Действия с многочленами

Мы уже разобрали, что из себя представляют многочлены. В рамках данной статьи мы расскажем, как правильно вычитать, умножать, складывать и делить подобные выражения, а также как возводить их в натуральную степень, т.е. определим правила совершения данных действий с многочленами.

Правила сложения и вычитания многочленов

Складывать и вычитать многочлены достаточно просто. Оба эти действия рассматриваются вместе, поскольку осуществляются по одним и тем же принципам:

1. Начинаем с правильной записи суммы или разности исходных многочленов. Для этого их надо заключить в скобки и поместить между ними нужный знак.
2. Далее выполняем раскрытие скобок и получаем новый многочлен.
3. После этого нужно привести многочлен к стандартному виду (если это необходимо).

Поясним алгоритм примером.

Другие примеры вы можете найти в отдельной статье, посвященной сложению и вычитанию многочленов.

Правила умножения одного многочлена на другой

Перейдем к рассмотрению следующего действия – умножения. Основное правило его выполнения основано на распределительном свойстве умножения. С его помощью мы можем свести умножение многочленов к последовательному перемножению всех их членов друг на друга. Запишем правило:

Результатом умножения двух многочленов друг на друга будет новый многочлен.

Мы также можем выполнить умножение многочлена на одночлен. Это можно рассматривать как частный случай умножения, приведенного выше. Советуем прочесть отдельную статью об умножении многочленов, где представлены более подробные теоретические положения и приведены более сложные примеры.

Правила возведения многочлена в степень

После того, как мы разобрались с правилами умножения многочленов, можем перейти к возведению в натуральную степень. Это действие может быть приравнено к умножению имеющегося многочлена на аналогичный  столько раз, сколько написано в показателе. Так, возведению $3·x+1$  в степень $4$ мы можем поставить в соответствие произведение $4$-х многочленов: $(3·x+1)·(3·x+1)·(3·x+1)·(3·x+1)$.

Подводя итог этого пункта, отметим, что возведение в степень можно выполнять намного быстрее, если пользоваться формулами сокращенного умножения. Советуем вам изучить эту тему более подробно.

Правила деления многочлена на многочлен

Мы уже выяснили, что результатом всех рассмотренных действий является новый многочлен. Действие деления отличается от них тем, что чаще всего его результат не будет многочленом. Так, если мы разделим $x·y-1$  на $x^2+y^2$ , то в итоге у нас получится дробь $\frac{x·y-1}{x^2+y^2}$.

Однако в принципе получить в результате многочлен можно, например, здесь: $(x^2·y+x·y^2-x+x·y+y^2-1):(x+1)=x·y+y^2-1$. В таких случаях мы можем говорить о делимости одного многочлена на другой, так же, как мы отмечали это для целых чисел. Тогда при делении нам нужно представить делимый многочлен в виде произведения двух многочленов - делителя и частного от деления. Во взятом нами примере делимое $x^2·y+x·y^2-x+x·y+y^2-1$  рассматривается как произведение $(x+1)·(x·y+y^2-1)$.

Если у обоих многочленов есть только одна переменная, то тогда речь идет о делении без остатка. Сформулируем правило для многочлена, включающего в себя одну действительную переменную $x$. Обозначим данный многочлен $P\left(x\right)$.

Так, мы можем разделить $x^3+2·x^2+3·x+6$ на $x+2$без остатка в силу существования многочлена $x^2+3$. Тогда равенство $x^3+2·x^2+3·x+6=(x+2)·(x^2+3)$ будет справедливым.

А вот $x^2+1$  поделить на $x^3-5$ без остатка мы не сможем, поскольку нет такого $Q\left(x\right)$, которое подошло бы для равенства $x^2+1=(x^3-5)·Q\left(x\right)$.

Деление без остатка есть частный случай деления с остатком, ведь при нем мы также получаем остаток, равный $0$. В общем случае можно сказать, что когда мы делим многочлен $P\left(x\right)$ степени $n$, которая будет больше единицы, на другой многочлен $Q\left(x\right)$  степени $k$ (причем $1\le k\le n$), мы получаем в итоге новый многочлен $M\left(x\right)$  степени $n-k$ и остаток в виде многочлена $R\left(x\right)$, степень которого будет меньше, чем $k$. Представим данное утверждение как теорему.

Под  $Q\left(x\right)$, $M\left(x\right)$ и $R\left(x\right)$ в данном случае понимается любой многочлен из множества тождественно равных многочленов.

Так, если мы делим $3·x^4+2·x^2-1$ на $x^2+x$ , то у нас получится частное $3·x^2-3·x+5$  с остатком $-5·x-1$.

Это так, потому что равенство $3·x^4+2·x^2-1=(x^2+x)·(3·x^2-3·x+5)-5·x-1$ является справедливым. Его справедливость легко проверить, выполнив все нужные действия с правой стороны.

Если мы делим $P\left(x\right)$ на$Q\left(x\right)$, причем степень делимого будет больше степени делителя, то в итоге мы всегда получаем частное в виде нулевого многочлена и остаток, равный делимому. Так, разделив $x^2+1$ на$x^3+2·x^2-1$, мы получим нулевое частное и остаток$x^2+1$.

Удобно производить деление, предварительно  сделав запись уголком, так же, как мы делаем это для целых чисел. Подробнее это действие разобрано в статье, посвященной делению многочлена на многочлен.