Метод Жордана-Гаусса для решения СЛАУ

2 июня 2023
9 минут
7 718

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

В данной статье мы рассмотрим метод Жордана-Гаусса для решения систем линейных уравнений, отличие метода Гаусса от метода Жордана-Гаусса, алгоритм действий, а также приведем примеры решений СЛАУ.

Основные понятия

Определение 1

Метод Жордана-Гаусса — один из методов, предназначенный для решения систем линейных алгебраических уравнений.

Этот метод является модификацией метода Гаусса — в отличие от исходного (метода Гаусса) метод Жордана-Гаусса позволяет решить СЛАУ в один этап (без использования прямого и обратного ходов).

Примечание

Матричная запись СЛАУ: вместо обозначения $А$ в методе Жордана-Гаусса для записи используют обозначение $Ã$ — обозначение расширенной матрицы системы.

Пример 1

Решить СЛАУ методом Жордана-Гаусса:

$\{\begin{cases} 4 x_{1} - 7 x_{2} + 8 x_{3} = - 23 \\ 2 x_{1} - 4 x_{2} + 5 x_{3} = - 13 \\ - 3 x_{1} + 11 x_{2} + x_{3} = 16 \end{cases}$

Как решить?

Записываем расширенную матрицу системы:

$Ã = (\begin{matrix} 4 & - 7 & 8 & | & - 23 \\ 2 & - 4 & 5 & | & - 13 \\ - 3 & 11 & 1 & | & 16 \end{matrix})$

Напоминаем, что слева от черты записывается матрица системы $А$ :

$A = (\begin{matrix} 4 & - 7 & 8 \\ 2 & - 4 & 5 \\ - 3 & 11 & 1 \end{matrix})$

Замечание 1

На каждом шаге решения необходимо выбирать разрешающие элементы матрицы. Процесс выбора может быть различным — в зависимости от того, как выбираются элементы, решения будут отличаться. Можно выбирать в качестве разрешающих элементов диагональные элементы матрицы, а можно выбирать произвольно.

В этой статье мы покажем оба способа решения.

Произвольный способ выбора разрешающих элементов

Первый этап:

Следует обратиться к 1-му столбцу матрицы $Ã$ — необходимо выбрать ненулевой (разрешающий) элемент.

В 1-ом столбце есть 3 ненулевых элемента: 4, 2, -3. Можно выбрать любой, но, по правилам, выбирается тот, чей модуль ближе всего к единице. В нашем примере таким числом является 2.

Цель: обнулить все элементы, кроме разрешающего, т.е. необходимо обнулить 4 и -3:

$(\begin{matrix} 4 & - 7 & 8 \\ 2 & - 4 & 5 \\ - 3 & 11 & 1 \end{matrix})$

Произведем преобразование: необходимо сделать разрешающий элемент равным единице. Для этого делим все элементы 2-ой строки на 2. Такое преобразование имеет обозначение: $I I : 2$ :

$(\begin{matrix} 4 & - 7 & 8 & | & - 23 \\ 2 & - 4 & 5 & | & - 13 \\ - 3 & 11 & 1 & | & 16 \end{matrix}) I I \div 2 \to (\begin{matrix} 4 & - 7 & 8 & | & - 23 \\ 2 & - 4 & 5 / 2 & | & - 13 / 2 \\ - 3 & 11 & 1 & | & 16 \end{matrix})$

Теперь обнуляем остальные элементы: 4 и -3:

$(\begin{matrix} 4 & - 7 & 8 & | & - 23 \\ 2 & - 4 & 5 / 2 & | & - 13 / 2 \\ - 3 & 11 & 1 & | & 16 \end{matrix})$ $\begin{matrix} I - 4 \times I I \\ I I I - (- 3) \times I I \end{matrix}$

Необходимо выполнить преобразования:

$\begin{matrix} I - 4 \times I I и I I I - (- 3) \times I I \end{matrix} = I I I + 3 \times I I$

Запись $\begin{matrix} I - 4 \times I I \end{matrix}$ означает, что от элементов 1-ой строки вычитаются соответствующие элементы 2-ой строки, умноженные на 4.

Запись $I I I + 3 \times I I$ означает, что к элементам 3-ей строки прибавляются соответствующие элементы 2-ой строки, умноженные на 3.

$I - 4 \times I I = (\begin{matrix} 4 - 7 & 8 - 23 \end{matrix}) - 4 (\begin{matrix} 1 - 2 & 5 / 2 - 13 / 2 \end{matrix}) = = (\begin{matrix} 4 - 7 & 8 - 23 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 4 - 8 & 10 - 26 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 1 & - 2 3 \end{matrix})$

Записываются такие изменения следующим образом:

$(\begin{matrix} 4 & - 7 & 8 & | & - 23 \\ 2 & - 4 & 5 / 2 & | & - 13 / 2 \\ - 3 & 11 & 1 & | & 16 \end{matrix})$ $\begin{matrix} I - 4 \times I I \\ I I I - (- 3) \times I I \end{matrix} \to (\begin{matrix} 0 & 1 & - 2 & | & 3 \\ 1 & - 2 & 5 / 2 & | & - 13 / 2 \\ 0 & 5 & 17 / 2 & | & - 7 / 2 \end{matrix})$

Второй этап

Необходимо обнулить 2-ой столбец, следовательно, нужно выбрать разрешающий элемент: 1, -2, 5. Однако 2-ую строку матрицы мы использовали в первом этапе, так что элемент -2 не может быть использован.

Поскольку необходимо выбирать число, чей модуль ближе всего к единице, то выбор очевиден — это 1. Обнуляем остальные элементы 2-го столбца:

$(\begin{matrix} 0 & 1 & - 2 & | & 3 \\ 1 & - 2 & 5 / 2 & | & - 13 / 2 \\ 0 & 5 & 17 / 2 & | & - 7 / 2 \end{matrix}) \begin{matrix} I I - (- 2) \times I \\ I I I - 5 \times I \end{matrix}$

Итог:

$(\begin{matrix} 0 & 1 & - 2 & | & 3 \\ 1 & - 2 & 5 / 2 & | & - 13 / 2 \\ 0 & 5 & 17 / 2 & | & - 7 / 2 \end{matrix}) \begin{matrix} I I + 2 \times I \\ I I I - 5 \times I \end{matrix} \to (\begin{matrix} 0 & 1 & - 2 & | & 3 \\ 1 & 0 & - 3 / 2 & | & - 1 / 2 \\ 0 & 0 & 37 / 2 & | & - 37 / 2 \end{matrix})$

Третий этап

Теперь требуется обнулить элементы 3-го столбца. Поскольку первая и вторая строки уже использованы, поэтому остается только один вариант: $37 / 2$ . Обнуляем с его помощью элементы третьего столбца:

$(\begin{matrix} 0 & 1 & - 2 & | & 3 \\ 1 & 0 & - 3 / 2 & | & - 1 / 2 \\ 0 & 0 & 37 / 2 & | & - 37 / 2 \end{matrix})$

Выполнив преобразования

$I - (- 2) \times I I I = I + 2 \times I I I и I I - (- \frac{3}{2}) \times I I I = I I + \frac{3}{2} \times I I$

получим следующий результат:

$(\begin{matrix} 0 & 1 & - 2 & | & 3 \\ 1 & 0 & - 3 / 2 & | & - 1 / 2 \\ 0 & 0 & 1 & | & - 1 \end{matrix}) \begin{matrix} I + 2 \times I I I \\ I I + 3 / 2 \times I I I \end{matrix} \to (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & | & 1 \\ 1 & 0 & 0 & | & - 2 \\ 0 & 0 & 1 & | & - 1 \end{matrix})$

Ответ: $x_{1} = - 2; x_{2} = 1; x_{3} = - 1 .$

Полное решение:

$\to (\begin{matrix} 0 & 1 & - 2 & | & 3 \\ 1 & - 2 & 5 / 2 & | & - 13 / 2 \\ 0 & 5 & 17 / 2 & | & - 7 / 2 \end{matrix}) \begin{matrix} I I - (- 2) \times I \\ I I I - 5 \times I \end{matrix} \to$ $(\begin{matrix} 0 & 1 & - 2 & | & 3 \\ 1 & 0 & - 3 / 2 & | & - 1 / 2 \\ 0 & 0 & 37 / 2 & | & - 37 / 2 \end{matrix}) \begin{matrix} I I I \div \frac{37}{2} \end{matrix} \to$

$\to (\begin{matrix} 0 & 1 & - 2 & | & 3 \\ 1 & 0 & - 3 / 2 & | & - 1 / 2 \\ 0 & 0 & 1 & | & - 1 \end{matrix}) \begin{matrix} I + 2 \times I I I \\ I I + 3 / 2 \times I I I \end{matrix} \to (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & | & 1 \\ 1 & 0 & 0 & | & - 2 \\ 0 & 0 & 1 & | & - 1 \end{matrix})$ .

Выбор разрешающих элементов на главной диагонали матрицы системы

Определение 2

Принцип выбора разрешающих элементов строится на простом отборе соответствующих элементов: в 1-ом столбце выбирается элемент 1-го столбца, во 2-ом — второй, в 3-ем — третий и т.д.

Первый этап

В первом столбце необходимо выбрать элемент первой строки, т.е. 4. Но поскольку в первом столбце есть число 2, чей модуль ближе к единице, чем 4, то можно поменять местами первую и вторую строку:

$(\begin{matrix} 4 & - 7 & 8 & | & - 23 \\ 2 & - 4 & 5 & | & - 13 \\ - 3 & 11 & 1 & | & 16 \end{matrix}) \to (\begin{matrix} 2 & - 4 & 5 & | & - 13 \\ 4 & - 7 & 8 & | & - 23 \\ - 3 & 11 & 1 & | & 16 \end{matrix})$

Теперь разрешающий элемент — 2. Как показано в первом способе, делим первую строку на 2, а затем обнуляем все элементы:

$(\begin{matrix} 4 & - 7 & 8 & | & - 23 \\ 2 & - 4 & 5 & | & - 13 \\ - 3 & 11 & 1 & | & 16 \end{matrix}) \begin{matrix} I \div 2 \end{matrix} \to (\begin{matrix} 2 & - 4 & 5 / 2 & | & - 13 / 2 \\ 4 & - 7 & 8 & | & - 23 \\ - 3 & 11 & 1 & | & 16 \end{matrix}) \begin{matrix} I I - 4 \times I \\ I I I + 3 \times I \end{matrix} \to (\begin{matrix} 1 & - 2 & 5 / 2 & | & - 13 / 2 \\ 0 & 1 & - 2 & | & 3 \\ 0 & 5 & 17 / 2 & | & - 7 / 2 \end{matrix})$

Второй этап

На втором этапе требуется обнулить элементы второго столбца. Разрешающий элемент — 1, поэтому никаких изменений производить не требуется:

$(\begin{matrix} 0 & 1 & - 2 & | & 3 \\ 1 & - 2 & 5 / 2 & | & - 13 / 2 \\ 0 & 5 & 17 / 2 & | & - 7 / 2 \end{matrix}) \begin{matrix} I + 2 \times I I \\ I I I - 5 \times I I \end{matrix} \to$ $(\begin{matrix} 0 & 1 & - 2 & | & 3 \\ 1 & 0 & - 3 / 2 & | & - 1 / 2 \\ 0 & 0 & 37 / 2 & | & - 37 / 2 \end{matrix})$

Третий этап

На третьем этапе необходимо обнулить элементы третьего столбца. Разрешающий элемент — 37/2. Делим все элементы на 37/2 (чтобы сделать равными 1), а затем обнуляем:

$(\begin{matrix} 0 & 1 & - 2 & | & 3 \\ 1 & 0 & - 3 / 2 & | & - 1 / 2 \\ 0 & 0 & 37 / 2 & | & - 37 / 2 \end{matrix}) \begin{matrix} I I I \div \frac{37}{2} \end{matrix} \to$ $(\begin{matrix} 1 & 0 & - 3 / 2 & | & - 1 / 2 \\ 0 & 1 & - 2 & | & 3 \\ 0 & 0 & 1 & | & - 1 \end{matrix}) \begin{matrix} I + 2 \times I I I \\ I I + 3 / 2 \times I I I \end{matrix} \to (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & | & - 2 \\ 0 & 1 & 0 & | & 1 \\ 0 & 0 & 1 & | & - 1 \end{matrix})$

Ответ: $x_{1} = - 2; x_{2} = 1; x_{3} = - 1 .$

$(\begin{matrix} 4 & - 7 & 8 & | & - 23 \\ 2 & - 4 & 5 & | & - 13 \\ - 3 & 11 & 1 & | & 16 \end{matrix}) \begin{matrix} I \div 2 \end{matrix} \to (\begin{matrix} 2 & - 4 & 5 / 2 & | & - 13 / 2 \\ 4 & - 7 & 8 & | & - 23 \\ - 3 & 11 & 1 & | & 16 \end{matrix}) \begin{matrix} I I - 4 \times I \\ I I I + 3 \times I \end{matrix} \to$ $(\begin{matrix} 0 & 1 & - 2 & | & 3 \\ 1 & - 2 & 5 / 2 & | & - 13 / 2 \\ 0 & 5 & 17 / 2 & | & - 7 / 2 \end{matrix}) \begin{matrix} I + 2 \times I I \\ I I I - 5 \times I I \end{matrix} \to$

$\to (\begin{matrix} 0 & 1 & - 2 & | & 3 \\ 1 & 0 & - 3 / 2 & | & - 1 / 2 \\ 0 & 0 & 37 / 2 & | & - 37 / 2 \end{matrix}) \begin{matrix} I I I \div \frac{37}{2} \end{matrix} \to$ $(\begin{matrix} 1 & 0 & - 3 / 2 & | & - 1 / 2 \\ 0 & 1 & - 2 & | & 3 \\ 0 & 0 & 1 & | & - 1 \end{matrix}) \begin{matrix} I + 2 \times I I I \\ I I + 3 / 2 \times I I I \end{matrix} \to (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & | & - 2 \\ 0 & 1 & 0 & | & 1 \\ 0 & 0 & 1 & | & - 1 \end{matrix})$

Пример 2

Решить СЛАУ методом Жордана-Гаусса:

$\{\begin{cases} 3 x_{1} + x_{2} + 2 x_{3} + 5 x_{4} = - 6 \\ 3 x_{1} + x_{2} + 2 x_{4} = - 10 \\ 6 x_{1} + 4 x_{2} + 11 x_{3} + 11 x_{4} = - 27 \\ - 3 x_{1} - 2 x_{2} - 2 x_{3} - 10 x_{4} = 1 \end{cases}$

Как решить?

Записать расширенную матрицу данной системы $Ã$ :

$(\begin{matrix} 3 & 1 & 2 & 5 & | & - 6 \\ 3 & 1 & 0 & 2 & | & 10 \\ 6 & 4 & 11 & 11 & | & - 27 \\ - 3 & - 2 & - 2 & - 10 & | & 1 \end{matrix})$

Для решения используем второй способ: выбор разрешающих элементов на главной диагонали системы. На первом этапе выбираем элемент первой строки, на втором — второй строки, на третьем — третьей и т.д.

Первый этап

Необходимо выбрать разрешающий элемент первой строки, т.е. 3. Затем обнуляем все элементы столбца, разделяя на 3 все элементы:

$(\begin{matrix} 3 & 1 & 2 & 5 & | & - 6 \\ 3 & 1 & 0 & 2 & | & - 10 \\ 6 & 4 & 11 & 11 & | & - 27 \\ - 3 & - 2 & - 2 & - 10 & | & 1 \end{matrix}) \begin{matrix} I \div 3 \end{matrix} \to$ $(\begin{matrix} 1 & 1 / 3 & 2 / 3 & 5 / 3 & | & - 2 \\ 3 & 1 & 0 & 2 & | & - 10 \\ 6 & 4 & 11 & 11 & | & - 27 \\ - 3 & - 2 & - 2 & - 10 & | & 1 \end{matrix}) \begin{matrix} I I - 3 \times I \\ I I I - 6 \times I \\ I V + 3 \times I \end{matrix} \to$

$\to (\begin{matrix} 1 & 1 / 3 & 2 / 3 & 5 / 3 & | & - 2 \\ 0 & 0 & - 2 & - 3 & | & - 4 \\ 0 & 2 & 7 & 1 & | & - 15 \\ 0 & - 1 & 0 & - 5 & | & - 5 \end{matrix})$

Второй этап

Необходимо обнулить элементы второго столбца. Для этого выделяем разрешающий элемент, но элемент первой строки второго столбца равен нулю, поэтому необходимо менять строки местами.

Поскольку в четвертой строке есть число -1, то меняем местами вторую и четвертую строки:

$(\begin{matrix} 1 & 1 / 3 & 2 / 3 & 5 / 3 & | & - 2 \\ 0 & 0 & - 2 & - 3 & | & - 4 \\ 0 & 2 & 7 & 1 & | & - 15 \\ 0 & - 1 & 0 & - 5 & | & - 5 \end{matrix}) \to$ $(\begin{matrix} 1 & 1 / 3 & 2 / 3 & 5 / 3 & | & - 2 \\ 0 & - 1 & 0 & - 5 & | & - 5 \\ 0 & 2 & 7 & 1 & | & - 15 \\ 0 & 0 & - 2 & - 3 & | & - 4 \end{matrix})$

Теперь разрешающий элемент равен -1. Делим элементы второго столбца на -1, а затем обнуляем:

$(\begin{matrix} 1 & 1 / 3 & 2 / 3 & 5 / 3 & | & - 2 \\ 0 & - 1 & 0 & - 5 & | & - 5 \\ 0 & 2 & 7 & 1 & | & - 15 \\ 0 & 0 & - 2 & - 3 & | & - 4 \end{matrix}) \begin{matrix} I I \div (- 1) \end{matrix} \to \begin{matrix} \end{matrix}$ $(\begin{matrix} 1 & 1 / 3 & 2 / 3 & 5 / 3 & | & - 2 \\ 0 & 1 & 0 & 5 & | & 5 \\ 0 & 2 & 7 & 1 & | & - 15 \\ 0 & 0 & - 2 & - 3 & | & - 4 \end{matrix}) \begin{matrix} I - 1 / 3 \times I I \\ I I I - 2 \times I \end{matrix} \to \begin{matrix} \end{matrix}$

$\to (\begin{matrix} 1 & 0 & 2 / 3 & 0 & | & - 11 / 3 \\ 0 & 1 & 0 & 5 & | & 5 \\ 0 & 0 & 7 & - 9 & | & - 25 \\ 0 & 0 & - 2 & - 3 & | & - 4 \end{matrix})$

Третий этап

На третьем этапе необходимо также обнулить элементы третьего столбца. Для этого находим разрешающий элемент в третьей строке — это 7. Но на 7 делить неудобно, поэтому необходимо менять строки местами, чтобы разрешающий элемент стал -2:

$(\begin{matrix} 1 & 0 & 2 / 3 & 0 & | & - 11 / 3 \\ 0 & 1 & 0 & 5 & | & 5 \\ 0 & 0 & 7 & - 9 & | & - 25 \\ 0 & 0 & - 2 & - 3 & | & - 4 \end{matrix}) \to$ $(\begin{matrix} 1 & 0 & 2 / 3 & 0 & | & - 11 / 3 \\ 0 & 1 & 0 & 5 & | & 5 \\ 0 & 0 & - 2 & - 3 & | & - 4 \\ 0 & 0 & 7 & - 9 & | & - 25 \end{matrix})$

Теперь делим все элементы третьего столбца на -2 и обнуляем все элементы:

$(\begin{matrix} 1 & 0 & 2 / 3 & 0 & | & - 11 / 3 \\ 0 & 1 & 0 & 5 & | & 5 \\ 0 & 0 & - 2 & - 3 & | & - 4 \\ 0 & 0 & 7 & - 9 & | & - 25 \end{matrix}) \begin{matrix} I I I \div (- 2) \end{matrix} \to$ $(\begin{matrix} 1 & 0 & 2 / 3 & 0 & | & - 11 / 3 \\ 0 & 1 & 0 & 5 & | & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 3 / 2 & | & 2 \\ 0 & 0 & 0 & - 9 & | & - 25 \end{matrix}) \begin{matrix} I - 2 / 3 \times I I I \\ I V - 7 \times I I I \end{matrix} \to$

$(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & - 1 & | & - 5 \\ 0 & 1 & 0 & 5 & | & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 3 / 2 & | & 2 \\ 0 & 0 & 0 & - 39 / 2 & | & - 39 \end{matrix})$

Четвертый этап

Обнуляем четвертый столбец. Разрешающий элемент — $- \frac{39}{2}$ :

$(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & - 1 & | & - 5 \\ 0 & 1 & 0 & 5 & | & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 3 / 2 & | & 2 \\ 0 & 0 & 0 & - 39 / 2 & | & - 39 \end{matrix}) \begin{matrix} I V \div (- \frac{39}{2}) \end{matrix} \to$ $(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & - 1 & | & - 5 \\ 0 & 1 & 0 & 5 & | & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 3 / 2 & | & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & | & 2 \end{matrix}) \begin{matrix} I + I V \\ I I - 5 \times I V \\ I I I - 3 / 2 \times I V \end{matrix} \to$

$\to (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 & | & - 3 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & | & - 5 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & | & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & | & 2 \end{matrix}) .$

Ответ: $x_{1} = - 3; x_{2} = - 5; x_{3} = - 1; x_{4} = 2$