G) = \int_{1}^{2} (\frac{3}{2} y + \frac{9}{2} - (- 2 y + 8)) d y + \int_{2}^{3} (\frac{3}{2} y + \frac{9}{2} - y^{2}) d y = = \int_{1}^{2} (\frac{7}{2} y - \frac{7}{2}) d y + \int_{2}^{3} (\frac{3}{2} y + \frac{9}{2} - y^{2}) d y = = {(\frac{7}{4} y^{2} - \frac{7}{4} y)}_{1}^{2} + {(- \frac{y^{3}}{3} + \frac{3 y^{2}}{4} + \frac{9}{2} y)}_{2}^{3} = \frac{7}{4} \cdot 2^{2} - \frac{7}{4} \cdot 2 - (\frac{7}{4} \cdot 1^{2} - \frac{7}{4} \cdot 1) + + (- \frac{3^{3}}{3} + \frac{3 \cdot 3^{2}}{4} + \frac{9}{2} \cdot 3) - (- \frac{2^{3}}{3} + \frac{3 \cdot 2^{2}}{4} + \frac{9}{2} \cdot 2) = = \frac{7}{4} + \frac{23}{12} = \frac{11}{3}$

Как видите, значения совпадают.

Ответ: $S (G) = \frac{11}{3}$ $S (G) = \frac{11}{3}$

Нахождение площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x), x=g(y)

Формула для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x) или x=g(y)

Примеры вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x) или x=g(y)

Итоги