Метод Жордана-Гаусса для решения СЛАУ

В данной статье мы рассмотрим метод Жордана-Гаусса для решения систем линейных уравнений, отличие метода Гаусса от метода Жордана-Гаусса, алгоритм действий, а также приведем примеры решений СЛАУ.

Основные понятия

Метод Жордана-Гаусса — один из методов, предназначенный для решения систем линейных алгебраических уравнений.

Этот метод является модификацией метода Гаусса — в отличие от исходного (метода Гаусса) метод Жордана-Гаусса позволяет решить СЛАУ в один этап (без использования прямого и обратного ходов).

Матричная запись СЛАУ: вместо обозначения $А$ в методе Жордана-Гаусса для записи используют обозначение $Ã$ — обозначение расширенной матрицы системы.

Решить СЛАУ методом Жордана-Гаусса:

$open\begin{array}{l}4x_1-7x_2+8x_3=-23\\ 2x_1-4x_2+5x_3=-13\\ -3x_1+11x_2+x_3=16\end{array}$

Как решить?

Записываем расширенную матрицу системы:

$Ã=\left(\begin{array}{ccccc}4& -7& 8& |& -23\\ 2& -4& 5& |& -13\\ -3& 11& 1& |& 16\end{array}\right)$

Напоминаем, что слева от черты записывается матрица системы $А$:

$A=\left(\begin{array}{ccc}4& -7& 8\\ 2& -4& 5\\ -3& 11& 1\end{array}\right)$

На каждом шаге решения необходимо выбирать разрешающие элементы матрицы. Процесс выбора может быть различным — в зависимости от того, как выбираются элементы, решения будут отличаться. Можно выбирать в качестве разрешающих элементов диагональные элементы матрицы, а можно выбирать произвольно.

В этой статье мы покажем оба способа решения.

Произвольный способ выбора разрешающих элементов

• Первый этап:

Следует обратиться к 1-му столбцу матрицы $Ã$ — необходимо выбрать ненулевой (разрешающий) элемент.

В 1-ом столбце есть 3 ненулевых элемента: 4, 2, -3. Можно выбрать любой, но, по правилам, выбирается тот, чей модуль ближе всего к единице. В нашем примере таким числом является 2.

Цель: обнулить все элементы, кроме разрешающего, т.е. необходимо обнулить 4 и -3:

$\left(\begin{array}{ccc}4& -7& 8\\ 2& -4& 5\\ -3& 11& 1\end{array}\right)$

Произведем преобразование: необходимо сделать разрешающий элемент равным единице. Для этого делим все элементы 2-ой строки на 2. Такое преобразование имеет обозначение: $II:2$:

$\left(\begin{array}{ccccc}4& -7& 8& |& -23\\ 2& -4& 5& |& -13\\ -3& 11& 1& |& 16\end{array}\right)II÷2\to \left(\begin{array}{ccccc}4& -7& 8& |& -23\\ 2& -4& 5/2& |& -13/2\\ -3& 11& 1& |& 16\end{array}\right)$

Теперь обнуляем остальные элементы: 4 и -3:

$\left(\begin{array}{ccccc}4& -7& 8& |& -23\\ 2& -4& 5/2& |& -13/2\\ -3& 11& 1& |& 16\end{array}\right)$ $\begin{array}{c}I-4\times II\\ \\ III-(-3)\times II\end{array}$

Необходимо выполнить преобразования:

$\begin{array}{c}I-4\times II и III-(-3)\times II\end{array}=III+3\times II$

Запись $\begin{array}{c}I-4\times II\end{array}$ означает, что от элементов 1-ой строки вычитаются соответствующие элементы 2-ой строки, умноженные на 4.

Запись $III+3\times II$ означает, что к элементам 3-ей строки прибавляются соответствующие элементы 2-ой строки, умноженные на 3.

$$\begin{gathered} I-4\times II=\left(\begin{array}{cc}4 -7& 8 -23\end{array}\right)-4\left(\begin{array}{cc}1 -2& 5/2 -13/2\end{array}\right)= \\ =\left(\begin{array}{cc}4 -7& 8 -23\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}4 -8& 10 -26\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0 1& -2 3\end{array}\right) \end{gathered}$$

Записываются такие изменения следующим образом:

$\left(\begin{array}{ccccc}4& -7& 8& |& -23\\ 2& -4& 5/2& |& -13/2\\ -3& 11& 1& |& 16\end{array}\right)$$\begin{array}{c}I-4\times II\\ \\ III-(-3)\times II\end{array}\to \left(\begin{array}{ccccc}0& 1& -2& |& 3\\ 1& -2& 5/2& |& -13/2\\ 0& 5& 17/2& |& -7/2\end{array}\right)$

• Второй этап

Необходимо обнулить 2-ой столбец, следовательно, нужно выбрать разрешающий элемент: 1, -2, 5. Однако 2-ую строку матрицы мы использовали в первом этапе, так что элемент -2 не может быть использован.

Поскольку необходимо выбирать число, чей модуль ближе всего к единице, то выбор очевиден — это 1. Обнуляем остальные элементы 2-го столбца:

 $\left(\begin{array}{ccccc}0& 1& -2& |& 3\\ 1& -2& 5/2& |& -13/2\\ 0& 5& 17/2& |& -7/2\end{array}\right)\begin{array}{c}II-(-2)\times I\\ \\ III-5\times I\end{array}$

Итог:

$\left(\begin{array}{ccccc}0& 1& -2& |& 3\\ 1& -2& 5/2& |& -13/2\\ 0& 5& 17/2& |& -7/2\end{array}\right)\begin{array}{c}\\ II+2\times I\\ III-5\times I\end{array}\to \left(\begin{array}{ccccc}0& 1& -2& |& 3\\ 1& 0& -3/2& |& -1/2\\ 0& 0& 37/2& |& -37/2\end{array}\right)$

• Третий этап

Теперь требуется обнулить элементы 3-го столбца. Поскольку первая и вторая строки уже использованы, поэтому остается только один вариант: $37/2$. Обнуляем с его помощью элементы третьего столбца:

$\left(\begin{array}{ccccc}0& 1& -2& |& 3\\ 1& 0& -3/2& |& -1/2\\ 0& 0& 37/2& |& -37/2\end{array}\right)$

Выполнив преобразования

$I-(-2)\times III=I+2\times III и II-(-\frac{3}{2})\times III=II+\frac{3}{2}\times II$

получим следующий результат:

$\left(\begin{array}{ccccc}0& 1& -2& |& 3\\ 1& 0& -3/2& |& -1/2\\ 0& 0& 1& |& -1\end{array}\right)\begin{array}{c}I+2\times III\\ II+3/2\times III\\ \end{array}\to \left(\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& |& 1\\ 1& 0& 0& |& -2\\ 0& 0& 1& |& -1\end{array}\right)$

Ответ: $x_1=-2; x_2=1; x_3=-1.$

Полное решение:

$\left(\begin{array}{ccccc}4& -7& 8& |& -23\\ 2& -4& 5& |& -13\\ -3& 11& 1& |& 16\end{array}\right)II÷2\to \left(\begin{array}{ccccc}4& -7& 8& |& -23\\ 2& -4& 5/2& |& -13/2\\ -3& 11& 1& |& 16\end{array}\right)$$\begin{array}{c}I-4\times II\\ \\ III-(-3)\times II\end{array}\to$

$\to \left(\begin{array}{ccccc}0& 1& -2& |& 3\\ 1& -2& 5/2& |& -13/2\\ 0& 5& 17/2& |& -7/2\end{array}\right)\begin{array}{c}\\ II-(-2)\times I\\ III-5\times I\end{array}\to$$\left(\begin{array}{ccccc}0& 1& -2& |& 3\\ 1& 0& -3/2& |& -1/2\\ 0& 0& 37/2& |& -37/2\end{array}\right)\begin{array}{c}\\ \\ III÷\frac{37}{2}\end{array}\to$

$\to \left(\begin{array}{ccccc}0& 1& -2& |& 3\\ 1& 0& -3/2& |& -1/2\\ 0& 0& 1& |& -1\end{array}\right)\begin{array}{c}I+2\times III\\ II+3/2\times III\\ \end{array}\to \left(\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& |& 1\\ 1& 0& 0& |& -2\\ 0& 0& 1& |& -1\end{array}\right)$.

Выбор разрешающих элементов на главной диагонали матрицы системы

Принцип выбора разрешающих элементов строится на простом отборе соответствующих элементов: в 1-ом столбце выбирается элемент 1-го столбца, во 2-ом — второй, в 3-ем — третий и т.д.

• Первый этап

В первом столбце необходимо выбрать элемент первой строки, т.е. 4. Но поскольку в первом столбце есть число 2, чей модуль ближе к единице, чем 4, то можно поменять местами первую и вторую строку:

$\left(\begin{array}{ccccc}4& -7& 8& |& -23\\ 2& -4& 5& |& -13\\ -3& 11& 1& |& 16\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccccc}2& -4& 5& |& -13\\ 4& -7& 8& |& -23\\ -3& 11& 1& |& 16\end{array}\right)$

Теперь разрешающий элемент — 2. Как показано в первом способе, делим первую строку на 2, а затем обнуляем все элементы:

$\left(\begin{array}{ccccc}4& -7& 8& |& -23\\ 2& -4& 5& |& -13\\ -3& 11& 1& |& 16\end{array}\right)\begin{array}{c}I÷2\\ \\ \end{array}\to \left(\begin{array}{ccccc}2& -4& 5/2& |& -13/2\\ 4& -7& 8& |& -23\\ -3& 11& 1& |& 16\end{array}\right)\begin{array}{c}\\ II-4\times I\\ III+3\times I\end{array}\to \left(\begin{array}{ccccc}1& -2& 5/2& |& -13/2\\ 0& 1& -2& |& 3\\ 0& 5& 17/2& |& -7/2\end{array}\right)$

• Второй этап

На втором этапе требуется обнулить элементы второго столбца. Разрешающий элемент — 1, поэтому никаких изменений производить не требуется:

$\left(\begin{array}{ccccc}0& 1& -2& |& 3\\ 1& -2& 5/2& |& -13/2\\ 0& 5& 17/2& |& -7/2\end{array}\right)\begin{array}{c}I+2\times II\\ \\ III-5\times II\end{array}\to$$\left(\begin{array}{ccccc}0& 1& -2& |& 3\\ 1& 0& -3/2& |& -1/2\\ 0& 0& 37/2& |& -37/2\end{array}\right)$

• Третий этап

На третьем этапе необходимо обнулить элементы третьего столбца. Разрешающий элемент — 37/2. Делим все элементы на 37/2 (чтобы сделать равными 1), а затем обнуляем:

$\left(\begin{array}{ccccc}0& 1& -2& |& 3\\ 1& 0& -3/2& |& -1/2\\ 0& 0& 37/2& |& -37/2\end{array}\right)\begin{array}{c}\\ \\ III÷\frac{37}{2}\end{array}\to$$\left(\begin{array}{ccccc}1& 0& -3/2& |& -1/2\\ 0& 1& -2& |& 3\\ 0& 0& 1& |& -1\end{array}\right)\begin{array}{c}I+2\times III\\ II+3/2\times III\\ \end{array}\to \left(\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& |& -2\\ 0& 1& 0& |& 1\\ 0& 0& 1& |& -1\end{array}\right)$

Ответ: $x_1=-2; x_2=1; x_3=-1.$

$\left(\begin{array}{ccccc}4& -7& 8& |& -23\\ 2& -4& 5& |& -13\\ -3& 11& 1& |& 16\end{array}\right)\begin{array}{c}I÷2\\ \\ \end{array}\to \left(\begin{array}{ccccc}2& -4& 5/2& |& -13/2\\ 4& -7& 8& |& -23\\ -3& 11& 1& |& 16\end{array}\right)\begin{array}{c}\\ II-4\times I\\ III+3\times I\end{array}\to$$\left(\begin{array}{ccccc}0& 1& -2& |& 3\\ 1& -2& 5/2& |& -13/2\\ 0& 5& 17/2& |& -7/2\end{array}\right)\begin{array}{c}I+2\times II\\ \\ III-5\times II\end{array}\to$

$\to \left(\begin{array}{ccccc}0& 1& -2& |& 3\\ 1& 0& -3/2& |& -1/2\\ 0& 0& 37/2& |& -37/2\end{array}\right)\begin{array}{c}\\ \\ III÷\frac{37}{2}\end{array}\to$$\left(\begin{array}{ccccc}1& 0& -3/2& |& -1/2\\ 0& 1& -2& |& 3\\ 0& 0& 1& |& -1\end{array}\right)\begin{array}{c}I+2\times III\\ II+3/2\times III\\ \end{array}\to \left(\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& |& -2\\ 0& 1& 0& |& 1\\ 0& 0& 1& |& -1\end{array}\right)$

Решить СЛАУ методом Жордана-Гаусса:

$open\begin{array}{l}3x_1+x_2+2x_3+5x_4=-6\\ 3x_1+x_2+2x_4=-10\\ 6x_1+4x_2+11x_3+11x_4=-27\\ -3x_1-2x_2-2x_3-10x_4=1\end{array}$

Как решить?

Записать расширенную матрицу данной системы $Ã$:

$\left(\begin{array}{cccccc}3& 1& 2& 5& |& -6\\ 3& 1& 0& 2& |& 10\\ 6& 4& 11& 11& |& -27\\ -3& -2& -2& -10& |& 1\end{array}\right)$

Для решения используем второй способ: выбор разрешающих элементов на главной диагонали системы. На первом этапе выбираем элемент первой строки, на втором — второй строки, на третьем — третьей и т.д.

• Первый этап

Необходимо выбрать разрешающий элемент первой строки, т.е. 3. Затем обнуляем все элементы столбца, разделяя на 3 все элементы:

$\left(\begin{array}{cccccc}3& 1& 2& 5& |& -6\\ 3& 1& 0& 2& |& -10\\ 6& 4& 11& 11& |& -27\\ -3& -2& -2& -10& |& 1\end{array}\right)\begin{array}{c}I÷3\\ \\ \end{array}\to$$\left(\begin{array}{cccccc}1& 1/3& 2/3& 5/3& |& -2\\ 3& 1& 0& 2& |& -10\\ 6& 4& 11& 11& |& -27\\ -3& -2& -2& -10& |& 1\end{array}\right)\begin{array}{c}\\ II-3\times I\\ III-6\times I\\ IV+3\times I\end{array}\to$

$\to \left(\begin{array}{cccccc}1& 1/3& 2/3& 5/3& |& -2\\ 0& 0& -2& -3& |& -4\\ 0& 2& 7& 1& |& -15\\ 0& -1& 0& -5& |& -5\end{array}\right)$

• Второй этап

Необходимо обнулить элементы второго столбца. Для этого выделяем разрешающий элемент, но элемент первой строки второго столбца равен нулю, поэтому необходимо менять строки местами.

Поскольку в четвертой строке есть число -1, то меняем местами вторую и четвертую строки:

$\left(\begin{array}{cccccc}1& 1/3& 2/3& 5/3& |& -2\\ 0& 0& -2& -3& |& -4\\ 0& 2& 7& 1& |& -15\\ 0& -1& 0& -5& |& -5\end{array}\right)\to$$\left(\begin{array}{cccccc}1& 1/3& 2/3& 5/3& |& -2\\ 0& -1& 0& -5& |& -5\\ 0& 2& 7& 1& |& -15\\ 0& 0& -2& -3& |& -4\end{array}\right)$

Теперь разрешающий элемент равен -1. Делим элементы второго столбца на -1, а затем обнуляем:

$\left(\begin{array}{cccccc}1& 1/3& 2/3& 5/3& |& -2\\ 0& -1& 0& -5& |& -5\\ 0& 2& 7& 1& |& -15\\ 0& 0& -2& -3& |& -4\end{array}\right)\begin{array}{c}\\ II÷(-1)\\ \\ \end{array}\to \begin{array}{}\\ \\ \\ \end{array}$$\left(\begin{array}{cccccc}1& 1/3& 2/3& 5/3& |& -2\\ 0& 1& 0& 5& |& 5\\ 0& 2& 7& 1& |& -15\\ 0& 0& -2& -3& |& -4\end{array}\right)\begin{array}{c}I-1/3\times II\\ \\ III-2\times I\\ \end{array}\to \begin{array}{}\\ \\ \\ \end{array}$

$\to \left(\begin{array}{cccccc}1& 0& 2/3& 0& |& -11/3\\ 0& 1& 0& 5& |& 5\\ 0& 0& 7& -9& |& -25\\ 0& 0& -2& -3& |& -4\end{array}\right)$

• Третий этап

На третьем этапе необходимо также обнулить элементы третьего столбца. Для этого находим разрешающий элемент в третьей строке — это 7. Но на 7 делить неудобно, поэтому необходимо менять строки местами, чтобы разрешающий элемент стал -2:

$\left(\begin{array}{cccccc}1& 0& 2/3& 0& |& -11/3\\ 0& 1& 0& 5& |& 5\\ 0& 0& 7& -9& |& -25\\ 0& 0& -2& -3& |& -4\end{array}\right)\to$$\left(\begin{array}{cccccc}1& 0& 2/3& 0& |& -11/3\\ 0& 1& 0& 5& |& 5\\ 0& 0& -2& -3& |& -4\\ 0& 0& 7& -9& |& -25\end{array}\right)$

Теперь делим все элементы третьего столбца на -2 и обнуляем все элементы:

$\left(\begin{array}{cccccc}1& 0& 2/3& 0& |& -11/3\\ 0& 1& 0& 5& |& 5\\ 0& 0& -2& -3& |& -4\\ 0& 0& 7& -9& |& -25\end{array}\right)\begin{array}{c}\\ \\ III÷(-2)\\ \end{array}\to$$\left(\begin{array}{cccccc}1& 0& 2/3& 0& |& -11/3\\ 0& 1& 0& 5& |& 5\\ 0& 0& 1& 3/2& |& 2\\ 0& 0& 0& -9& |& -25\end{array}\right)\begin{array}{c}I-2/3\times III\\ \\ \\ IV-7\times III\end{array}\to$

$\left(\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& -1& |& -5\\ 0& 1& 0& 5& |& 5\\ 0& 0& 1& 3/2& |& 2\\ 0& 0& 0& -39/2& |& -39\end{array}\right)$

• Четвертый этап

Обнуляем четвертый столбец. Разрешающий элемент — $-\frac{39}{2}$:

$\left(\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& -1& |& -5\\ 0& 1& 0& 5& |& 5\\ 0& 0& 1& 3/2& |& 2\\ 0& 0& 0& -39/2& |& -39\end{array}\right)\begin{array}{c}\\ \\ \\ IV÷(-\frac{39}{2})\end{array}\to$$\left(\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& -1& |& -5\\ 0& 1& 0& 5& |& 5\\ 0& 0& 1& 3/2& |& 2\\ 0& 0& 0& 1& |& 2\end{array}\right)\begin{array}{c}I+IV\\ II-5\times IV\\ III-3/2\times IV\\ \end{array}\to$

$\to \left(\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& 0& |& -3\\ 0& 1& 0& 0& |& -5\\ 0& 0& 1& 0& |& -1\\ 0& 0& 0& 1& |& 2\end{array}\right).$

Ответ: $x_1=-3; x_2=-5; x_3=-1; x_4=2$