Смешанное произведение векторов: онлайн калькулятор

Смешанное произведение трех векторов a, b и с – это скалярное произведение вектора a на векторное произведение векторов b и с. Вычислить смешанное произведение векторов онлайн очень просто: необходимо выбрать форму представления векторов, задать значения и нажать на кнопку «рассчитать».

Как найти смешанное произведение векторов без онлайн-калькулятора

Смешанное произведение можно вычислить по формуле для определителя матрицы, в строках которой записаны координаты векторов:

$\overrightarrow{a}*(\overrightarrow{b}*\overrightarrow{с})=\begin{array}{c}\begin{array}{ccc}{a}_x& a_y& a_z\\ b_x& b_y& b_z\\ c_x& c_y& c_z\end{array}\end{array}$

Также справедливы формулы:

$$\begin{gathered} \overrightarrow{a}*(\overrightarrow{b}*\overrightarrow{c)}=\overrightarrow{b}*(\overrightarrow{a}*\overrightarrow{c})-\overrightarrow{c}*(\overrightarrow{a}*\overrightarrow{b)} \\ \overrightarrow{a}*(\overrightarrow{b}*\overrightarrow{c})=\overrightarrow{b}*(\overrightarrow{c}*\overrightarrow{a})=\overrightarrow{c}*(\overrightarrow{a}*\overrightarrow{b})=\overrightarrow{-a}*(\overrightarrow{c}*\overrightarrow{b})=\overrightarrow{-b}(\overrightarrow{a}*\overrightarrow{c})=\overrightarrow{-c}(\overrightarrow{b}*\overrightarrow{a}) \\ \overrightarrow{a}\overrightarrow{*(b}*\overrightarrow{c})+\overrightarrow{b}*(\overrightarrow{c}*\overrightarrow{a})+\overrightarrow{c}*(\overrightarrow{a}*\overrightarrow{b})=0 \end{gathered}$$

Смешанное произведение векторов обладает следующими свойствами:

1. Модуль смешанного произведения трех векторов равен объему параллелепипеда, который образуют данные векторы.
2. Если смешанное произведение трех векторов равно нулю, то эти векторы компланарны.
3. Объем пирамиды, образованной тремя векторами, равен одной шестой части модуля смешанного произведения этих векторов.

Онлайн калькулятор дает не только финальный результат вычислений, но и промежуточные выкладки. Его можно использовать для проверки самостоятельных расчетов, в ходе подготовки к контрольным и при выполнении домашних заданий. Данный сервис будет полезен школьникам, студентам и преподавателям.