Матричный метод решения СЛАУ: пример решения с помощью обратной матрицы

13 июня 2023
3 минуты
21 650

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

В данной статье мы расскажем о матричном методе решения системы линейных алгебраических уравнений, найдем его определение и приведем примеры решения.

Определение 1

Метод обратной матрицы — это метод, использующийся при решении СЛАУ в том случае, если число неизвестных равняется числу уравнений.

Пример 1

Найти решение системы $n$ линейных уравнений с $n$ неизвестными:

$\{\begin{cases} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + . . . + a_{1 n} x_{n} = b_{1} \\ a_{n 1} x_{1} + a_{n 2} x_{2} + . . . + a_{n n} x_{n} = b_{n} \end{cases}$

Матричный вид записи: $А \times X = B$

где $А = (\begin{matrix} а_{11} & а_{12} & \dots & а_{1 n} \\ а_{21} & а_{22} & \dots & а_{2 n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ а_{n 1} & а_{n 2} & \dots & а_{n n} \end{matrix})$ - матрица системы.

$X = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix})$ - столбец неизвестных,

$B = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{n} \end{matrix})$ - столбец свободных коэффициентов.

Из уравнения, которое мы получили, необходимо выразить $X$ . Для этого нужно умножить обе части матричного уравнения слева на $A^{- 1}$ :

$A^{- 1} \times A \times X = A^{- 1} \times B$ .

Так как $А^{- 1} \times А = Е$ , то $Е \times X = А^{- 1} \times В$ или $X = А^{- 1} \times В$ .

Замечание

Обратная матрица к матрице $А$ имеет право на существование только, если выполняется условие $d e t A н е р а в е н н у л ю$ . Поэтому при решении СЛАУ методом обратной матрицы, в первую очередь находится $d e t А$ .

В том случае, если $d e t A н е р а в е н н у л ю$ , у системы имеется только один вариант решения: при помощи метода обратной матрицы. Если $d e t А = 0$ , то систему нельзя решить данным методом.

Пример решения системы линейных уравнений с помощью метода обратной матрицы

Пример 2

Решаем СЛАУ методом обратной матрицы:

$\{\begin{cases} 2 x_{1} - 4 x_{2} + 3 x_{3} = 1 \\ x_{1} - 2 x_{2} + 4 x_{3} = 3 \\ 3 x_{1} - x_{2} + 5 x_{3} = 2 \end{cases}$

Как решить?

Записываем систему в виде матричного уравнения $А X = B$ , где

$А = (\begin{matrix} 2 & - 4 & 3 \\ 1 & - 2 & 4 \\ 3 & - 1 & 5 \end{matrix})$ , $X = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix})$ , $B = (\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{matrix})$ .

Выражаем из этого уравнения $X$ :

$X = A^{- 1} \times B$

Находим определитель матрицы $А$ :

$d e t A = |\begin{matrix} 2 & - 4 & 3 \\ 1 & - 2 & 4 \\ 3 & - 1 & 5 \end{matrix}| = 2 \times (- 2) \times 5 + 3 \times (- 4) \times 4 + 3 \times (- 1) \times 1 - 3 \times (- 2) \times 3 - - 1 \times (- 4) \times 5 - 2 \times 4 - (- 1) = - 20 - 48 - 3 + 18 + 20 + 8 = - 25$

$d e t А$ не равняется 0, следовательно, для этой системы подходит метод решения обратной матрицей.

Находим обратную матрицу $А^{- 1}$ при помощи союзной матрицы. Вычисляем алгебраические дополнения $А_{i j}$ к соответствующим элементам матрицы $А$ :

$А_{11} = (- 1)^{(1 + 1)} |\begin{matrix} - 2 & 4 \\ - 1 & 5 \end{matrix}| = - 10 + 4 = - 6$ ,

$А_{12} = (- 1)^{1 + 2} |\begin{matrix} 1 & 4 \\ 3 & 5 \end{matrix}| = - (5 - 12) = 7$ ,

$А_{13} = (- 1)^{1 + 3} |\begin{matrix} 1 & - 2 \\ 3 & - 1 \end{matrix}| = - 1 + 6 = 5$ ,

$А_{21} = (- 1)^{2 + 1} |\begin{matrix} - 4 & 3 \\ - 1 & 5 \end{matrix}| = - (- 20 + 3) = 17$ ,

$А_{22} = (- 1)^{2 + 2} |\begin{matrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{matrix}| - 10 - 9 = 1$ ,

$А_{23} = (- 1)^{2 + 3} |\begin{matrix} 2 & - 4 \\ 3 & - 1 \end{matrix}| = - (- 2 + 12) = - 10$ ,

$А_{31} = (- 1)^{3 + 1} |\begin{matrix} - 4 & 3 \\ - 2 & 4 \end{matrix}| = - 16 + 6 = - 10$ ,

$А_{32} = (- 1)^{3 + 2} |\begin{matrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{matrix}| = - (8 - 3) = - 5$ ,

$А_{33} = (- 1)^{3 + 3} |\begin{matrix} 2 & - 4 \\ 1 & - 2 \end{matrix}| = - 4 + 4 = 0$ .

Записываем союзную матрицу $А *$ , которая составлена из алгебраических дополнений матрицы $А$ :

$А * = (\begin{matrix} - 6 & 7 & 5 \\ 17 & 1 & - 10 \\ - 10 & - 5 & 0 \end{matrix})$

Записываем обратную матрицу согласно формуле:

$A^{- 1} = \frac{1}{d e t A} (A *)^{T} : А^{- 1} = - \frac{1}{25} (\begin{matrix} - 6 & 17 & - 10 \\ 7 & 1 & - 5 \\ 5 & - 10 & 0 \end{matrix})$ ,

Умножаем обратную матрицу $А^{- 1}$ на столбец свободных членов $В$ и получаем решение системы:

$X = A^{- 1} \times B = - \frac{1}{25} (\begin{matrix} - 6 & 17 & - 10 \\ 7 & 1 & - 5 \\ 5 & - 10 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{matrix}) = - \frac{1}{25} (\begin{matrix} - 6 + & 51 - & 20 \\ 7 & + 3 - & 10 \\ 5 - & 30 + & 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$

Ответ: $x_{1} = - 1; x_{2} = 0; x_{3} = 1_{}$