Нахождение площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x), x=g(y)

Необходимо определить площадь фигуры, которая ограничена параболой $y=-x^2+6x-5$ и прямыми линиями $y=-\frac{1}{3}x-\frac{1}{2}$, $x=1, x=4$.

Решение

Изобразим линии на графике в декартовой системе координат.

На отрезке $[1;4]$ график параболы $y=-x^2+6x-5$ расположен выше прямой $y=-\frac{1}{3}x-\frac{1}{2}$. В связи с этим, для получения ответа используем формулу, полученную ранее, а также способ вычисления определенного интеграла по  формуле Ньютона-Лейбница:

$$\begin{gathered} S\left(G\right)={\int }_1^4\left(-x^2+6x-5-\left(-\frac{1}{3}x-\frac{1}{2}\right)\right)dx= \\ ={\int }_1^4\left(-x^2+\frac{19}{3}x-\frac{9}{2}\right)dx={\overline{)\left(-\frac{1}{3}{x}^3+\frac{19}{6}{x}^2-\frac{9}{2}x\right)}}_1^4= \\ =-\frac{1}{3}·4^3+\frac{19}{6}·4^2-\frac{9}{2}·4-\left(-\frac{1}{3}·1^3+\frac{19}{6}·1^2-\frac{9}{2}·1\right)= \\ =-\frac{64}{3}+\frac{152}{3}-18+\frac{1}{3}-\frac{19}{6}+\frac{9}{2}=13 \end{gathered}$$

Ответ: $S\left(G\right)=13$

Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена линиями $y=\sqrt{x+2}, y=x, x=7$.

Решение

В данном случае мы имеем только одну прямую линию, расположенную параллельно оси абсцисс. Это $x=7$. Это требует от нас найти второй предел интегрирования самостоятельно.

Построим график и нанесем на него линии, данные в условии задачи.

Имея график перед глазами, мы легко можем определить, что нижним пределом интегрирования будет абсцисса точки пересечения графика прямой $y=x$ и полу параболы $y=\sqrt{x+2}$. Для нахождения абсциссы используем равенства:

$$\begin{gathered} y=\sqrt{x+2} \\ ОДЗ: x\ge -2 \\ {x}^2={\left(\sqrt{x+2}\right)}^2 \\ {x}^2-x-2=0 \\ D=(-1{)}^2-4·1·(-2)=9 \\ {x}_1=\frac{1+\sqrt{9}}{2}=2\in ОДЗ \\ {x}_2=\frac{1-\sqrt{9}}{2}=-1\notin ОДЗ \end{gathered}$$

Получается, что абсциссой точки пересечения является $x=2$.

Обращаем ваше внимание на тот факт, что в общем примере на чертеже линии $y=\sqrt{x+2} , y=x$ пересекаются в точке $(2;2)$, поэтому такие подробные вычисления могут показаться излишними. Мы привели здесь такое подробное решение только потому, что в более сложных случаях решение может быть не таким очевидным. Это значит, что координаты пересечения линий лучше всегда вычислять аналитически.

На интервале $[2;7]$ график функции $y=x$ расположен выше графика функции $y=\sqrt{x+2}$ . Применим формулу для вычисления площади:

$$\begin{gathered} S\left(G\right)={\int }_2^7(x-\sqrt{x+2})dx={\overline{)\left(\frac{x^2}{2}-\frac{2}{3}·(x+2{)}^{\frac{3}{2}}\right)}}_2^7= \\ =\frac{7^2}{2}-\frac{2}{3}·(7+2{)}^{\frac{3}{2}}-\left(\frac{2^2}{2}-\frac{2}{3}·{\left(2+2\right)}^{\frac{3}{2}}\right)= \\ =\frac{49}{2}-18-2+\frac{16}{3}=\frac{59}{6} \end{gathered}$$

Ответ: $S\left(G\right)=\frac{59}{6}$

Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена графиками функций $y=\frac{1}{x}$ и $y=-x^2+4x-2$.

Решение

Нанесем линии на график.

Определимся с пределами интегрирования. Для этого определим координаты точек пересечения линий, приравняв выражения $\frac{1}{x}$  и $-x^2+4x-2$. При условии, что $x$ не равно нулю, равенство $\frac{1}{x}=-x^2+4x-2$становится эквивалентным уравнению третьей степени $-x^3+4x^2-2x-1=0$ с целыми коэффициентами. Освежить в памяти алгоритм по решению таких уравнений мы можете, обратившись к разделу «Решение кубических уравнений».

Корнем этого уравнения является $х=1$: $-1^3+4·1^2-2·1-1=0$.

Разделив выражение $-x^3+4x^2-2x-1$ на двучлен $x-1$, получаем: $-x^3+4x^2-2x-1\iff -(x-1)(x^2-3x-1)=0$

Оставшиеся корни мы можем найти из уравнения $x^2-3x-1=0$:

$$\begin{gathered} x^2-3x-1=0 \\ D=(-3{)}^2-4·1·(-1)=13 \\ {x}_1=\frac{3+\sqrt{13}}{2}\approx 3.3 ; x_2=\frac{3-\sqrt{13}}{2}\approx -0.3 \end{gathered}$$

Мы нашли интервал $x\in \left[1; \frac{3+\sqrt{13}}{2}\right]$, на котором фигура $G$ заключена выше синей и ниже красной линии. Это помогает нам определить площадь фигуры:

$$\begin{gathered} S\left(G\right)={\int }_1^{\frac{3+\sqrt{13}}{2}}\left(-x^2+4x-2-\frac{1}{x}\right)dx={\overline{)\left(-\frac{x^3}{3}+2x^2-2x-\ln x\right)}}_1^{\frac{3+\sqrt{13}}{2}}= \\ =-\frac{{\left({\displaystyle \frac{3+\sqrt{13}}{2}}\right)}^3}{3}+2·{\left(\frac{3+\sqrt{13}}{2}\right)}^2-2·\left(\frac{3+\sqrt{13}}{2}\right)-\ln \left(\frac{3+\sqrt{13}}{2}\right)- \\ -\left(-\frac{1^3}{3}+2·1^2-2·1-\ln 1\right)=\frac{7+\sqrt{13}}{3}-\ln \frac{3+\sqrt{13}}{2} \end{gathered}$$

Ответ: $S\left(G\right)=\frac{7+\sqrt{13}}{3}-\ln \frac{3+\sqrt{13}}{2}$

Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена кривыми $y=\sqrt[3]{x}, y=-{\log }_{2}x+1$ и осью абсцисс.

Решение

Нанесем все линии на график. Мы можем получить график функции $y=-{\log }_{2}x+1$ из графика $y={\log }_{2}x$, если расположим его симметрично относительно оси абсцисс и поднимем на одну единицу вверх. Уравнение оси абсцисс $у=0$.

Обозначим точки пересечения линий.

Как видно из рисунка, графики функций $y=\sqrt[3]{x}$ и $y=0$ пересекаются в точке $(0;0)$. Так получается потому, что $х=0$ является единственным действительным корнем уравнения $\sqrt[3]{x}=0$.

$x=2$ является единственным корнем уравнения $-{\log }_{2}x+1=0$, поэтому графики функций $y=-{\log }_{2}x+1$  и $y=0$ пересекаются в точке $(2;0)$.

$x=1$ является единственным корнем уравнения $\sqrt[3]{x}=-{\log }_{2}x+1$. В связи с этим графики функций $y=\sqrt[3]{x}$ и $y=-{\log }_{2}x+1$ пересекаются в точке $(1;1)$. Последнее утверждение может быть неочевидным, но уравнение $\sqrt[3]{x}=-{\log }_{2}x+1$ не может иметь более одного корня, так как функция $y=\sqrt[3]{x}$ является строго возрастающей, а функция $y=-{\log }_{2}x+1$ строго убывающей.

Дальнейшее решение предполагает несколько вариантов.

Вариант №1

Фигуру $G$ мы можем представить как сумму двух криволинейных трапеций, расположенных выше оси абсцисс, первая из которых располагается ниже средней линии на отрезке $x\in \left[0; 1\right]$, а вторая ниже красной линии на отрезке $x\in \left[1;2\right]$. Это значит, что площадь будет равна $S\left(G\right)={\int }_0^1\sqrt[3]{x}dx+{\int }_1^2(-{\log }_{2}x+1)dx$.

Вариант №2

Фигуру $G$ можно представить как разность двух фигур, первая из которых расположена выше оси абсцисс и ниже синей линии на отрезке $x\in \left[0; 2\right]$, а вторая между красной и синей линиями на отрезке $x\in \left[1; 2\right]$. Это позволяет нам найти площадь следующим образом:

$S\left(G\right)={\int }_0^2\sqrt[3]{x}dx-{\int }_1^2\left(\sqrt[3]{x}-(-{\log }_{2}x+1)\right)dx$

В этом случае для нахождения площади придется использовать формулу вида $S\left(G\right)={\int }_c^d\left(g_2\right(y)-g_1(y\left)\right)dy$.  Фактически, линии, которые ограничивают фигуру, можно представить в виде функций от аргумента $y$.

Разрешим уравнения $y=\sqrt[3]{x}$ и $-{\log }_{2}x+1$ относительно $x$: 

$$\begin{gathered} y=\sqrt[3]{x}\Rightarrow x=y^3 \\ y=-{\log }_{2}x+1\Rightarrow {\log }_{2}x=1-y\Rightarrow x=2^{1-y} \end{gathered}$$

Получим искомую площадь:

$$\begin{gathered} S\left(G\right)={\int }_0^1(2^{1-y}-y^3)dy={\overline{)\left(-\frac{2^{1-y}}{\ln 2}-\frac{y^4}{4}\right)}}_0^1= \\ =-\frac{2^{1-1}}{\ln 2}-\frac{1^4}{4}-\left(-\frac{2^{1-0}}{\ln 2}-\frac{0^4}{4}\right)=-\frac{1}{\ln 2}-\frac{1}{4}+\frac{2}{\ln 2}=\frac{1}{\ln 2}-\frac{1}{4} \end{gathered}$$

Ответ: $S\left(G\right)=\frac{1}{\ln 2}-\frac{1}{4}$

Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена линиями $y=\sqrt{x}, y=\frac{2}{3}x-3, y=-\frac{1}{2}x+4$.

Решение

Красной линией нанесем на график линию, заданную функцией $y=\sqrt{x}$. Синим цветом нанесем линию $y=-\frac{1}{2}x+4$, черным цветом обозначим линию $y=\frac{2}{3}x-3$.

Отметим точки пересечения.

Найдем точки пересечения графиков функций $y=\sqrt{x}$ и $y=-\frac{1}{2}x+4$ :

$$\begin{gathered} \sqrt{x}=-\frac{1}{2}x+4 \\ ОДЗ: x\ge 0 \\ x={\left(-\frac{1}{2}x+4\right)}^2\Rightarrow x=\frac{1}{4}{x}^2-4x+16\iff \\ {x}^2-20x+64=0 \\ D=(-20{)}^2-4·1·64=144 \\ {x}_1=\frac{20+\sqrt{144}}{2}=16; x_2=\frac{20-\sqrt{144}}{2}=4 \\ Проверка: \\ \sqrt{x_1}=\sqrt{16}=4, -\frac{1}{2}{x}_1+4=-\frac{1}{2}·16+4=-4\Rightarrow \\ {x}_1=16 не является решением уравнения \\ \sqrt{x_2}=\sqrt{4}=2, -\frac{1}{2}{x}_2+4=-\frac{1}{2}·4+4=2\Rightarrow \\ {x}_2=4 является решением уравниния \Rightarrow \\ (4; 2) точка пересечения y=\sqrt{x} и y=-\frac{1}{2}x+4 \end{gathered}$$

Найдем точку пересечения графиков функций $y=\sqrt{x}$  и $y=\frac{2}{3}x-3$:

$$\begin{gathered} \sqrt{x}=\frac{2}{3}x-3 \\ ОДЗ: x\ge 0 \\ x={\left(\frac{2}{3}x-3\right)}^2\iff x=\frac{4}{9}{x}^2-4x+9\iff \\ 4x^2-45x+81=0 \\ D=(-45{)}^2-4·4·81=729 \\ {x}_1=\frac{45+\sqrt{729}}{8}=9, x_2\frac{45-\sqrt{729}}{8}=\frac{9}{4} \\ Проверка: \\ \sqrt{x_1}=\sqrt{9}=3, \frac{2}{3}{x}_1-3=\frac{2}{3}·9-3=3\Rightarrow \\ {x}_1=9 является решением уравнения \Rightarrow \\ (9; 3) точка пересечания y=\sqrt{x} и y=\frac{2}{3}x-3 \\ \sqrt{x_2}=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}, \frac{2}{3}{x}_1-3=\frac{2}{3}·\frac{9}{4}-3=-\frac{3}{2}\Rightarrow \\ {x}_2=\frac{9}{4} не является решением уравнения \end{gathered}$$

Найдем точку пересечения линий $y=-\frac{1}{2}x+4$  и $y=\frac{2}{3}x-3$:

$$\begin{gathered} -\frac{1}{2}x+4=\frac{2}{3}x-3\iff -3x+24=4x-18\iff \\ 7x=42\iff x=6 \\ -\frac{1}{2}·6+4=\frac{2}{3}·6-3=1\Rightarrow \\ (6; 1) точка пересечения y=-\frac{1}{2}x+4 и y=\frac{2}{3}x-3 \end{gathered}$$

Дальше мы можем продолжить вычисления двумя способами.

Способ №1

Представим площадь искомой фигуры как сумму площадей отдельных фигур.

Тогда площадь фигуры равна:

$$\begin{gathered} S\left(G\right)={\int }_4^6\left(\sqrt{x}-\left(-\frac{1}{2}x+4\right)\right)dx+{\int }_6^9\left(\sqrt{x}-\left(\frac{2}{3}x-3\right)\right)dx= \\ ={\overline{)\left(\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}+\frac{x^2}{4}-4x\right)}}_4^6+{\overline{)\left(\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}-\frac{x^2}{3}+3x\right)}}_6^9= \\ =\frac{2}{3}·6^{\frac{3}{2}}+\frac{6^2}{4}-4·6-\left(\frac{2}{3}·4^{\frac{3}{2}}+\frac{4^2}{4}-4·4\right)+ \\ +\frac{2}{3}·9^{\frac{3}{2}}-\frac{9^2}{3}+3·9-\left(\frac{2}{3}·6^{\frac{3}{2}}-\frac{6^2}{3}+3·6\right)= \\ =-\frac{25}{3}+4\sqrt{6}+\left(-4\sqrt{6}+12\right)=\frac{11}{3} \end{gathered}$$

Способ №2

Площадь исходной фигуры можно представить как сумму двух других фигур.

Тогда решим уравнение линии относительно $x$, а только после этого применим формулу вычисления площади фигуры.

$$\begin{gathered} y=\sqrt{x}\Rightarrow x=y^2 красная линия \\ y=\frac{2}{3}x-3\Rightarrow x=\frac{3}{2}y+\frac{9}{2} черная линия \\ y=-\frac{1}{2}x+4\Rightarrow x=-2y+8 синяя линия \end{gathered}$$

Таким образом, площадь равна:

$$\begin{gathered} S\left(G\right)={\int }_1^2\left(\frac{3}{2}y+\frac{9}{2}-\left(-2y+8\right)\right)dy+{\int }_2^3\left(\frac{3}{2}y+\frac{9}{2}-y^2\right)dy= \\ ={\int }_1^2\left(\frac{7}{2}y-\frac{7}{2}\right)dy+{\int }_2^3\left(\frac{3}{2}y+\frac{9}{2}-y^2\right)dy= \\ ={\overline{)\left(\frac{7}{4}{y}^2-\frac{7}{4}y\right)}}_1^2+{\overline{)\left(-\frac{y^3}{3}+\frac{3y^2}{4}+\frac{9}{2}y\right)}}_2^3= \\ \frac{7}{4}·2^2-\frac{7}{4}·2-\left(\frac{7}{4}·1^2-\frac{7}{4}·1\right)+ \\ +\left(-\frac{3^3}{3}+\frac{3·3^2}{4}+\frac{9}{2}·3\right)-\left(-\frac{2^3}{3}+\frac{3·2^2}{4}+\frac{9}{2}·2\right)= \\ =\frac{7}{4}+\frac{23}{12}=\frac{11}{3} \end{gathered}$$

Как видите, значения совпадают.

Ответ: $S\left(G\right)=\frac{11}{3}$