Преобразование целых выражений

16 октября 2023
9 минут
1 905

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Благодаря курсу алгебры, известно, что все выражения требуют преобразования для более удобного решения. Определение целых выражений способствует тому, что для начала выполняются тождественные преобразования. Будем преобразовывать выражение в многочлен. В заключении разберем несколько примеров.

Определение и примеры целых выражений

Определение 1

Целые выражения – это числа, переменные или выражения со сложением или вычитанием, которые записываются в виде степени с натуральным показателем, которые также имеют скобки или деление, отличное от нуля.

Исходя из определения, имеем, что примеры целых выражений: $7, 0, - 12, \frac{7}{11}, 2, 73, - 3 \frac{5}{6}$ и так далее, причем переменные вида $a, b, p, q, x, z$ считают за целые выражения. После их преобразования сумм, разностей, произведений выражения примут вид

$x + 1, 5 \cdot y^{3} \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 - 2 \cdot y - 3, 3 - x \cdot y \cdot z^{4}, - \frac{6}{7}, 5 \cdot (2 \cdot x + 3 \cdot y^{2})^{2} - - (1 - x) \cdot (1 + x) \cdot (1 + x^{2})$

Если в выражении имеется деление на число, отличное от нуля вида $x : 5 + 8 : 2 : 4$ или $(x + y) : 6$ , тогда деление может обозначаться при помощи дробной черты, как $\frac{x + 3}{5} - 3, 2 \cdot x + 2$ . При рассмотрении выражений вида $x : 5 + 5 : x$ или $4 + \frac{a^{2} + 2 \cdot a - 6}{a + b + 2 \cdot c}$ видно, что такие выражения не могут быть целыми, так как в первом имеется деление на переменную $x$ , а во втором на выражение с переменной.

Многочлен и одночлен являются целыми выражениями, с которыми встречаемся в школе при работе с рациональными числами. Иначе говоря, целые выражения не включают в себя записи иррациональных дробей. Другое название – это целые иррациональные выражения.

Какие преобразования целых выражений возможны?

Целые выражения рассматриваются при решении как основные тождественные преобразования, раскрытие скобок, группирование, приведение подобных.

Пример 1

Раскрыть скобки и привести подобные слагаемые в $2 \cdot (a^{3} + 3 \cdot a \cdot b - 2 \cdot a) - 2 \cdot a^{3} - (5 \cdot a \cdot b - 6 \cdot a + b)$ .

Решение

Для начала необходимо применить правило раскрытия скобок. Получим выражение вида $2 \cdot (a^{3} + 3 \cdot a \cdot b - 2 \cdot a) - 2 \cdot a^{3} - (5 \cdot a \cdot b - 6 \cdot a + b) = = 2 \cdot a^{3} + 2 \cdot 3 \cdot a \cdot b + 2 \cdot (- 2 \cdot a) - 2 \cdot a^{3} - 5 \cdot a \cdot b + 6 \cdot a - b = = 2 \cdot a^{3} + 6 \cdot a \cdot b - 4 \cdot a - 2 \cdot a^{3} - 5 \cdot a \cdot b + 6 \cdot a - b$

После чего можем привести подобные слагаемые:

$2 \cdot a^{3} + 6 \cdot a \cdot b - 4 \cdot a - 2 \cdot a^{3} - 5 \cdot a \cdot b + 6 \cdot a - b = = (2 \cdot a^{3} - 2 \cdot a^{3}) + (6 \cdot a \cdot b - 5 \cdot a \cdot b) + (- 4 \cdot a + 6 \cdot a) - b = = 0 + a \cdot b + 2 \cdot a - b = a \cdot b + 2 \cdot a - b .$

После их приведения получаем многочлен вида $a \cdot b + 2 \cdot a - b$ .

Ответ: $2 \cdot (a^{3} + 3 \cdot a \cdot b - 2 \cdot a) - 2 \cdot a^{3} - (5 \cdot a \cdot b - 6 \cdot a + b) = a \cdot b + 2 \cdot a - b$ .

Пример 2

Произвести преобразования $(x - 1) : \frac{2}{3} + 2 \cdot (x^{2} + 1) : 3 : 7$ .

Решение

Имеющееся деление можно заменять умножением, но на обратное число. Тогда необходимо выполнить преобразования, после которых выражение примет вид $(x - 1) \cdot \frac{3}{2} + 2 \cdot (x^{2} + 1) \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{7}$ . Теперь следует заняться приведением подобных слагаемых. Получим, что

$(x - 1) \cdot \frac{3}{2} + 2 \cdot (x^{2} + 1) \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{7} = \frac{3}{2} \cdot (x - 1) + \frac{2}{21} \cdot (x^{2} + 1) = = \frac{3}{2} \cdot x - \frac{3}{2} + \frac{2}{21} \cdot x^{2} + \frac{2}{21} = \frac{2}{21} \cdot x^{2} + \frac{3}{2} \cdot x - \frac{59}{42} = \frac{2}{21} \cdot x^{2} + 1 \frac{1}{2} \cdot x - 1 \frac{17}{42}$

Ответ: $(x - 1) : \frac{2}{3} + 2 \cdot (x^{2} + 1) : 3 : 7 = \frac{2}{21} \cdot x^{2} + 1 \frac{1}{2} \cdot x - 1 \frac{17}{42}$ .

Пример 3

Представить выражение $6 \cdot x^{2} \cdot y + 18 \cdot x \cdot y - 6 \cdot y - (x^{2} + 3 \cdot x - 1) \cdot (x^{3} + 4 \cdot x)$ в виде произведения.

Решение

Рассмотрев выражение, видно, что первые три слагаемые имеют общий множитель вида $6 \cdot y$ , который следует вынести за скобки во время преобразования. Тогда получим, что $6 \cdot x^{2} \cdot y + 18 \cdot x \cdot y - 6 \cdot y - (x^{2} + 3 \cdot x - 1) \cdot (x^{3} + 4 \cdot x) = = 6 \cdot y \cdot (x^{2} + 3 \cdot x - 1) - (x^{2} + 3 \cdot x - 1) \cdot (x^{3} + 4 \cdot x)$

Видно, что получили разность двух выражений вида $6 \cdot y \cdot (x^{2} + 3 \cdot x - 1)$ и $(x^{2} + 3 \cdot x - 1) \cdot (x^{3} + 4 \cdot x)$ с общим множителем $x^{2} + 3 \cdot x - 1$ , который необходимо вынести за скобки. Получим, что

$6 \cdot y \cdot (x^{2} + 3 \cdot x - 1) - (x^{2} + 3 \cdot x - 1) \cdot (x^{3} + 4 \cdot x) = = (x^{2} + 3 \cdot x - 1) \cdot (6 \cdot y - (x^{3} + 4 \cdot x))$

Раскрыв скобки, имеем выражение вида $(x^{2} + 3 \cdot x - 1) \cdot (6 \cdot y - x^{3} - 4 \cdot x)$ , которое необходимо было найти по условию.

Ответ: $6 \cdot x^{2} \cdot y + 18 \cdot x \cdot y - 6 \cdot y - (x^{2} + 3 \cdot x - 1) \cdot (x^{3} + 4 \cdot x) = = (x^{2} + 3 \cdot x - 1) \cdot (6 \cdot y - x^{3} - 4 \cdot x)$

Тождественные преобразования требуют строгое выполнение порядка действий.

Пример 4

Преобразовать выражение $(3 \cdot 2 - 6^{2} : 9)^{3} \cdot (x^{2})^{4} + 4 \cdot x : 8$ .

Решение

Вы первую очередь выполняются действия в скобках. Тогда имеем, что $3 \cdot 2 - 6^{2} : 9 = 3 \cdot 2 - 3^{6} : 9 = 6 - 4 = 2$ . После преобразований выражение принимает вид $2^{3} \cdot (x^{2})^{4} + 4 \cdot x : 8$ . Известно, что $2^{3} = 8$ и $(x^{2})^{4} = x^{2} \cdot 4 = x^{8}$ , тогда можно прийти к выражению вида $8 \cdot x^{8} + 4 \cdot x : 8$ . Второе слагаемое требует замены деления на умножение из $4 \cdot x : 8$ . Сгруппировав множители, получаем, что

$8 \cdot x^{8} + 4 \cdot x : 8 = 8 \cdot x^{8} + 4 \cdot x \cdot \frac{1}{8} = 8 \cdot x^{8} + (4 \cdot \frac{1}{8}) \cdot x = 8 \cdot x^{8} + \frac{1}{2} \cdot x$

Ответ: $(3 \cdot 2 - 6^{2} : 9)^{3} \cdot (x^{2})^{4} + 4 \cdot x : 8 = 8 \cdot x^{8} + \frac{1}{2} \cdot x$ .

Преобразование в многочлен

Большинство случаев преобразования целых выражений – это представление в виде многочлена. Любое выражение можно представить в виде многочлена. Любое выражение может быть рассмотрено как многочлены, соединенные арифметическими знаками. Любое действие над многочленами в итоге дает многочлен.

Для того, чтобы выражение было представлено в виде многочлена, необходимо выполнять все действия с многочленами, согласно алгоритму.

Пример 5

Представить в виде многочлена $2 \cdot (2 \cdot x^{3} - 1) + (2 \cdot x - 1)^{2} \cdot (3 - x) + (4 \cdot x - x \cdot (15 \cdot x + 1))$ .

Решение

В данном выражение начать преобразования с выражения вида $4 \cdot x - x \cdot (15 \cdot x + 1)$ , причем по правилу в начале выполнив умножение или деление, после чего сложение или вычитание. Умножим – $x$ на $15 \cdot x + 1$ , тогда получим $4 \cdot x - x \cdot (15 \cdot x + 1) = 4 \cdot x - 15 \cdot x^{2} - x = (4 \cdot x - x) - 15 \cdot x^{2} = 3 \cdot x - 15 \cdot x^{2}$ . Заданное выражение примет вид $2 \cdot (2 \cdot x^{3} - 1) + (2 \cdot x - 1)^{2} \cdot (3 - x) + (3 \cdot x - 15 \cdot x^{2})$ .

Далее необходимо произвести возведение во $2$ степень многочлена $2 \cdot x - 1$ , получим выражение вида $(2 \cdot x - 1)^{2} = (2 \cdot x - 1) \cdot (2 \cdot x - 1) = 4 \cdot x^{2} + 2 \cdot x \cdot (- 1) - 1 \cdot 2 \cdot x - 1 \cdot (- 1) = = 4 \cdot x^{2} - 4 \cdot x + 1$

Теперь можно перейти к виду $2 \cdot (2 \cdot x^{3} - 1) + (4 \cdot x^{2} - 4 \cdot x + 1) \cdot (3 - x) + (3 \cdot x - 15 \cdot x^{2})$ .

Разберем умножение. Видно, что $2 \cdot (2 \cdot x^{3} - 1) = 4 \cdot x^{3} - 2$ и $(4 \cdot x^{2} - 4 \cdot x + 1) \cdot (3 - x) = 12 \cdot x^{2} - 4 \cdot x^{3} - 12 \cdot x + 4 \cdot x^{2} + 3 - x = = 16 \cdot x^{2} - 4 \cdot x^{3} - 13 \cdot x + 3$

тогда можно сделать переход к выражению вида $(4 \cdot x^{3} - 2) + (16 \cdot x^{2} - 4 \cdot x^{3} - 13 \cdot x + 3) + (3 \cdot x - 15 \cdot x^{2})$ .

Выполняем сложение, после чего придем к выражению:

$(4 \cdot x^{3} - 2) + (16 \cdot x^{2} - 4 \cdot x^{3} - 13 \cdot x + 3) + (3 \cdot x - 15 \cdot x^{2}) = = 4 \cdot x^{3} - 2 + 16 \cdot x^{2} - 4 \cdot x^{3} - 13 \cdot x + 3 + 3 \cdot x - 15 \cdot x^{2} = = (4 \cdot x^{3} - 4 \cdot x^{3}) + (16 \cdot x^{2} - 15 \cdot x^{2}) + (- 13 \cdot x + 3 \cdot x) + (- 2 + 3) = = 0 + x^{2} - 10 \cdot x + 1 = x^{2} - 10 \cdot x + 1 .$

Отсюда следует, что исходное выражение имеет вид $x^{2} - 10 \cdot x + 1$ .

Ответ: $2 \cdot (2 \cdot x^{3} - 1) + (2 \cdot x - 1)^{2} \cdot (3 - x) + (4 \cdot x - x \cdot (15 \cdot x + 1)) = x^{2} - 10 \cdot x + 1$ .

Умножение и возведение в степень многочлена говорит о том, что необходимо использовать формулы сокращенного умножения для ускорения процесса преобразования. Это способствует тому, что действия будут выполнены рационально и правильно.

Пример 6

Преобразовать $4 \cdot (2 \cdot m + n)^{2} + (m - 2 \cdot n) \cdot (m + 2 \cdot n)$ .

Решение

Из формулы квадрата получим, что $(2 \cdot m + n)^{2} = (2 \cdot m)^{2} + 2 \cdot (2 \cdot m) \cdot n + n^{2} = 4 \cdot m^{2} + 4 \cdot m \cdot n + n^{2}$ , тогда произведение $(m - 2 \cdot n) \cdot (m + 2 \cdot n)$ равняется разности квадратов $m$ и $2 \cdot n$ , таким образом, равняется $m^{2} - 4 \cdot n^{2}$ . Получим, что исходное выражение примет вид $4 \cdot (2 \cdot m + n)^{2} + (m - 2 \cdot n) \cdot (m + 2 \cdot n) = 4 \cdot (4 \cdot m^{2} + 4 \cdot m \cdot n + n^{2}) + (m^{2} - 4 \cdot n^{2}) = = 16 \cdot m^{2} + 16 \cdot m \cdot n + 4 \cdot n^{2} + m^{2} - 4 \cdot n^{2} = 17 \cdot m^{2} + 16 \cdot m \cdot n$

Ответ: $4 \cdot (2 \cdot m + n)^{2} + (m - 2 \cdot n) \cdot (m + 2 \cdot n) = 17 \cdot m^{2} + 16 \cdot m \cdot n$ .

Чтобы преобразование не было слишком длинным, необходимо заданное выражение приводить к стандартному виду.

Пример 7

Упростить выражение вида $(2 \cdot a \cdot (- 3) \cdot a^{2} \cdot b) \cdot (2 \cdot a + 5 \cdot b^{2}) + a \cdot b \cdot (a^{2} + 1 + a^{2}) \cdot (6 \cdot a + 15 \cdot b^{2}) + (5 \cdot a \cdot b \cdot (- 3) \cdot b^{2})$

Решение

Чаще всего многочлены и одночлены даются не стандартного вида, поэтому приходится выполнять преобразования. Следует преобразовать, чтобы получить выражение вида $- 6 \cdot a^{3} \cdot b \cdot (2 \cdot a + 5 \cdot b^{2}) + a \cdot b \cdot (2 \cdot a^{2} + 1) \cdot (6 \cdot a + 15 \cdot b^{2}) - 15 \cdot a \cdot b^{3}$ . Для того чтобы привести подобные, необходимо предварительно произвести умножение по правилам преобразования сложного выражения. Получаем выражение вида

$- 6 \cdot a^{3} \cdot b \cdot (2 \cdot a + 5 \cdot b^{2}) + a \cdot b \cdot (2 \cdot a^{2} + 1) \cdot (6 \cdot a + 15 \cdot b^{2}) - 15 \cdot a \cdot b^{3} = = - 12 \cdot a^{4} \cdot b - 30 \cdot a^{3} \cdot b^{3} + (2 \cdot a^{3} \cdot b + a \cdot b) \cdot (6 \cdot a + 15 \cdot b^{2}) - 15 \cdot a \cdot b^{3} = = - 12 \cdot a^{4} \cdot b - 30 \cdot a^{3} \cdot b^{3} + 12 \cdot a^{4} \cdot b + 30 \cdot a^{3} \cdot b^{3} + 6 \cdot a^{2} \cdot b + 15 \cdot a \cdot b^{3} - 15 \cdot a \cdot b^{3} = = (- 12 \cdot a^{4} \cdot b + 12 \cdot a^{4} \cdot b) + (- 30 \cdot a^{3} \cdot b^{3} + 30 \cdot a^{3} \cdot b^{3}) + 6 \cdot a^{2} \cdot b + (15 \cdot a \cdot b^{3} - 15 \cdot a \cdot b^{3}) = 6 \cdot a^{2} \cdot b$

Ответ: $(2 \cdot a \cdot (- 3) \cdot a^{2} \cdot b) \cdot (2 \cdot a + 5 \cdot b^{2}) + a \cdot b \cdot (a^{2} + 1 + a^{2}) \cdot (6 \cdot a + 15 \cdot b^{2}) + + (5 \cdot a \cdot b \cdot (- 3) \cdot b^{2}) = 6 \cdot a^{2} \cdot b$