Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik
Преобразование целых выражений
- 16 октября 2023
- 9 минут
- 1 905
Благодаря курсу алгебры, известно, что все выражения требуют преобразования для более удобного решения. Определение целых выражений способствует тому, что для начала выполняются тождественные преобразования. Будем преобразовывать выражение в многочлен. В заключении разберем несколько примеров.
Определение и примеры целых выражений
Целые выражения – это числа, переменные или выражения со сложением или вычитанием, которые записываются в виде степени с натуральным показателем, которые также имеют скобки или деление, отличное от нуля.
Исходя из определения, имеем, что примеры целых выражений: и так далее, причем переменные вида считают за целые выражения. После их преобразования сумм, разностей, произведений выражения примут вид
Если в выражении имеется деление на число, отличное от нуля вида или , тогда деление может обозначаться при помощи дробной черты, как . При рассмотрении выражений вида или видно, что такие выражения не могут быть целыми, так как в первом имеется деление на переменную , а во втором на выражение с переменной.
Многочлен и одночлен являются целыми выражениями, с которыми встречаемся в школе при работе с рациональными числами. Иначе говоря, целые выражения не включают в себя записи иррациональных дробей. Другое название – это целые иррациональные выражения.
Какие преобразования целых выражений возможны?
Целые выражения рассматриваются при решении как основные тождественные преобразования, раскрытие скобок, группирование, приведение подобных.
Раскрыть скобки и привести подобные слагаемые в .
Решение
Для начала необходимо применить правило раскрытия скобок. Получим выражение вида
После чего можем привести подобные слагаемые:
После их приведения получаем многочлен вида .
Ответ: .
Произвести преобразования .
Решение
Имеющееся деление можно заменять умножением, но на обратное число. Тогда необходимо выполнить преобразования, после которых выражение примет вид . Теперь следует заняться приведением подобных слагаемых. Получим, что
Ответ: .
Представить выражение в виде произведения.
Решение
Рассмотрев выражение, видно, что первые три слагаемые имеют общий множитель вида , который следует вынести за скобки во время преобразования. Тогда получим, что
Видно, что получили разность двух выражений вида и с общим множителем , который необходимо вынести за скобки. Получим, что
Раскрыв скобки, имеем выражение вида , которое необходимо было найти по условию.
Ответ:
Тождественные преобразования требуют строгое выполнение порядка действий.
Преобразовать выражение .
Решение
Вы первую очередь выполняются действия в скобках. Тогда имеем, что . После преобразований выражение принимает вид . Известно, что и , тогда можно прийти к выражению вида . Второе слагаемое требует замены деления на умножение из . Сгруппировав множители, получаем, что
Ответ: .
Преобразование в многочлен
Большинство случаев преобразования целых выражений – это представление в виде многочлена. Любое выражение можно представить в виде многочлена. Любое выражение может быть рассмотрено как многочлены, соединенные арифметическими знаками. Любое действие над многочленами в итоге дает многочлен.
Для того, чтобы выражение было представлено в виде многочлена, необходимо выполнять все действия с многочленами, согласно алгоритму.
Представить в виде многочлена .
Решение
В данном выражение начать преобразования с выражения вида , причем по правилу в начале выполнив умножение или деление, после чего сложение или вычитание. Умножим – на , тогда получим . Заданное выражение примет вид .
Далее необходимо произвести возведение во степень многочлена , получим выражение вида
Теперь можно перейти к виду .
Разберем умножение. Видно, что и
тогда можно сделать переход к выражению вида .
Выполняем сложение, после чего придем к выражению:
Отсюда следует, что исходное выражение имеет вид .
Ответ: .
Умножение и возведение в степень многочлена говорит о том, что необходимо использовать формулы сокращенного умножения для ускорения процесса преобразования. Это способствует тому, что действия будут выполнены рационально и правильно.
Преобразовать .
Решение
Из формулы квадрата получим, что , тогда произведение равняется разности квадратов и , таким образом, равняется . Получим, что исходное выражение примет вид
Ответ: .
Чтобы преобразование не было слишком длинным, необходимо заданное выражение приводить к стандартному виду.
Упростить выражение вида
Решение
Чаще всего многочлены и одночлены даются не стандартного вида, поэтому приходится выполнять преобразования. Следует преобразовать, чтобы получить выражение вида . Для того чтобы привести подобные, необходимо предварительно произвести умножение по правилам преобразования сложного выражения. Получаем выражение вида
Ответ: