Предел показательно степенной функции, примеры нахождения

Содержание:

09 января 2024
4 минуты
1689

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

В процессе нахождения предела показательно-степенной функции типа $\lim_{x \to x_{0}} (f (x))^{g (x)}$ часто работаем с такими степенными неопределенностями, как $<1^{\infty}>, <0^{0}>, <\infty^{0}>$ .

Для их раскрытия необходимо задействовать логарифмирование $a = e^{\ln (a)}$ , свойство логарифма $a \cdot \ln (b) = \ln (b^{a})$ и применение его предела заданной непрерывной функции, причем ее знак разрешено менять местами.

Для этого производятся преобразования вида:

$\lim_{x \to x_{0}} (f (x))^{g (x)} = e^{\ln (\lim_{x \to x_{0}} f (x))^{g (x)})} = e^{\lim_{x \to x_{0}} (\ln (f (x))^{g (x)}} = e^{\lim_{x \to x_{0}} (g (x) \ln (f (x)))} = = e^{\lim_{x \to x_{0}} \frac{\ln (f (x))}{\frac{1}{g (x)}}}$

Отсюда видно, что задание приводится к нахождению предела заданной функции вида $e^{\lim_{x \to x_{0}} \frac{\ln (f (x))}{\frac{1}{g (x)}}} = <\frac{\infty}{\infty}>$ или $<\frac{0}{0}>$ .

Данный случай рассматривает методы:

непосредственного вычисления;
использования правила Лопиталя;
с заменой эквивалентных бесконечно малых функций;
применение первого замечательного предела.

Для того, чтобы неопределенность была раскрыта, необходимо применять второй замечательный предел, при наличии $<1^{\infty}>$ .

Рассмотрим теорию на элементарных примерах заданий.

Пример 1

Найти предел заданной функции $\lim_{x \to 0} (x^{3} + 2 x + 1) \frac{3}{2 (x^{3} + x)}$ .

Решение

Для решения необходимо произвести подстановку. Получаем :

$\lim_{x \to 0} (x^{3} + 2 x + 1)^{\frac{3}{2 (x^{3} + x)}} = (0^{3} + 2 \cdot 0 + 1)^{\frac{3}{2 (0^{3} + 0)}} = 1^{\infty}$

Получение единицы в степени бесконечность называют неопределенностью, значит, необходимо решить другим методом.

Следует произвести преобразования данного предела. Получаем:

$\lim_{x \to 0} (x^{3} + 2 x + 1)^{\frac{3}{2 (x^{3} + x)}} = e^{\ln (\lim_{x \to 0} (x^{3} + 2 x + 1)^{\frac{3}{2 (x^{3} + x)}})} = = e^{\lim_{x \to 0} (\ln (x^{3} + 2 x + 1)^{\frac{3}{2 (x^{3} + x)}})} = e^{\lim_{x \to 0} \frac{3 \ln (x^{3} + 2 x + 1)}{2 (x^{3} + x)}}$

Видим, что преобразование сводится к пределу вида $\lim_{x \to 0} \frac{3 \ln (x^{3} + 2 x + 1)}{2 (x^{3} + x)}$ .

Получаем

$\lim_{x \to 0} \frac{3 \ln (x^{3} + 2 x + 1}{2 (x^{3} + x)} = <\frac{0}{0}> = \frac{3}{2} \lim_{x \to 0} \frac{\ln (x^{3} + 2 x + 1)}{x^{3} + x} = = \frac{3}{2} \lim_{x \to 0} \frac{x^{3} + 2 x}{x^{3} + x} = \frac{3}{2} \lim_{x \to 0} \frac{x^{2} + 2}{x^{2} + 1} = \frac{3}{2} \cdot \frac{0^{2} + 2}{0^{2} + 1} = 3$

Данные преобразования были выполнены при помощи применения замены логарифма на эквивалентную бесконечно малую функцию.

Тогда исходный предел принимает вид $\lim_{x \to 0} (x^{2} + 2 x + 1)^{\frac{3}{2 (x^{3} + x)}} = e^{3}$ .

Вычисление данного предела возможно с применением второго замечательного предела. Тогда получаем:

$\lim_{x \to 0} (x^{2} + 2 x + 1)^{\frac{3}{2 (x^{3} + x)}} = \lim_{x \to 0} (1 + (x^{3} + 2 x)^{\frac{1}{x^{3} + 2 x} (x^{3} + 2 x) \frac{3}{2 (x^{3} + x)}} = = \lim_{x \to 0} {((1 + (x^{3} + 2 x))^{\frac{1}{x^{3} + 2 x}})}^{\frac{3 (x^{3} + 2 x)}{2 (x^{3} + x)}} = \lim_{x \to 0} {(1 + (x^{3} + 2 x))^{\frac{1}{x^{3} + 2 x}})}^{\frac{3 (x^{2} + 2)}{2 (x^{2} + 1)} =} = \lim_{x \to 0} {((1 + (x^{3} + 2 x)^{\frac{1}{x^{3} + 2 x}})}^{3} = e^{3}$

Ответ: $e^{3}$ .

Пример 2

Найти и вычислить предел $\lim_{x \to \frac{π}{2}} (t g x)^{2 c o s x}$

Решение

Если произведем подстановку, в результате получим ответ в виде бесконечности в степени ноль, а это является знаком, что необходимо применить другой метод для преобразования. Получаем:

$\lim_{x \to \frac{π}{2}} (t g x)^{2 c o s x} = <\infty^{0}> = e^{\ln (\lim_{x \to \frac{π}{2}} (t g x)^{2 \cos x})} = = e^{2 \lim_{x \to \frac{π}{2}} ((t g x)^{2 \cos x})} = e^{\lim_{x \to \frac{π}{2}} (2 \cos x \cdot \ln \cdot (t g x))} = = e^{2 \lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\ln (t g x)}{\frac{1}{\cos x}}}$

Отсюда видно, что решение сводится к переделу $\lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\ln (t g x)}{\frac{1}{\cos x}} = <\frac{\infty}{\infty}>$ .

Для дальнейшего преобразования применим правило Лопиталя, так как получили неопределенность в виде частного бесконечностей. Видим, что

$\lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\ln (t g x)}{\frac{1}{\cos x}} = <\frac{\infty}{\infty}> = \lim_{x \to \frac{π}{2}} = \frac{{(\ln (t g x))}^{'}}{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{'}} = = \lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{1}{t g (x)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)}}{\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}} = \lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} = \frac{\cos (\frac{π}{2})}{\sin^{2} (\frac{π}{2})} = \frac{0}{1^{2}} = 0$

Отсюда следует, что пределом показательно-степенной функции является результат, полученный при вычислении. Имеем вы предел вида $\lim_{x \to \frac{π}{2}} (t g x)^{2 \cos x} = e^{2 \cdot 0} = e^{0} = 1$ .